X para una Incógnita

Los estudiantes aplicarán la propiedad distributiva, usarán el orden de las operaciones y calcularán raíces

Observa la siguiente ecuación. ¿Puedes encontrar el valor de $x$ ? En esta sección, aprenderás a resolver ecuaciones usando el orden de las operaciones, la propiedad distributiva y las raíces cuadradas.

$2(x + 8) + 2x = x(x + 2^2) + 3^2 - 9$

Orientación

El orden de las operaciones nos indica cual es el orden correcto que hay que seguir al momento de evaluar expresiones matemáticas. Siempre resolvemos los paréntesis primero . A continuación los exponentes . Luego resolvemos la multiplicación y división (de izquierda a derecha) y finalmente finalmente, resolvemos la adición y la substracción (de izquierda a derecha) . La propiedad distributiva $(a \times (b + c) = a \times b + a \times c)$ nos permite sacar los paréntesis cuando hay una incógnita en su interior.

Con el fin de evaluar expresiones usando la propiedad distributiva y el orden de las operaciones, podemos usar los pasos de la resolución de problemas como ayuda.

Primero, describe lo que ves en el problema. ¿Qué operaciones hay?
Segundo, identifica cuál será tu tarea .En estos problemas, tu trabajo consistirá en encontrar el valor de la incógnita.
Tercero, diseña un plan . En el caso de estos problemas, tu plan debería ser usar la propiedad distributiva y el orden de las operaciones para obtener el valor de $x^2$ por sí solo. Al final, usarás una raíz cuadrada.
Cuarto, resuelve .
Quinto, comprueba . Sustituye tu respuesta en la ecuación y asegúrate que funcione.

Ejemplo A

Encuentra el valor positivo de $x$ . Muestra los pasos.

$x^2 + 4(3 + x) - 3 = 2(2x + 9)$

Solución:

Podemos usar los pasos de resolución de problemas como ayuda para resolver esta ecuación.

$&\mathbf{Describe:} && \text{The equation has one unknown}, \ x. \ \text{There are two sets of parentheses.}\\\\\\&\mathbf{My \ Job:} && \text{Do the computations to figure out the value of} \ x.\\\\\\&\mathbf{Plan :} && \text{Follow the order of operations to simplify the equation. Then resuelve for the value}\\\&&& \text{of} \ x. \ \text{Order of operations: Parentheses first. Apply the distributive property.}\\\&&& \text{Then do all computations inside of the parentheses next, following the rule for the}\\\&&& \text{order of operations.}\\\&&& \qquad \text{Parentheses}\\\&&& \qquad \text{Exponents}\\\&&& \qquad \text{Multiplication and Division, left to right}\\\&&& \qquad \text{Addition and Subtraction, left to right}\\\\\\&\mathbf{Solve:} && \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad x^2 + 4(3 + x) - 3 = 2(2x + 9)\\\&&& \mathbf{Parentheses} \qquad \qquad \quad x^2 + 12+4x - 3 = 4x+18\\\\\\&&& \mathbf{Combine \ like \ terms} \qquad \qquad \quad x^2 + 9+4x = 4x+18\\\\\\&&& \mathbf{Add } \ 4x \ \mathbf{to \ each \ side} \qquad x^2 + 9+4x-4x = 4x+18-4x\\\\\\&&& \mathbf{Add/Subtract} \qquad \qquad \qquad \qquad \quad x^2+9=18\\\&&& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad x^2 = 9\\\&&& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad x = 3$

$&\mathbf{Check :} && \text{Replace} \ x \ \text{with} \ 3 \ \text{in the equation. Check for equality.}\\\&&& \qquad 3^2 + 4(3 + 3) - 3 = 2(2 \times 3 + 9)\\\&&& \qquad 3^2 + 4 \times 6 - 3 = 2(6 + 9)\\\&&& \qquad 3^2 + 4 \times 6 - 3 = 2 \times 15\\\&&& \qquad 9+ 4 \times 6 - 3 = 2 \times 15\\\&&& \qquad 9+ 24 - 3 = 30\\\&&& \qquad 30=30$

Ejemplo B

Encuentra el valor positivo de $x$ . Muestra los pasos.

