Resolver Incógnitas

Los estudiantes aplican la propiedad distributiva y usan el orden de las operaciones para encontrar los valores de las incógnitas. También usan como ayuda pasos de resolución de problemas.

Observa la ecuación que se muestra a continuación. ¿Puedes encontrar el valor de $a$ ? En esta sección, practicaremos usando el orden de las operaciones y la propiedad distributiva en la resolución de ecuaciones.

$4 \times 1 + 6(a - 1) - 9 - 2^3 = 2 + 3^2$

Orientación

El orden de las operaciones nos dice el orden correcto al evaluar expresiones matemáticas. Siempre reResuelvemos el paréntesis primero, .luego, los exponentes . Tras lo anterior, realizamos la multiplicación y división (de izquierda a derecha) y, finalmente, reResuelvemos la suma y resta (de izquierda a derecha) . La propiedad distributiva $(a \times (b + c) = a \times b + a \times c)$ nos permite quitar el paréntesis cuando existe una incógnita dentro de este.

Para poder evaluar expresiones mediante el uso de la propiedad distributiva y el orden de las operaciones, podemos usar como ayuda los pasos de resolución de problemas.

Primero, describe lo que ves en el problema. ¿Qué operaciones encuentras?
Segundo, identifica cuál es tu tarea En estos problemas, tu tarea será resolver la incógnita.
Tercero, haz un plan . En estos problemas, tu plan debería ser utilizar la propiedad distributiva y el orden de las operaciones.
Cuarto, resuelve .
Quinto, comprueba . reemplaza tu respuesta en la ecuación y asegúrate de que funcione.

Ejemplo A

Resuelve la incógnita. Sigue el orden de las operaciones y muestra cada paso.

$(3 + 5)^2 \div 2 - 2 = 2b + 4^2$

Solución:

Podemos utilizar los pasos de resolución de problemas para ayudarnos con el orden de las operaciones.

$& \mathbf{Describe:} && \text{The} \ 3+5 \ \text{is in parentheses and has an exponent of 2. The 4 has an exponent of 2.}\\\&&&\text{The other operations shown are multiplication, division, subtraction and addition.}\\\& \mathbf{My \ Job:} && \text{Do the order of operations in order to resuelve for the value of} \ d.\\\& \mathbf{Solve:} && (3 + 5)^2 \div 2 - 2 = 2b + 4^2\\\&&& \mathbf{Parentheses} \qquad \qquad 8^2 \div 2 - 2 = 2b + 4^2\\\&&& \mathbf{Exponents} \qquad \qquad \quad 64 \div 2 - 2 = 2b + 16\\\&&& \mathbf{Multiplication/} \qquad \ \ 32 - 2 = 2b + 16\\\&&& \mathbf{Division}\\\&&& \mathbf{(left \ to \ right)}\\\&&& \mathbf{Addition} \qquad \qquad \qquad 30 = 2b + 16\\\&&& \mathbf{(left \ to \ right)} \qquad \qquad 2b= 30-16\\\&&& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ 2b = 14\\\&&& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ b = 7\\\& \mathbf{Check:} && \text{Replace} \ b \ \text{with 7 in the ecuación. Check that the two expresiones (to the right and}\\\&&&\text{to the left of the = symbol) name the same number.}\\\&&& (3 + 5)^2 \div 2 - 2 = 2\times 7 + 4^2\\\&&& 8^2 \div 2 - 2 = 2\times 7 + 4^2\\\&&& 64 \div 2 - 2 = 2\times 7 +16\\\&&& 32 - 2 = 14 +16\\\&&& 30=30$

Ejemplo B

Resuelve la incógnita. Sigue el orden de las operaciones y muestra cada paso.

$4(c + 2) + 2 = 2 \times 5^2$

Solución:

Podemos utilizar los pasos de resolución de problemas para ayudarnos con el orden de las operaciones.

