XYZ

Los estudiantes resolverán sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas imaginando que son representaciones de imágenes de balanzas con bloques. Además, usarán los pasos de la resolución de problemas como ayuda.

Observa las siguientes ecuaciones: Eric escribió estas ecuaciones para representar imágenes de balanzas con bloques. Esto se llama un sistema de ecuaciones. ¿Puedes encontrar los valores de las letras? En esta sección aprenderemos a resolver sistemas de ecuaciones.

$A&: x + y = 12\\\B&: x + x + y = 19 \\\C&: x + z = 10$

Orientación

Para poder encontrar los valores de las letras de las ecuaciones anteriores, fíjate si puedes usar la información de una ecuación para reescribir otra ecuación. Una vez que puedas encontrar el valor de una letra, a continuación intenta encontrar el valor de la segunda letra. Finalmente, encuentra el valor de la última letra. Fíjate en los ejemplos para ver cómo podría funcionar.

Ejemplo A

Eric escribió estas ecuaciones para representar imágenes de balanzas con bloques. Encuentra el valor de cada incógnita.

$A: y& + z + z = 19 \\\B: y& + z = 13 \\\C: x& + y + y = 19$

Solución:

Podemos usar los pasos de la resolución de problemas como ayuda.

$& \mathbf{Descripción } && \text{There are three equations. There are 3 unknowns.}\\\&&& \text{All equations have more than one unknown.}\\\& \mathbf{My \ Job} && \text{Figure out the values of} \ x, y, \ \text{and} \ z.\\\& \mathbf{Plan} && \text{All equations have more than one unknown.}\\\&&& \text{Equations} \ A \ \text{and} \ B \ \text{are related. In Equation} \ B, y+z=13\\\&&& \text{That same} \ y+z \ \text{can be replaced by its value} \ 13 \ \text{in Equation} \ A.\\\&&& \text{Replace} \ y+z \ \text{with} \ 13. \ \text{Figure out the value of the extra} \ z.\\\&&& \text{Replace all} \ z's \ \text{with that value in all equations and continue to solve for the}\\\&&& \text{other unknowns.}\\\& \mathbf{Resuelve} && B: y+z=13.\\\&&& A: \text{Replace} \ y+z\ \text{with} \ 13. \ 13+z=19.\\\&&& \text{So,} \ z = 19 - 13, \ \text{or} \ 6.\\\&&& \text{Replace all} \ z's \ \text{with} \ 6.\\\&&& B: y+6=13, \ \text{so} \ y = 13 - 6, \ \text{or} \ 7.\\\&&& C: x+y+y=19, \ \text{so} \ x+7+7=19, \ \text{so} \ x = 19 - 14, \ \text{or} \ 5.\\\ &&& \text{So} \ x = 5, \ y = 7, \ z = 6\\\& \mathbf{Comprobar} && \text{Replace each variable with its value.}\\\&&& A: 7+6+6=19; \ B: 7+6=13; \ C: 5+7+7=19.$

Ejemplo B

Eric escribió estas ecuaciones para representar imágenes de balanzas con bloques. Encuentra el valor de cada incógnita.

$A: x& + x + y = 20\\\B: y& + z + z = 26 \\\C: y& + z = 17$

Solución:

Podemos usar los pasos de la resolución de problemas como ayuda.

$& \mathbf{Descripción } && \text{There are three equations. There are 3 unknowns.}\\\&&& \text{All equations have more than one unknown.}\\\& \mathbf{My \ Job} && \text{Figure out the values of} \ x, y, \ \text{and} \ z.\\\& \mathbf{Plan} && \text{All equations have more than one unknown.}\\\&&& \text{Equations} \ B \ \text{and} \ C \ \text{are related. In Equation} \ C, y+z=17\\\&&& \text{That same} \ y+z \ \text{can be replaced by its value} \ 17 \ \text{in Equation} \ B.\\\&&& \text{Replace} \ y+z \ \text{with} \ 17. \ \text{Figure out the value of the extra} \ z.\\\&&& \text{Replace all} \ z's \ \text{with that value in all equations and continue to solve for the}\\\&&& \text{other unknowns.}\\\& \mathbf{Resuelve} && C: y+z=17.\\\&&& B: \text{Replace} \ y+z \ \text{with} \ 17. \ 17+z=26.\\\&&& \text{So,} \ z = 26- 17, \ \text{or} \ 9.\\\&&& \text{Replace all} \ x's \ \text{with} \ 7.\\\&&& C: y+9=17, \ \text{so} \ y = 17 - 9, \ \text{or} \ 8.\\\&&& A: x+x+y=20, \ \text{so} \ x+x+8=20 \ \text{and} \ 2x = 12, \ \text{so} \ x=6.\\\ &&& \text{So} \ x = 6, \ y = 8, \ z = 9\\\& \mathbf{Comprobar} && \text{Replace each variable with its value.}\\\&&& A: 6+6+8=20; \ B: 8+9+9=26; \ C: 8+9=17.$

Ejemplo C

Eric escribió estas ecuaciones para representar imágenes de balanzas con bloques. Encuentra el valor de cada incógnita.

$A: x& + z = 8 \\\ B: x& + z + z = 13 \\\C: x& + y + z = 14$

Solución:

Podemos usar los pasos de la resolución de problemas como ayuda.

