Costos Iguales

Los estudiantes reciben información sobre lo que dos personas compraron. También se les dice que gastaron la misma cantidad de dinero. Los estudiantes establecen ecuaciones para encontrar el precio de un artículo. También usan como ayuda pasos de resolución de problemas.

Carla y Dan fueron a una tienda. Carla compró 3 cuadernos y una lapicera que costaba $2. Dan compró 2 cuadernos y una corchetera que costaba $8. Todos los cuadernos cuestan lo mismo. Gastaron la misma cantidad de dinero. ¿Puedes encontrar el precio de un cuaderno? En esta sección, aprenderemos a usar ecuaciones para resolver problemas que tengan que ver con costos iguales.

Orientación

Para poder responder preguntas sobre costos iguales como la presentada anteriormente, podemos usar como ayuda los pasos de resolución de problemas.

Primero, describe lo que sabes. ¿Qué compró cada persona?
Segundo, identifica cuál es tu tarea En estos problemas, tu tarea será encontrar el precio de un artículo.
Tercero, haz un plan . En estos problemas, tu plan debería ser escribir una expresión para lo que cada persona gastó. Luego, iguala esas expresiones entre ellas, ya que cada persona gastó la misma cantidad. Finalmente, resuelve la ecuación.
Cuarto, resuelve . Implementa tu plan.
Quinto, comprueba .reemplaza tu respuesta en el problema original y asegúrate de que funcione.

Ejemplo A

Al compró 2 sándwiches. Bob compró un sándwich y una bebida grande que costaba $4. Todos los sándwiches cuestan lo mismo. Gastaron la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto cuesta un sándwich?

Usa $b$ para representar el costo de un sándwich.

Escribe una ecuación para representar los gastos de las dos personas.

Resuelve el valor de $b$ .

Muestra tu trabajo.

Solución:

Podemos utilizar los pasos de resolución de problemas para ayudarnos a resolver este ejercicio.

$& \mathbf{Describe:} && \text{Al:} \ 2 \ \text{sandwiches}\\\&&& \text{Bob:} \ 1 \ \text{sandwich and a} \ \$4 \ \text{large soda}\\\&&& 2 \ \text{sandwiches} \ \text{cost the same as} \ 1 \ \text{sandwich and} \ \$4\\\\\\& \mathbf{My \ job:} && \text{Figure out the cost of one sandwich.}\\\\\\& \mathbf{Plan:} && \text{Use} \ b \ \text{to stand for the cost of one sandwich.}\\\&&& \text{Write an expression showing the money spent by each person.}\\\&&& \text{Since they spent the same amount of money, the two expresiones are equal.}\\\&&& \text{Write the ecuación.}\\\&&& \text{Solve for} \ b.\\\\\\& \mathbf{Solve:} && \text{Al's cost:} \ 2b\\\&&& \text{Bob's cost:} \ b+4.\\\&&& \text{The costs are the same so} \ 2b=b+4. \ \text{Solve the ecuación.}\\\&&& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 2b=b+4\\\&&& \text{Subtract} \ b \ \text{from each side.} \qquad \qquad 2b-b=b+4-b\\\&&& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ b=4\\\&&& \text{One sandwich is} \ \$4\\\\\\& \mathbf{Check:} && \text{Al:} \ 2 \ \text{sandwiches is} \ 2 \times \$4, \ \text{or} \ \$8.\\\&&& \text{Bob:} \ 1 \ \text{sandwich and a} \ \$4 \ \text{large soda is} \ 1 \times \$4+\$4, \ \text{or} \ \$8.\\\&&& \$8= \$8$

Ejemplo B

Camilla compró 4 bebidas pequeñas y una galleta que costaba $2. Darla compró 3 bebidas pequeñas y un postre que costaba $5. Todas las bebidas cuestan lo mismo. Gastaron la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto cuesta una bebida pequeña?

Usa $c$ para representar el costo de una bebida pequeña.

Escribe una ecuación para representar los gastos de las dos personas.

Resuelve el valor de $c$ .

Muestra tu trabajo.

Solución:

Podemos utilizar los pasos de resolución de problemas para ayudarnos a resolver este ejercicio.

