Montones de Monedas

Los estudiantes usan el razonamiento proporcional para responder preguntas relacionadas con monedas. También usan como ayuda pasos de resolución de problemas.

El peso de un montón de centavos y dimes (monedas de 10 centavos) es de 142 gramos. El peso total de los centavos es de 50 gramos. ¿Cuántos centavos y dimes hay en el montón? En esta sección, aprenderemos a razonar proporcionadamente para responder preguntas sobre monedas.

Orientación

Para poder responder las preguntas sobre monedas como la presentada anteriormente, utiliza los pasos de resolución de problemas.

Primero, describe lo que sabes según la información dada.
Segundo, identifica cuál es tu tarea en este problema. En todos estos problemas, tu tarea será responder una pregunta sobre las monedas.
Tercero, haz un plan para resolver el problema. Piensa en qué otra información conoces sobre el peso de las monedas. Ve si puedes encontrar el peso y número de cada tipo de moneda en el montón.
Cuarto, resuelve el problema.
Quinto, comprueba para asegurarte de que tu respuesta funcione en la información dada originalmente.

Ejemplo A

Un montón de 100 centavos pesa 250 gramos. Un níquel (moneda de 5 centavos) pesa el doble que un centavo. ¿Cuánto pesa un montón de 300 monedas en la que la mitad son centavos y la otra mitad son níqueles?

Solución:

Podemos usar como ayuda los pasos de resolución de problemas.

$& \mathbf{Describe:} && 100 \ \text{centavos weigh} \ 250 \ \text{gramos.}\\\&&& \text{A nickel weighs twice as much as a penny.}\\\&&& \text{A new pile has} \ 300 \ \text{coins. Half of the} \ 300 \ \text{are centavos and half are níqueles .}\\\\\\& \mathbf{My \ job:} && \text{Figure out the weight of the pile of} \ 300 \ \text{coins, half centavos and half níqueles .}\\\\\\& \mathbf{Plan:} && \text{Compute the weight of a penny and a nickel. Then, use those weights to figure out}\\\ &&& \text{the weight of the pile of} \ 300 \ \text{coins, half centavos and half níqueles .}\\\\\\& \mathbf{Solve:} && 100 \ \text{centavos are} \ 250 \ \text{gramos.}\\\&&& \text{So, one penny is} \ \frac{250}{100}, \ \text{or} \ 2.5 \ \text{gramos.}\\\&&& \text{One nickel is} \ 2 \times 2.5, \ \text{or} \ 5 \ \text{gramos.}\\\&&& 150 \times 2.5 = 375 \ \text{gramos}\\\&&& 150 \times 5.0 = 750 \ \text{gramos}\\\&&& \text{The pile of} \ 300 \ \text{coins is} \ 1125 \ \text{gramos.}\\\\\\& \mathbf{Check:} && 100 \ \text{centavos are} \ 250 \ \text{gramos. Using a proportion, the weight of} \ 150 \ \text{centavos is} \ 1.5\\\&&& \text{times} \ 250, \ \text{or} \ 375 \ \text{gramos.}\\\&&& \text{Since} \ 100 \ \text{centavos are} \ 250 \ \text{gramos}, \ 100 \ \text{níqueles are} \ 2 \times 250 \ \text{or} \ 500 \ \text{gramos. So}, \ 150\\\&&& \text{níqueles are} \ 1.5 \times 500, \ \text{or} \ 750 \ \text{gramos.}\\\&&& 375 + 750 = 1125 \ \text{gramos}$

Ya hemos encontrado el número de gramos de un centavo y de un níquel. Ahora, encontraremos el número de gramos de un dime (moneda de 10 centavos) en el Ejemplo B. Luego, utilizaremos esos pesos para ayudarnos a resolver todos los otros problemas presentados en esta sección.

Ejemplo B

El peso de un montón de níqueles y dimes (monedas de 10 centavos) es de 273 gramos. Hay 60 monedas en el montón. Cincuenta de las monedas son níqueles. ¿Cuánto pesa un dime? Registra ese número en la siguiente lista.

Solución:

Podemos usar como ayuda los pasos de resolución de problemas.

Describe: 60 monedas pesan 273 gramos. 50 de las monedas son níqueles. El resto de las monedas son dimes.

Mi tarea: Encuentra el peso de un dime y regístralo en la lista.

Plan: Sé que el peso de un níquel es 5 gramos. Encuentra el peso de 50 níqueles. Resta eso del peso de 273 gramos para encontrar el peso de 10 dimes. Luego, encuentra el peso de un dime.

Resuelve: Un níquel pesa 5 gramos, así que 50 níqueles pesan $50 \times 5$ gramos o 250 gramos.

Debido a que el montón de 60 monedas pesa 273 gramos, $273-250=23$ gramos es lo que pesan 10 dimes.

Un dime pesa $\frac{23 \ \text{gramos}}{10}=2.3 \ \text{gramos}$ .

Comprueba: 50 níqueles: $5 \ \text{gramos} \times 50=250 \ \text{gramos}$

10 dimes: $2.3 \ \text{gramos} \times 10=23 \ \text{gramos}$

$250+23=273$

Ejemplo C

El peso de un montón de centavos y níqueles es de 300 gramos. Hay 20 níqueles. ¿Cuántos centavos hay?

Solución:

Podemos usar como ayuda los pasos de resolución de problemas.

Describe: Hay un montón de centavos y níqueles que pesan 300 gramos en total. Hay 20 níqueles.