$& \mathbf{Describe:} && \text{The} \ c+2 \ \text{is in parentheses and is multiplied by 4. The 5 has an exponent of 2.}\\\&&&\text{The other operations shown are multiplication and addition.}\\\& \mathbf{My \ Job:} && \text{Apply the distributive property and do the order of operations in order to resuelve for}\\\&&&\text{the value of} \ c.\\\& \mathbf{Solve:} && 4(c + 2) + 2 = 2 \times 5^2\\\&&& \mathbf{Distributive} \qquad \qquad 4\times c + 4\times 2 + 2 = 2 \times 5^2\\\&&& \mathbf{property}\\\&&& \mathbf{Exponents} \qquad \qquad \quad 4\times c + 4\times 2 + 2 = 2 \times 25\\\&&& \mathbf{Multiplication/} \qquad \ \ 4c + 8 + 2 = 50\\\&&& \mathbf{Division} \\\&&& \mathbf{(left \ to \ right)}\\\&&& \mathbf{Addition} \qquad \qquad \qquad 4c + 10 = 50\\\&&& \mathbf{(left \ to \ right)} \qquad \qquad 4c = 50-10\\\&&& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ 4c = 40\\\&&& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ c = 10\\\& \mathbf{Check:} && \text{Replace} \ c \ \text{with 10 in the ecuación. Check that the two expresiones (to the right and}\\\&&&\text{to the left of the = symbol) name the same number.}\\\&&& 4(10 + 2) + 2 = 2 \times 5^2\\\&&& 4\times 12 + 2 = 2 \times 5^2\\\&&& 4\times 12 + 2 = 2 \times 25\\\&&& 48 + 2 = 20\\\&&& 50 = 50$

Ejemplo C

Resuelve la incógnita. Sigue el orden de las operaciones y muestra cada paso.

$2 + (16 - 4) \div 3 + d + 2d = 9^2 \div 9 \times 2$

Solución:

Podemos utilizar los pasos de resolución de problemas para ayudarnos con el orden de las operaciones.

$& \mathbf{Describe:} && \text{The} \ 16-4 \ \text{is in parentheses. The 9 has an exponent of 2.}\\\&&&\text{The other operations shown are multiplication, division, and addition.}\\\& \mathbf{My \ Job:} && \text{Do the order of operations in order to resuelve for}\\\&&&\text{the value of} \ d.\\\& \mathbf{Solve:} && 2 + (16 - 4) \div 3 + d + 2d = 9^2 \div 9 \times 2\\\&&& \mathbf{Parentheses} \qquad \qquad 2 + 12 \div 3 + d + 2d = 9^2 \div 9 \times 2\\\&&& \mathbf{Exponents} \qquad \qquad \quad 2 + 12 \div 3 + d + 2d = 81 \div 9 \times 2\\\&&& \mathbf{Multiplication/} \qquad \ \ 2 + 4 + d + 2d = 9 \times 2\\\&&& \mathbf{Division} \qquad \qquad \qquad \ \ 2 + 4 + d + 2d = 18\\\&&& \mathbf{(left \ to \ right)}\\\&&& \mathbf{Addition} \qquad \qquad \qquad 6 + 3d = 18\\\&&& \mathbf{(left \ to \ right)} \qquad \qquad 3d = 18-6\\\&&& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ 3d = 12\\\&&& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ d = 4\\\& \mathbf{Check:} && \text{Replace} \ d \ \text{with 4 in the ecuación. Check that the two expresiones (to the right and}\\\&&&\text{to the left of the = symbol) name the same number.}\\\&&& 2 + (16 - 4) \div 3 + 4 + 2\times 4 = 9^2 \div 9 \times 2\\\&&& 2 + 12 \div 3 + 4 + 2\times 4 = 9^2 \div 9 \times 2\\\&&& 2 + 12 \div 3 + 4 + 2\times 4 = 81 \div 9 \times 2\\\&&& 2 + 4 + 4 + 8 = 18\\\&&& 18 = 18$

Revisión del Problema de la Sección

$4 \times 1 + 6(a - 1) - 9 - 2^3 = 2 + 3^2$

Podemos utilizar los pasos de resolución de problemas para ayudarnos con el orden de las operaciones.

