Balanzas 6

Los estudiantes determinan los valores individuales de tres variables diferentes dada la información sobre los múltiplos o combinaciones de las variables en las imágenes de balanzas. También usan como ayuda pasos de resolución de problemas.

Observa las imágenes de balanzas que se muestran a continuación. ¿Puedes escribir ecuaciones para representar lo que ves en cada balanza? ¿Puedes encontrar el valor de cada letra? En esta sección, practicaremos cómo trabajar con ecuaciones que representan lo que vemos en balanzas. Luego, practicaremos la resolución de estos sistemas de ecuaciones.

Orientación

Para poder resolver el problema presentado anteriormente, utiliza los pasos de resolución de problemas.

Primero, describe la información proporcionada.
Segundo, identifica cuál es tu tarea is. In these problems, tu tarea will be to figure out the value of each of the three variables.
Tercero, haz un plan para resolver el problema. En estos problemas, primero escribe ecuaciones que representen las balanzas. Luego, resuelve el sistema de ecuaciones.
Cuarto, resuelve el problema.
Quinto, comprueba tu solución. Asegúrate que tu solución haga que cada balanza tenga el peso correcto.

Ejemplo A

Escribe ecuaciones. Encuentra el peso de los elementos.

Solución:

Podemos usar como ayuda los pasos de resolución de problemas.

$& \mathbf{Describe:} && \text{There are three scales with blocks.}\\\&&& \text{A: Two} \ x \ \text{and two} \ z \ \text{blocks. They weigh 20 pounds.}\\\&&& \text{B: One} \ x, \ \text{one} \ y, \ \text{and one} \ z \ \text{block. They weigh 15 pounds.}\\\&&& \text{C: One} \ x \ \text{and two} \ y \ \text{blocks. They weigh 14 pounds.}\\\& \mathbf{My \ Job:} && \text{Use the scales as clues. Figure out the weights of the blocks.}\\\& \mathbf{Plan:} && \text{Write ecuaciones, one for each scale.}\\\&&& A: z+x+z+x=20; \ B: x+y+z=15; \ C:x+y+y=14\\\&&& \text{Solve the ecuaciones.}\\\& \mathbf{Solve:} && A: z+x+z+x=20. \ \text{There are two of each block, so} \ z+x=10\\\&&& \text{B}: (z + x) +y = 15. \ \text{Replace} \ (z + x) \ \text{with} \ 10.\\\&&& \quad \quad 10 + y = 15, \ \text{and}\\\&&& \quad \quad y = 15 - 10, \ \text{or} \ 5 \ \text{pounds.}\\\&&& C: x+y+y=14. \ \text{Replace each} \ y \ \text{with} \ 5.\\\&&& \quad \quad x + 10 = 14, \ \text{and}\\\&&& \quad \quad x = 14 - 10, \text{or} \ 4 \ \text{pounds}\\\&&& A: z + x = 10. \ \text{Replace} \ x \ \text{with} \ 4. \ \text{Then}\ z + 4 = 10.\\\&&& \quad \quad z = 10 - 4, \ \text{or} \ 6 \ \text{pounds.}\\\& \mathbf{Check:} && \text{Replace each block with its weight. Check that the total equal the number of}\\\&&& \text{pounds shown on the scales.} \\\&&& A: 6+4+6+4=20; \ B: 4+5+6=15; \ C: 4+5+5=14.$

Ejemplo B

Escribe ecuaciones. Encuentra el peso de los elementos.

Solución:

Podemos usar como ayuda los pasos de resolución de problemas.

$& \mathbf{Describe:} && \text{There are three scales with blocks.}\\\&&& \text{D: One} \ x, \ \text{one} \ y, \ \text{and one} \ z \ \text{block. They weigh 19 pounds.}\\\&&& \text{E: Two} \ y \ \text{and two} \ z \ \text{blocks. They weigh 24 pounds.}\\\&&& \text{F: One} \ z \ \text{and two} \ x \ \text{blocks. They weigh 24 pounds.}\\\& \mathbf{My \ Job:} && \text{Use the scales as clues. Figure out the weights of the blocks.}\\\& \mathbf{Plan:} && \text{Write ecuaciones, one for each scale.}\\\&&& D: x+y+z=19; \ E: y+z+y+z=24; \ F:x+x+z=24\\\&&& \text{Solve the ecuaciones.}\\\& \mathbf{Solve:} && E: y+z+y+z=24. \ \text{There are two of each block, so} \ y+z=12\\\&&& \text{D}: x+(y+z) = 19. \ \text{Replace} \ (y+z) \ \text{with} \ 12.\\\&&& \quad \quad x+12=19, \ \text{and}\\\&&& \quad \quad x = 19 - 12, \ \text{or} \ 7 \ \text{pounds.}\\\&&& F: x+x+z=24. \ \text{Replace each} \ x \ \text{with} \ 7.\\\&&& \quad \quad 14 + z = 24, \ \text{and}\\\&&& \quad \quad z = 24 - 14, \text{or} \ 10 \ \text{pounds}\\\&&& E: y+z=12. \ \text{Replace} \ z \ \text{with} \ 10. \ \text{Then}\ y+10=12.\\\&&& \quad \quad y = 12 - 10, \ \text{or} \ 2 \ \text{pounds.}\\\& \mathbf{Check:} && \text{Replace each block with its weight. Check that the total equal the number of}\\\&&& \text{pounds shown on the scales.} \\\&&& D:7+2+10=19; \ E: 2+10+2+10=24; \ F: 7+7+10=24.$

Ejemplo C

Escribe ecuaciones. Encuentra el peso de los elementos.