$& \mathbf{Describe:} && \text{Camilla:} \ 4 \ \text{small sodas and a } \ \$2 \ \text{cookie}\\\&&& \text{Dana:} \ 3 \ \text{small sodas and a } \ \$5 \ \text{dessert}\\\&&& 4 \ \text{small sodas and } \ \$2 \ \text{costs the same as} \ 3 \ \text{notebooks and} \ \$5\\\\\\& \mathbf{My \ job:} && \text{Figure out the cost of one small soda.}\\\\\\& \mathbf{Plan:} && \text{Use} \ c \ \text{to stand for the cost of one small soda.}\\\&&& \text{Write an expression showing the money spent by each person.}\\\&&& \text{Since they spent the same amount of money, the two expresiones are equal.}\\\&&& \text{Write the ecuación.}\\\&&& \text{Solve for} \ c.\\\\\\& \mathbf{Solve:} && \text{Camilla's cost:} \ 4c+2\\\&&& \text{Dana's cost:} \ 3c+5.\\\&&& \text{The costs are the same so} \ 4c+2=3c+5. \ \text{Solve the ecuación.}\\\&&& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 4c+2=3c+5\\\&&& \text{Subtract} \ 3c \ \text{from each side.} \qquad \qquad 4c+2-3c=3c+5-3c\\\&&& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ c+2=5\\\&&& \text{Subtract} \ 2 \ \text{from each side.} \qquad \qquad \ \ c=3\\\&&& \text{One small soda is} \ \$3\\\\\\& \mathbf{Check:} && \text{Camilla:} \ 4 \ \text{small sodas and a} \ \$2 \ \text{cookie is} \ 4 \times \$3+\$2, \ \text{or} \ \$14.\\\&&& \text{Dana:} \ 3 \ \text{small sodas and a} \ \$5 \ \text{dessert is} \ 3 \times \$3+\$5, \ \text{or} \ \$14.\\\&&& \$14= \$14$

Ejemplo C

Erin compró 6 muffins. Fred compró 4 muffins y una bebida que costaba $3. Todos los muffins cuestan lo mismo. Gastaron la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto cuesta un muffin?

Usa $d$ para representar el costo de un muffin.

Escribe una ecuación para representar los gastos de las dos personas.

Resuelve el valor de $d$ .

Muestra tu trabajo.

Solución:

Podemos utilizar los pasos de resolución de problemas para ayudarnos a resolver este ejercicio.

$& \mathbf{Describe:} && \text{Erin:} \ 6 \ \text{muffins}\\\&&& \text{Fred:} \ 4 \ \text{muffins and a} \ \$3 \ \text{drink}\\\&&& 6 \ \text{muffins} \ \text{costs the same as} \ 4 \ \text{notebooks and} \ \$3\\\\\\& \mathbf{My \ job:} && \text{Figure out the cost of one muffin.}\\\\\\& \mathbf{Plan:} && \text{Use} \ d \ \text{to stand for the cost of one muffin.}\\\&&& \text{Write an expression showing the money spent by each person.}\\\&&& \text{Since they spent the same amount of money, the two expresiones are equal.}\\\&&& \text{Write the ecuación.}\\\&&& \text{Solve for} \ d.\\\\\\& \mathbf{Solve:} && \text{Erin's cost:} \ 6d\\\&&& \text{Fred's cost:} \ 4d+3.\\\&&& \text{The costs are the same so} \ 6d=4d+3. \ \text{Solve the ecuación.}\\\&&& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 6d=4d+3\\\&&& \text{Subtract} \ 4d \ \text{from each side.} \qquad \qquad 6d-4d=4d+3-4d\\\&&& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ 2d=3\\\&&& \text{Divide each side by} \ 2. \qquad \qquad \ \ d=1.5\\\&&& \text{One muffin is} \ \$1.50\\\\\\& \mathbf{Check:} && \text{Erin:} \ 6 \ \text{muffins is} \ 6 \times \$1.50, \ \text{or} \ \$9.\\\&&& \text{Fred:} \ 4 \ \text{muffins and a} \ \$3 \ \text{drink is} \ 4 \times \$1.50+\$3, \ \text{or} \ \$9.\\\&&& \$9= \$9$

Revisión del Problema de la Sección

¿Recuerdas el problema de Carla y Dan? Carla compró 3 cuadernos y una lapicera que costaba $2. Dan compró 2 cuadernos y una corchetera que costaba $8. Todos los cuadernos cuestan lo mismo. Gastaron la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto cuesta un cuaderno?