$& \mathbf{Descripción } && \text{There are three equations. There are 3 unknowns.}\\\&&& \text{All equations have more than one unknown.}\\\& \mathbf{My \ Job} && \text{Figure out the values of} \ x, y, \ \text{and} \ z.\\\& \mathbf{Plan} && \text{All equations have more than one unknown.}\\\&&& \text{Equations} \ A \ \text{and} \ B \ \text{are related. In Equation} \ A, x+z=8\\\&&& \text{That same} \ x+z \ \text{can be replaced by its value} \ 8 \ \text{in Equation} \ B.\\\&&& \text{Replace} \ x + z \ \text{with} \ 8. \ \text{Figure out the value of the extra} \ z.\\\&&& \text{Replace all} \ z's \ \text{with that value in all equations and continue to solve for the}\\\&&& \text{other unknowns.}\\\& \mathbf{Resuelve} && A: x+z=8.\\\&&& B: \text{Replace} \ x + z \ \text{with} \ 8. \ 8+z=13.\\\&&& \text{So,} \ z = 13 - 8, \ \text{or} \ 5.\\\&&& \text{Replace all} \ z's \ \text{with} \ 5.\\\&&& A: x+5=8, \ \text{so} \ x = 8-5, \ \text{or} \ 3.\\\&&& C: x+y+z=14, \ \text{so} \ 3+y+5=14, \ \text{and} \ y=6.\\\ &&& \text{So} \ x =3, \ y = 6, \ z = 5\\\& \mathbf{Comprobar} && \text{Replace each variable with its value.}\\\&&& A: 3+5=8; \ B: 3+5+5=13; \ C: 3+6+5=14.$

Revisión del Problema de la Sección

Eric escribió estas ecuaciones para representar imágenes de balanzas con bloques. Encuentra el valor de cada incógnita.

$A&: x + y = 12\\\B&: x + x + y = 19 \\\C&: x + z = 10$

Podemos usar los pasos de la resolución de problemas como ayuda.

$& \mathbf{Descripción } && \text{There are three equations. There are 3 unknowns.}\\\&&& \text{All equations have more than one unknown.}\\\& \mathbf{My \ Job} && \text{Figure out the values of} \ x, y, \ \text{and} \ z.\\\& \mathbf{Plan} && \text{All equations have more than one unknown.}\\\&&& \text{Equations} \ A \ \text{and} \ B \ \text{are related. In Equation} \ A, x + y = 12\\\&&& \text{That same} \ x + y \ \text{can be replaced by its value} \ 12 \ \text{in Equation} \ B.\\\&&& \text{Replace} \ x + y \ \text{with} \ 12. \ \text{Figure out the value of the extra} \ x.\\\&&& \text{Replace all} \ x's \ \text{with that value in all equations and continue to solve for the}\\\&&& \text{other unknowns.}\\\& \mathbf{Resuelve} && A: x + y = 12.\\\&&& B: \text{Replace} \ x + y \ \text{with} \ 12. \ x + 12 = 19.\\\&&& \text{So,} \ x = 19 - 12, \ \text{or} \ 7.\\\&&& \text{Replace all} \ x's \ \text{with} \ 7.\\\&&& C: 7 + z = 10, \ \text{so} \ z = 10 - 7, \ \text{or} \ 3.\\\&&& A: 7 + y = 12, \ \text{so} \ y = 12 - 7, \ \text{or} \ 5.\\\ &&& \text{So} \ x = 7, \ y = 5, \ z = 3\\\& \mathbf{Comprobar} && \text{Replace each variable with its value.}\\\&&& A: 7 + 5 = 12; \ B: 7 + 7 + 5 = 19; \ C: 7 + 3 = 10.$

Vocabulario

En matemáticas, una incógnita es una letra que representa a un número del cual no conocemos el valor todavía. En esta sección, los bloques de los cuales no sabíamos los pesos correspondían a incógnitas . Una ecuación es una oración matemática que nos indica dos cantidades que son iguales. En esta sección, escribimos ecuaciones con incógnitas para representar lo que vimos en las balanzas. Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones que representa a un problema dado. Dado que en esta sección escribimos múltiples ecuaciones para cada problema, escribimos un sistema de ecuaciones para cada problema.

Práctica Guiada

Para cada problema: Eric escribió estas ecuaciones para representar imágenes de balanzas con bloques. Encuentra el valor de cada incógnita.

1. $x + z + z = 19$

$y + y + z = 15$

$x + z = 12$

2. $x + y + z = 22$

$x + z = 17$

$y + z + z = 21$

3. $x + y + z = 25$

$y + z = 17$

$x + x + z = 23$

Respuestas:

1. $x = 5, \ y = 4, \ z = 7$

2. $x = 9, \ y = 5, \ z = 8$

3. $x = 8, \ y = 10, \ z = 7$

Práctica

Para cada problema: Eric escribió estas ecuaciones para representar imágenes de balanzas con bloques. Encuentra el valor de cada incógnita.

1. $x + x + y = 33$

$x + z + z = 34$

$x + y = 21$

2. $y + y + z + z = 28$

$x + x + y = 19$

$x + x + y + y = 24$

3. $y + y + z + z = 20$

$x + x + y = 14$

$x + x + y + z = 20$

4. $x + x + y + z = 25$

$x + y + y = 23$

$x + y + z = 20$

5. $x + y + z + z = 31$

$x + y + z = 22$

$x + z = 16$

6. $x + y + z = 21$

$x + x + y + z = 29$

$y + y + z = 20$

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