$& \mathbf{Describe:} && \text{The} \ a - 1 \ \text{is in parentheses and is multiplied by 6. The 2 has an exponent of 3, and}\\\&&&\text{the 3 has an exponent of 2. The other operations shown are multiplication,}\\\&&&\text{addition, and subtraction.}\\\& \mathbf{My \ Job:} && \text{Apply the distributive property and do the order of operations in order to resuelve for}\\\&&&\text{the value of} \ a.\\\& \mathbf{Solve:} && 4 \times 1 + 6(a - 1) - 9 - 2^3 = 2 + 3^2\\\&&& \mathbf{Distributive} \qquad \qquad 4 \times 1 + 6a - 6 - 9 - 2^3 = 2 + 3^2\\\&&& \mathbf{property}\\\&&& \mathbf{Exponents} \qquad \qquad \quad 4 \times 1 + 6a - 6 - 9 - 8 = 2 + 9\\\&&& \mathbf{Multiplication/} \qquad \ \ 4 + 6a - 6 - 9 - 8 = 2 + 9\\\&&& \mathbf{Division}\\\&&& \mathbf{(left \ to \ right)}\\\&&& \mathbf{Addition} \qquad \qquad \qquad 6a - 19 = 11\\\&&& \mathbf{(left \ to \ right)} \qquad \qquad 6a = 11 + 19\\\&&& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ 6a = 30\\\&&& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ a = 5\\\& \mathbf{Check:} && \text{Replace} \ a \ \text{with 5 in the ecuación. Check that the two expresiones (to the right and}\\\&&&\text{to the left of the = symbol) name the same number.}\\\&&& 4 \times 1 + 6(a - 1) - 9 - 2^3 = 2 + 3^2\\\&&& 4 \times 1 + 6(5 - 1) - 9 - 2^3 = 2 + 3^2\\\&&& 4 \times 1 + 6 \times 4 - 9 - 2^3 = 2 + 3^2\\\&&& 4 \times 1 + 6 \times 4 - 9 - 8 = 2 + 9\\\&&& 4 + 24 - 9 - 8 = 2 + 9\\\&&& 11 = 11$

Vocabulario

El orden de las operaciones nos dice el orden correcto al evaluar expresiones matemáticas. Siempre reResuelvemos el paréntesis primero . luego, los exponentes . Tras lo anterior, realizamos la multiplicación y división (de izquierda a derecha) y, finalmente, reResuelvemos la suma y resta (de izquierda a derecha) . La propiedad distributiva $(a \times (b + c) = a \times b + a \times c)$ nos permite quitar el paréntesis cuando existe una incógnita dentro de este.

Práctica Guiada

Resuelve la incógnita en cada problema. Sigue el orden de las operaciones y muestra cada paso.

1. $61 - (9 - 6)^2 = 5 (2 + f) - 3^1$

2. $5h + 3(h - 2) + 2 = 2^2 \times 3$

3. $10^2 - 5 \times 8 = 1 + 6(j + 4) + (5^2 + 5) \div 6$

Respuestas:

1. Estos son los pasos para resolver el problema:

$61 - (9 - 6)^2 &= 5(2 + f) - 3^1\\\ 61 - 3^2 &= 5 \times 2 + 5f - 3^1\\\61 - 9 &= 5 \times 2 + 5f - 3\\\61 - 9 &= 10 + 5f - 3\\\52 &= 5f + 7\\\52 - 7 &= 5f\\\45 &= 5f\\\9 &= f$

2. Estos son los pasos para resolver el problema:

$5h + 3(h - 2) + 2 &= 2^2 \times 3\\\5h + 3h - 6 + 2 &= 2^2 \times 3\\\5h + 3h - 6 + 2 &= 4 \times 3\\\5h + 3h - 6 + 2 &= 12\\\8h - 4 &= 12\\\8h &= 12 + 4\\\8h &= 16\\\h &= 2$

3. Estos son los pasos para resolver el problema:

$10^2 - 5 \times 8 &= 1 + 6 (j + 4) + (5^2 + 5) \div 6\\\10^2 - 5 \times 8 &= 1 + 6 j + 24 + (25 + 5) \div 6\\\10^2 - 5 \times 8 &= 1 + 6 j + 24 + 30 \div 6\\\100 - 5 \times 8 &= 1 + 6 j + 24 + 30 \div 6\\\100 - 40 &= 1 + 6 j + 24 + 5\\\60 &= 6 j + 30\\\60 - 30 &= 6 j\\\30 &= 6 j\\\5 &= j$

Práctica

Resuelve la incógnita en cada problema. Sigue el orden de las operaciones y muestra cada paso.

$k + 2(6 + k) + 3^2 = 2^3 \times 3 \times 2 - 3$
$6^2 + 2^2 = 2(2m + 4m) - 4^2 \times 2$
$27-(6-3)^2=17(2+g)-4^2$
$6f+2(f-4)+8=2^4\times 4$
$5^3-4\times 15 = 7 +6(k+3)+(4^2+4)\div 5$

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