Podemos utilizar los pasos de resolución de problemas para ayudarnos a resolver este ejercicio.

$& \mathbf{Describe:} && \text{Carla:} \ 3 \ \text{notebooks and a} \ \$2 \ \text{pen}\\\&&& \text{Dan:} \ 2 \ \text{notebooks and an} \ \$8 \ \text{stapler}\\\&&& 3 \ \text{notebooks and} \ \$2 \ \text{costs the same as} \ 2 \ \text{notebooks and} \ \$8\\\\\\& \mathbf{My \ job:} && \text{Figure out the cost of one notebook.}\\\\\\& \mathbf{Plan:} && \text{Use} \ a \ \text{to stand for the cost of one notebook.}\\\&&& \text{Write an expression showing the money spent by each person.}\\\&&& \text{Since they spent the same amount of money, the two expresiones are equal.}\\\&&& \text{Write the ecuación.}\\\&&& \text{Solve for} \ a.\\\\\\& \mathbf{Solve:} && \text{Carla's cost:} \ 3a+2\\\&&& \text{Dan's cost:} \ 2a+8.\\\&&& \text{The costs are the same so} \ 3a+2=2a+8. \ \text{Solve the ecuación.}\\\&&& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 3a+2=2a+8\\\&&& \text{Subtract} \ 2a \ \text{from each side.} \qquad \qquad 3a+2-2a=2a+8-2a\\\&&& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ a+2=8\\\&&& \text{Subtract} \ 2 \ \text{from each side.} \qquad \qquad \ \ a+2-2=8-2\\\&&& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ a=6\\\&&& \text{One notebook is} \ \$6.\\\\\\& \mathbf{Check:} && \text{Carla:} \ 3 \ \text{notebooks and} \ \$2 \ \text{pen is} \ 3 \times \$6+\$2, \ \text{or} \ \$20.\\\&&& \text{Dan:} \ 2 \ \text{notebooks and} \ \$8 \ \text{stapler is} \ 2 \times \$6+\$8, \ \text{or} \ \$20.\\\&&& \$20 = \$20$

Vocabulario

En matemáticas, una expresión es una frase que puede contener números, operaciones y variables sin un signo igual. Una ecuación es una afirmación de que dos expresiones son iguales. Una ecuación son dos expresiones combinadas con un signo de igualdad. resolver una ecuación significa encontrar el o los valor(es) para la(s) variable(s) que dan sentido a la ecuación.

Práctica Guiada

1. Gary compró 5 CDs y un porta CD que costaba $5. Helen compró 3 CDs y unos audífonos que costaban $29. Todos los CDs cuestan lo mismo. Gastaron la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto cuesta un CD?

Usa $f$ para representar el costo de un CD.

Escribe una ecuación para representar los gastos de las dos personas.

Resuelve el valor de $f$ .

Muestra tu trabajo.

2. Ina compró 4 entradas para el cine y una bebida que costaba $2. Jen compró 2 entradas para el cine, un envase de palomitas de maiz que costaba $4, una bebida que costaba $3 y una bolsa de caramelos que costaba $5. Todas las entradas para el cine cuestan lo mismo. Gastaron la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto cuesta una entrada para el cine?

Usa $g$ para representar el costo de una entrada para el cine.

Escribe una ecuación para representar los gastos de las dos personas.

Resuelve el valor de $g$ .

Muestra tu trabajo.

3. Ken compró 10 libras de manzanas. Larry compró 5 libras de manzanas y un frasco de miel que costaba $10. Cada libra de manzanas cuesta lo mismo. Gastaron la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto cuesta una libra de manzanas?

Usa $j$ para representar el costo de una libra de manzanas.

Escribe una ecuación para representar los gastos de las dos personas.

Resuelve el valor de $j$ .

Muestra tu trabajo.