$4(3 - x) + 9^2 = x(x - 4) + 7^2 - 5$

Solución:

Podemos usar los pasos de resolución de problemas como ayuda para resolver esta ecuación.

$&\mathbf{Describe:} && \text{The equation has one unknown}, \ x. \ \text{There are two sets of parentheses.}\\\\\\&\mathbf{My \ Job:} && \text{Do the computations to figure out the value of} \ x.\\\\\\&\mathbf{Plan :} && \text{Follow the order of operations to simplify the equation. Then resuelve for the value}\\\&&& \text{of} \ x. \ \text{Order of operations: Parentheses first. Apply the distributive property.}\\\&&& \text{Then do all computations inside of the parentheses next, following the rule for the}\\\&&& \text{order of operations.}\\\&&& \qquad \text{Parentheses}\\\&&& \qquad \text{Exponents}\\\&&& \qquad \text{Multiplication and Division, left to right}\\\&&& \qquad \text{Addition and Subtraction, left to right}\\\\\\&\mathbf{Solve:} && \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 4(3 - x) + 9^2 = x(x - 4) + 7^2 - 5\\\&&& \mathbf{Parentheses} \qquad \qquad \quad 12-4x + 9^2 = x^2-4x + 7^2 - 5\\\\\\&&& \mathbf{Exponents} \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ 12-4x + 81 = x^2-4x + 49 - 5\\\\\\&&& \mathbf{Combine \ like \ terms} \qquad \qquad \quad 93-4x = x^2-4x + 44\\\\\\&&& \mathbf{Add} \ 4x \ \mathbf{to \ each \ side} \qquad 93-4x+4x = x^2-4x+4x + 44\\\\\\&&& \mathbf{Add/Subtract} \qquad \qquad \qquad \qquad \quad 93 = x^2 + 44\\\&&& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 49 = x^2\\\&&& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 7 = x$

$&\mathbf{Check :} && \text{Replace} \ x \ \text{with} \ 7 \ \text{in the equation. Check for equality.}\\\&&& \qquad 4(3 - 7) + 9^2 = 7(7 - 4) + 7^2 - 5\\\&&& \qquad 4 \times -4 + 9^2 = 7 \times 3 + 7^2 - 5\\\&&& \qquad 4 \times -4 + 81 = 7 \times 3 + 49 - 5\\\&&& \qquad -16 + 81 = 21 + 49 - 5\\\&&& \qquad 65=65$

Ejemplo C

Encuentra el valor positivo de $x$ . Muestra los pasos.

$5(x + 8) + 8^2 - (5^2 + 3 \times 13) = x(x+5) + (9-7)^2$

Solución:

Podemos usar los pasos de resolución de problemas como ayuda para resolver esta ecuación.

