Ecuaciones con Letras

Los estudiantes escriben ecuaciones para representar lo que ven en las básculas. Después, resuelven las ecuaciones. Finalmente, resuelven los sestemas de ecuaciones sin primero asociarlos con las básculas. Como ayuda, los estudiantes utilizarán los pasos de resolución de problemas. Establecer una relación

Observa las imágenes de las básculas que están más abajo. ¿Puedes escribir ecuaciones para representar lo que ves en las básculas? ¿Puedes encontrar el valor de cada letra? En esta sección, aprenderemos a trabajar con ecuaciones que representan lo que vemos en las básculas. Aprenderemos a cómo resolver conjuntos de ecuaciones sin utilizar las básculas.

Orientación

Para resolver el problema anterior, podemos escribir ecuaciones para representar lo que vemos en cada báscula. Sabemos que si sumamos los pesos de cada bloque en una báscula, el peso total debe ser igual al número que aparece en la báscula.

Para encontrar el valor de las letras, calcula los valores individualmente. Primero, encuentra el valor de x. Luego, utiliza esa información para encontrar el valor de y. Finalmente, una vez que sepas los valores de x e y, encuentra el valor de z.

Ejemplo A

Escribe ecuaciones. Calcula el peso de cada bloque.

Solución:

Podemos utilizar los pasos de resolución de problemas.

$& \mathbf{Descripción} && \text{There are three scales with blocks. }\!\\\&&& \text{Scale} \ D \ \text{has a} \ 5 \ \text{pound weight and one} \ y \ \text{block. They weigh} \ 7 \ \text{pounds.}\!\\\&&& \text{Scale} \ E \ \text{has 1} \ y \ \text{block and} \ 1 \ z \ \text{block. They weigh} \ 6 \ \text{pounds.}\!\\\&&& \text{Scale} \ F \ \text{has 2} \ z \ \text{blocks and 1} \ x \ \text{block. They weigh} \ 13 \ \text{pounds.}\!\\\& \mathbf{My \ Job} && \text{Figure out the weights of the blocks.}\!\\\& \mathbf{Plan} && \text{Write an equation for each scale.}\!\\\&&& \text{Scale} \ D: 5+y=7.\!\\\ &&& \text{Scale} \ E: y+z=6.\!\\\&&& \text{Scale} \ F: z+z+x=13.\!\\\& \mathbf{Solve} && D: 5+y=7. \ \text{Then} \ y = 7 - 5, \ \text{or} \ 2 \ \text{pounds.}\!\\\ &&& E: y + z= 6. \ \text{Replace each} \ y \ \text{with its value so} \ 2 + z = 6, \ \text{and} \ z = 4 \ \text{pounds.}\!\\\ &&& F: z+z+x=13. \ \text{Replace each} \ z \ \text{with the value,}\!\\\&&& \text{so} \ 4+ 4 + x = 13, \ \text{and} \ x = 5 \ \text{pounds.}\!\\\& \mathbf{Comprobación} && \text{Replace each block with its weight.}\!\\\ &&& \text{Scale} \ D: 5+2=7 \ \text{Scale} \ E: 2+4=6 \ \text{Scale} \ F: 4+4+5=13.$

Ejemplo B

Escribe ecuaciones. Calcula el peso de cada bloque.

Solución:

Podemos utilizar los pasos de resolución de problemas.

$& \mathbf{Descripción} && \text{There are three scales with blocks. }\!\\\&&& \text{Scale} \ G \ \text{has a} \ 10 \ \text{pound weight and one} \ z \ \text{block. They weigh} \ 15 \ \text{pounds.}\!\\\&&& \text{Scale} \ H \ \text{has two} \ z \ \text{blocks and} \ 1 \ x \ \text{block. They weigh} \ 17 \ \text{pounds.}\!\\\&&& \text{Scale} \ I \ \text{has one} \ x \ \text{block, one} \ y \ \text{block, and one} \ z \ \text{block. They weigh} \ 15 \ \text{pounds.}\!\\\& \mathbf{My \ Job} && \text{Figure out the weights of the blocks.}\!\\\& \mathbf{Plan} && \text{Write an equation for each scale.}\!\\\&&& \text{Scale} \ G: 10+z=15.\!\\\ &&& \text{Scale} \ H: z+z+x=17.\!\\\&&& \text{Scale} \ I: y+x+z=15.\!\\\& \mathbf{Solve} && G: 10+z=15. \ \text{Then} \ z = 15 - 10, \ \text{or} \ 5 \ \text{pounds.}\!\\\ &&& H: z+z+x=17. \ \text{Replace each} \ z \ \text{with its value so} \ 5+5+x=17, \ \text{and} \ x = 7 \ \text{pounds.}\!\\\ &&& I: y+x+z=15. \ \text{Replace each} \ x \ \text{and} \ z \ \text{with the value,}\!\\\&&& \text{so} \ y+7+5=15, \ \text{and} \ y = 3 \ \text{pounds.}\!\\\& \mathbf{Comprobación} && \text{Replace each block with its weight.}\!\\\ &&& \text{Scale} \ G: 10+5=15 \ \text{Scale} \ H: 5+5+7=17 \ \text{Scale} \ I: 3+7+5=15.$

Ejemplo C

Eric escribió estas ecuaciones con la información de las imágenes de bloques en básculas. Utiliza las ecuaciones de Eric y encuentra el peso de cada bloque.