Respuestas:

1. Un CD cuesta $12. Esta es la ecuación que deberías haber escrito y los pasos para resolver el problema:

$5f + 5 &= 3f + 29\\\5f + 5 - 3f &= 3f + 29 - 3f\\\ 2f + 5 &= 29\\\2f + 5 - 5 &= 29 - 5\\\ 2f &= 24\\\ f &= 12$

2. Una entrada para el cine cuesta $5. Esta es la ecuación que deberías haber escrito y los pasos para resolver el problema:

$4g + 2 &= 2g + 4 + 3 + 5\\\ 4g + 2 &= 2g + 12\\\ 4g + 2 - 2g &= 2g + 12 - 2g\\\ 2g + 2 &= 12\\\ 2g + 2 - 2 &= 12 - 2\\\ 2g &= 10\\\ g &= 5$

3. Una libra de manzanas cuesta $2. Esta es la ecuación que deberías haber escrito y los pasos para resolver el problema:

$10j &= 5j + 10\\\ 10j - 5j &= 5j + 10 - 5j\\\ 5j &= 10\\\ j &= 2$

Práctica

1. Hal compró 2 bagles y un chocolate caliente grande que costaba $2,50. Jon compró 4 bagles y un cheesecake que costaba $1,00. Todos los bagels cuestan lo mismo. Gastaron la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto cuesta un bagel?

Usa $a$ para representar el costo de un bagel.

Escribe una ecuación para representar los gastos de las dos personas.

Resuelve el valor de $a$ .

Muestra tu trabajo.

2. Kaelyn compró 5 resmas de papel y una caja de clips que costaba $1,50. Lexa compró 2 resmas de papel y una caja de lapiceras que costaba $6,00. Todas las resmas de papel cuestan lo mismo. Gastaron la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto cuesta una resma de papel?

Usa $b$ para representar el costo de una resma de papel.

Escribe una ecuación para representar los gastos de las dos personas.

Resuelve el valor de $b$ .

Muestra tu trabajo.

3. Mary compró 4 mazos de naipes y un libro de crucigramas que costaba $2,00. Nina compró 2 mazos de naipes y 2 cajas de dominós que costaban $3,50 cada una. Todos los mazos de naipes cuestan lo mismo. Gastaron la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto cuesta un mazo de naipes?

Usa $c$ para representar el costo de un mazo de naipes.

Escribe una ecuación para representar los gastos de las dos personas.

Resuelve el valor de $c$ .

Muestra tu trabajo.

4. Mark compró 5 sándwiches y una bolsa de papas fritas que costaba $2. Dave compró 3 sándwiches y un pie que costaba $10. Todos los sándwiches cuestan lo mismo y gastaron la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto cuesta un sándwich?Mark compró 5 sándwiches y una bolsa de papas fritas que costaba $2. Dave compró 3 sándwiches y un pie que costaba $10. Todos los sándwiches cuestan lo mismo y gastaron la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto cuesta un sándwich?

Usa $d$ para representar el costo de un sándwich.

Escribe una ecuación para representar los gastos de las dos personas.

Resuelve el valor de $d$ .

Muestra tu trabajo.

5. Jess compró 2 cajas de clips y un bloc de notas que costaba $1. John compró una caja de clips y una lapicera que costaba $1,75. Gastaron la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto cuesta una caja de clips?

Usa $e$ para representar el costo de una caja de clips.

Escribe una ecuación para representar los gastos de las dos personas.

Resuelve el valor de $e$ .

Muestra tu trabajo.

6. Sarah compró 7 carpetas y un pack de lapiceras que costaba $4,50. Ben compró 8 carpetas. Gastaron la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto cuesta una carpeta?

Usa $f$ para representar el costo de una carpeta.

Escribe una ecuación para representar los gastos de las dos personas.

Resuelve el valor de $f$ .

Muestra tu trabajo.

7. Bob compró 2 poleras y un par de pantalones que costaba $22,75. Jeff compró 3 poleras y un sombrerp que costaba $12,50. Todas las poleras cuestan lo mismo. Gastaron la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto cuesta una polera?

Usa $g$ para representar el costo de una polera.

Escribe una ecuación para representar los gastos de las dos personas.

Resuelve el valor de $g$ .

Muestra tu trabajo.

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