Solución:

Podemos usar como ayuda los pasos de resolución de problemas.

$& \mathbf{Describe:} && \text{There are three scales with blocks.}\\\&&& \text{G: One} \ x, \ \text{one} \ y, \ \text{and one} \ z \ \text{block. They weigh 20 pounds.}\\\&&& \text{H: Two} \ x \ \text{and two} \ y \ \text{blocks. They weigh 26 pounds.}\\\&&& \text{I: One} \ y \ \text{and two} \ z \ \text{blocks. They weigh 22 pounds.}\\\& \mathbf{My \ Job:} && \text{Use the scales as clues. Figure out the weights of the blocks.}\\\& \mathbf{Plan:} && \text{Write ecuaciones, one for each scale.}\\\&&& G:x+y+z=20; \ H: y+x+y+x=26; \ I:y+z+z=22\\\&&& \text{Solve the ecuaciones.}\\\& \mathbf{Solve:} && H: y+x+y+x=26. \ \text{There are two of each block, so} \ y+x = 13\\\&&& \text{G}: (x+y) + z = 20. \ \text{Replace} \ (x + y) \ \text{with} \ 13.\\\&&& \quad \quad 13 + z = 20, \ \text{and}\\\&&& \quad \quad z = 20 - 13, \ \text{or} \ 7 \ \text{pounds.}\\\&&& I: y + z + z = 22. \ \text{Replace each} \ z \ \text{with} \ 7.\\\&&& \quad \quad y + 14 = 22, \ \text{and}\\\&&& \quad \quad y = 22 - 14, \text{or} \ 8 \ \text{pounds}\\\&&& H: y+x=13. \ \text{Replace} \ y \ \text{with} \ 8. \ \text{Then}\ 8 + x = 13.\\\&&& \quad \quad x = 13 - 8, \ \text{or} \ 5 \ \text{pounds.}\\\& \mathbf{Check:} && \text{Replace each block with its weight. Check that the total equal the number of}\\\&&& \text{pounds shown on the scales.} \\\&&& G: 5+7+8=20; \ H: 8+5+8+5=26; \ I: 8+7+7=22.$

Revisión del Problema de la Sección

Podemos usar como ayuda los pasos de resolución de problemas.

$& \mathbf{Describe:} && \text{There are three scales with blocks.}\\\&&& \text{A: Two} \ x \ \text{and two} \ y \ \text{blocks. They weigh 26 pounds.}\\\&&& \text{B: One} \ x, \ \text{one} \ y, \ \text{and one} \ z \ \text{block. They weigh 22 pounds.}\\\&&& \text{C: One} \ x \ \text{and two} \ z \ \text{blocks. They weigh 24 pounds.}\\\& \mathbf{My \ Job:} && \text{Use the scales as clues. Figure out the weights of the blocks.}\\\& \mathbf{Plan:} && \text{Write ecuaciones, one for each scale.}\\\&&& A: x + y + x + y = 26; \ B: x + y + z = 22; \ C:x + z + z = 24\\\&&& \text{Solve the ecuaciones.}\\\& \mathbf{Solve:} && A: x + y + x + y = 26. \ \text{There are two of each block, so} \ x + y = 13\\\&&& \text{B}: (x + y) + z = 22. \ \text{Replace} \ (x + y) \ \text{with} \ 13.\\\&&& \quad \quad 13 + z = 22, \ \text{and}\\\&&& \quad \quad z = 22 - 13, \ \text{or} \ 9 \ \text{pounds.}\\\&&& C: x + z + z = 24. \ \text{Replace each} \ z \ \text{with} \ 9.\\\&&& \quad \quad x + 18 = 24, \ \text{and}\\\&&& \quad \quad x = 24 - 18, \text{or} \ 6 \ \text{pounds}\\\&&& A: x + y = 13. \ \text{Replace} \ x \ \text{with} \ 6. \ \text{Then}\ 6 + y = 13.\\\&&& \quad \quad y = 13 - 6, \ \text{or} \ 7 \ \text{pounds.}\\\& \mathbf{Check:} && \text{Replace each block with its weight. Check that the total equal the number of}\\\&&& \text{pounds shown on the scales.} \\\&&& A: 6 + 7 + 6 + 7 = 26; \ B: 6 + 7 + 9 = 23; \ C: 6 + 9+ 9 = 24.$

Vocabulario

En matemáticas, una incógnita es una letra que representa un número del que aún no conocemos el valor. En esta sección, el peso de los elementos que no conocíamos eran incógnitas . Una ecuación es una oración matemática que nos da dos cantidades que son igualadas. En esta sección, escribimos ecuaciones con incógnitas para representar lo que vimos en las balanzas. Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones que representan un problema dado. Debido a que en esta sección escribimos múltiples ecuaciones para cada problema, lo que hicimos fue escribir un sistema de ecuaciones para cada problema.

Práctica Guiada

Escribe ecuaciones. Encuentra el peso de los elementos.

Respuestas:

1. J: $x + y + z = 22$ ; K: $x + x + y = 25$ ; $L: x + z + x+ z= 26$

$x= 8, \ y = 9, \ z = 5$

2. M: $y + x + y + x = 32$ ; N: $z + z + x = 28$ ; P: $x+ y+ z = 25$

$x= 10, \ y = 6, \ z = 9$

3. Q: $x + y + z = 28$ ; R: $y + z + y+ z= 34$ ; S: $x + x+ y= 32$

$x= 11, \ y = 10, \ z = 7$

Práctica

Escribe ecuaciones. Encuentra el peso de los elementos.

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