$\quad 5 + x = 12\!\\\{\;} \quad \ x + y = 11\!\\\{\;} \quad \ x + z = 13$

Solución:

Podemos utilizar los pasos de resolución de problemas.

$& \mathbf{Descripción} && \text{There are three equations with x, y, and z. }\!\\\& \mathbf{My \ Job} && \text{Figure out the values of x, y, and z.}\!\\\& \mathbf{Plan} && \text{Use the first equation to solve for x. Then, solve for y and finally solve for z.}\!\\\& \mathbf{Solve} && \text{First equation}: 5+x=12. \ \text{Then} \ x = 12 - 5, \ \text{or} \ 7.\!\\\ &&& \text{Second equation}: x+y=11. \ \text{Replace each} \ x \ \text{with its value so} \ 7+y=11, \ \text{and} \ y = 4.\!\\\ &&& \text{Third equation}: x + z = 13. \ \text{Replace each} \ x \ \text{with its value so} \ 7 + z = 13, \ \text{and} \ z = 6.\!\\\& \mathbf{Comprobación} && \text{Replace each letter with its value.}\!\\\ &&& \text{Scale} \ \text{First equation}: 5+7=12 \ \text{Second Equation}: 7+4=11 \ \text{Third Equation}: 7+6=13.$

Revesemos el problema del inicio de la sección

Podemos utilizar los pasos de resolución de problemas.

$& \mathbf{Descripción} && \text{There are three scales with blocks. }\!\\\&&& \text{Scale} \ A \ \text{has an} \ 8 \ \text{pound weight and one} \ x \ \text{block. They weigh} \ 13 \ \text{pounds.}\!\\\&&& \text{Scale} \ B \ \text{has one} \ y \ \text{block and} \ 2 \ x \ \text{blocks. They weigh} \ 14 \ \text{pounds.}\!\\\&&& \text{Scale} \ C \ \text{has one} \ x \ \text{block, one} \ y \ \text{block, and one} \ z \ \text{block. They weigh} \ 15 \ \text{pounds.}\!\\\& \mathbf{My \ Job} && \text{Figure out the weights of the blocks.}\!\\\& \mathbf{Plan} && \text{Write an equation for each scale.}\!\\\&&& \text{Scale} \ A: 8 + x = 13\!\\\ &&& \text{Scale} \ B: y + x + x = 14.\!\\\&&& \text{Scale} \ C: x + y + z = 15.\!\\\& \mathbf{Solve} && A: 8 + x = 13. \ \text{Then} \ x = 13 - 8, \ \text{or} \ 5 \ \text{pounds.}\!\\\ &&& B: y + x + x = 14. \ \text{Replace each} \ x \ \text{with its value so} \ y + 5 + 5 = 14, \ \text{and} \ y = 4 \ \text{pounds.}\!\\\ &&& C: x + y + z = 12. \ \text{Replace each} \ x \ \text{and} \ y \ \text{with the value,}\!\\\&&& \text{so} \ 5 + 4 + z = 15, \ \text{and} \ z = 6 \ \text{pounds.}\!\\\& \mathbf{Comprobación} && \text{Replace each block with its weight.}\!\\\ &&& \text{Scale} \ A: 8 + 5 = 13 \ \text{Scale} \ B: 4 + 5 + 5 = 14 \ \text{Scale} \ C: 5 + 4 + 6 = 15.$

Vocabulario

En matemáticas, un valor desconocido es una letra que representa un número que desconocemos. En esta sección, el valor desconocido eran los bloques de los cuales no sabíamos su peso. Una equation es una expresión matemática con dos igualdades. En esta sección, escribimos ecuaciones con valores desconocidos para representar lo que observábamos en las básculas. Un sestema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones que representa un determinado problema. Ya que en esta sección escribimos múltiples ecuaciones para cada problema, escribimos un sestema de ecuaciones para cada problema.

Práctica Guiada

1. Calcula el peso de cada bloque:

2. Calcula el peso de cada bloque:

3. Encuentra los valores de x, y, z.

$\quad 7 + y = 15\!\\\{\;} \quad \ y + z = 11\!\\\{\;} \quad \ z + x = 12$

4. Encuentra los valores de x, y, z.

$\quad z + 6 = 11\!\\\{\;} \quad \ x + z = 9\!\\\{\;} \quad \ x + y + z = 12$

Respuestas:

$1. \quad 7 + x = 13; \ x + x + y = 16; \ x + y + z = 17\!\\\{\;} \quad \ x = 6 \ \text{pounds}; \ y = 4 \ \text{pounds}; \ z = 9 \ \text{pounds}$

$2. \quad x + x + y = 9; \ y + y + z = 13; \ 9 + z = 12\!\\\{\;} \quad \ x = 2 \ \text{pounds}; \ y = 5 \ \text{pounds}; \ z = 3 \ \text{pounds}$

$3. \ x = 9 \ \text{pounds}; \ y = 8 \ \text{pounds}; \ z = 3 \ \text{pounds}$

$4. \ x = 4 \ \text{pounds}; \ y = 3 \ \text{pounds}; \ z = 5 \ \text{pounds}$

Práctica

Escribe ecuaciones. Calcula el peso de cada bloque.

Encuentra los valores de x, y, z.

$1 + 2x = 9; x + y = 10; x + y + z = 18$
$8 + 2z = 20; z + x = 9; x + y + z = 20$
$2y + 3 = 11; y + z = 13; 2x + z = 19$

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