Mi tarea: Encontrar cuántos centavos hay.

Plan: Sé que un centavo pesa 2,5 gramos y un níquel pesa 5 gramos. Encuentra el peso de 20 níqueles. Resta eso de los 300 gramos para encontrar el peso de los centavos. Divide el peso de los centavos por 2,5 gramos para encontrar cuántos centavos hay.

Resuelve: Un níquel pesa 5 gramos, así que 20 níqueles pesan $20\times 5 \ \text{gramos}=100 \ \text{gramos}$ .

El montón pesa 300 gramos, lo que significa que los centavos pesan $300 \ \text{gramos}-100 \ \text{gramos}=200 \ \text{gramos}$ .

Un centavo pesa 2,5 gramos $\frac{200 \ \text{gramos}}{2.5 \ \text{gramos}}=80$ Así que 80 centavos pesan 200 gramos. Hay 80 centavos en el montón.

Comprueba: 20 níqueles: $5 \ \text{gramos} \times 20=100 \ \text{gramos}$

80 centavos: $2.5 \ \text{gramos} \times 80=200 \ \text{gramos}$

$100+200=300$

Revisión del Problema de la Sección

El peso de un montón de centavos y dimes (monedas de 10 centavos) es de 142 gramos. El peso total de los centavos es de 50 gramos. ¿Cuántos centavos y dimes hay en el montón?

Podemos usar la información de los ejemplos y los pasos de resolución de problemas para ayudarnos a resolver este ejercicio.

Describe: Hay un montón de centavos y dimes que pesan 142 gramos en total. Los centavos pesan 50 gramos.

Mi tarea: Encontrar cuántos centavos y dimes hay en el montón.

Plan: Usar la información de que todo el montón pesa 142 gramos y los centavos pesan 50 gramos para encontrar el peso de los dimes. Sé que un centavo pesa 2,5 gramos y un dime pesa 2,3 gramos. Usa esta información para encontrar cuántos centavos y dimes hay.

Resuelve: $142 \ \text{gramos}-50 \ \text{gramos}=92 \ \text{gramos}$ entonces los dimes pesan 92 gramos.

Un centavo pesa 2,5 gramos. $\frac{50 \ \text{gramos}}{2.5 \ \text{gramos}}=20$ Entonces, hay 20 centavos.

Un dime pesa 2,3 gramos. $\frac{92 \ \text{gramos}}{2.3 \ \text{gramos}}=40$ Entonces, hay 40 dimes.

Comprueba: 20 centavos: $2.5 \ \text{gramos} \times 20=50 \ \text{gramos}$

40 centavos: $2.3 \ \text{gramos} \times 40=92 \ \text{gramos}$

$50+92=142$

Vocabulario

En esta sección, usamos el razonamiento proporcional cuando utilizamos lo que sabíamos sobre un montón de monedas para encontrar la información sobre una de ellas. Cada vez que hay un radio constante entre dos cantidades (como el número de centavos en un montón y el peso del montón), podemos usar el razonamiento proporcional para resolver el problema.

Práctica Guiada

1. El peso de un montón de centavos, níqueles y dimes (monedas de 10 centavos) es de 191,4 gramos. Hay 20 centavos en el montón. Hay 2 dimes menos que centavos. ¿Cuántas monedas son níqueles?

2. El peso de un montón de centavos y dimes (monedas de 10 centavos) es de 96 gramos. Hay 20 dimes en el montón. ¿Cuál es el valor total de las monedas?

3. El peso de un montón de centavos y níqueles es de 3000 gramos. El valor total de los níqueles es de $25. ¿Cuántos centavos hay en el montón?

Respuestas:

1. 20 níqueles

20 centavos pesan $20 \times 2.5$ gramos $= 50$ gramos; 18 dimes pesan $18 \times 2.3$ gramos $= 41.4$ gramos. $191.4 - 91.4 = 100$ gramos.

$\frac{100}{5} = 20$ níqueles .

2. $2.20

20 dimes pesan $20 \times 2.3$ gramos, o 46 gramos

$96 - 46 = 50$ gramos

$\frac{50}{2.5} = 20$ centavos

20 dimes son $2.00

20 centavos son $0.20

$\$2 + \$0.20 = \$2.20$

3. 200 centavos

$\$25 \times 20$ níqueles /dólar $= 500$ níqueles

$500 \times 5$ gramos $= 2500$ gramos de níqueles

$3000 - 2500 = 500$ gramos de centavos

$\frac{500}{2.5} = 200$ centavos

Práctica

Un montón de centavos, níqueles y dimes pesa 146 gramos. Hay 30 centavos en el montón. Hay 10 dimes menos que centavos. ¿Cuál es el valor total de los níqueles en el montón?
Un montón de centavos, níqueles y dimes pesa 195,5 gramos. Hay 15 centavos en el montón. Hay 12 níqueles más que centavos ¿Cuál es el valor total de las monedas en el montón?
El peso de un montón de centavos, níqueles y dimes (monedas de 10 centavos) es de 84,6 gramos. Hay 22 centavos en el montón. Hay 20 dimes menos que centavos. ¿Cuántas monedas son níqueles?
El peso de un montón de centavos y níqueles es de 142,5 gramos. Hay 15 níqueles en el montón. ¿Cuál es el valor total de las monedas?
El peso de un montón de níqueles y dimes (monedas de 10 centavos) es de 1273,1 gramos. El valor total de los níqueles es de $10,50. ¿Cuántos dimes hay en el montón?

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