$&\mathbf{Describe:} && \text{The equation has one unknown}, \ x. \ \text{There are two sets of parentheses.}\\\\\\&\mathbf{My \ Job:} && \text{Do the computations to figure out the value of} \ x.\\\\\\&\mathbf{Plan :} && \text{Follow the order of operations to simplify the equation. Then resuelve for the value}\\\&&& \text{of} \ x. \ \text{Order of operations: Parentheses first. Apply the distributive property.}\\\&&& \text{Then do all computations inside of the parentheses next, following the rule for the}\\\&&& \text{order of operations.}\\\&&& \qquad \text{Parentheses}\\\&&& \qquad \text{Exponents}\\\&&& \qquad \text{Multiplication and Division, left to right}\\\&&& \qquad \text{Addition and Subtraction, left to right}\\\\\\&\mathbf{Solve:} && \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 5(x + 8) + 8^2 - (5^2 + 3 \times 13) = x(x+5) + (9-7)^2\\\&&& \mathbf{Parentheses} \qquad \qquad \quad 5x+40 + 8^2 - (25+39) = x^2+5x + 2^2\\\\\\&&& \mathbf{More \ Parentheses} \qquad \qquad \quad 5x+40 + 8^2 - 64 = x^2+5x + 2^2\\\\\\&&& \mathbf{Exponents} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ 5x+40 + 64 - 64 = x^2+5x + 4\\\\\\&&& \mathbf{Combine \ like \ terms} \qquad \qquad \qquad \qquad \quad 5x+40 = x^2+5x + 4\\\\\\&&& \mathbf{Subtract} \ 5x \ \mathbf{from \ each \ side} \qquad 5x+40 -5x= x^2+5x + 4-5x\\\\\\&&& \mathbf{Add/Subtract} \qquad \qquad \qquad \qquad \quad 40 = x^2 + 4\\\&&& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 36 = x^2\\\&&& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 6 = x$

$&\mathbf{Check :} && \text{Replace} \ x \ \text{with} \ 6 \ \text{in the equation. Check for equality.}\\\&&& \qquad 5(6 + 8) + 8^2 - (5^2 + 3 \times 13) = 6(6+5) + (9-7)^2\\\&&& \qquad 5 \times 14 + 8^2 - (25+39) = 6 \times 11 + 2^2\\\&&& \qquad 5 \times 14 + 8^2 - 64 = 6 \times 11 + 2^2\\\&&& \qquad 5 \times 14 +64-64=6 \times 11 +4\\\&&& \qquad 70 +64-64=66 +4\\\&&& \qquad 70 = 70$

Revisión del Problema de la Sección

$2(x + 8) + 2x = x(x + 2^2) + 3^2 - 9$

Podemos usar los pasos de resolución de problemas como ayuda para resolver esta ecuación.

$&\mathbf{Describe:} && \text{The equation has one unknown}, \ x. \ \text{There are two sets of parentheses.}\\\\\\&\mathbf{My \ Job:} && \text{Do the computations to figure out the value of} \ x.\\\\\\&\mathbf{Plan :} && \text{Follow the order of operations to simplify the equation. Then resuelve for the value}\\\&&& \text{of} \ x. \ \text{Order of operations: Parentheses first. Apply the distributive property.}\\\&&& \text{Then do all computations inside of the parentheses next, following the rule for the}\\\&&& \text{order of operations.}\\\&&& \qquad \text{Parentheses}\\\&&& \qquad \text{Exponents}\\\&&& \qquad \text{Multiplication and Division, left to right}\\\&&& \qquad \text{Addition and Subtraction, left to right}\\\\\\&\mathbf{Solve:} && \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 2( x + 8) + 2x = x(x + 2^2) + 3^2 - 9\\\&&& \mathbf{Distributive \ Property} \qquad \qquad \quad 2x + 16 + 2x = x^2 + 4x + 3^2 - 9\\\\\\&&& \mathbf{Exponents} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ 2x + 16 + 2x = x^2 + 4x + 9 - 9\\\\\\&&& \mathbf{Add \ variables} \qquad \qquad \qquad \qquad \quad 4x + 16 = x^2 + 4x + 9 - 9\\\\\\&&& \mathbf{Subtract} \ 4x \ \mathbf{from \ each \ side} \qquad 4x + 16 - 4x = x^2 + 4x + 9 - 9 - 4x\\\\\\&&& \mathbf{Add/Subtract} \qquad \qquad \qquad \qquad \quad 16 = x^2 + 9 - 9\\\&&& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 16 = x^2\\\&&& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 4 = x$

$&\mathbf{Check :} && \text{Replace} \ x \ \text{with} \ 4 \ \text{in the equation. Check for equality.}\\\&&& \qquad 2(4 + 8) + 2 \times 4 = 4(4 + 2^2) + 3^2 - 9\\\&&& \qquad 2 \times 12 + 2 \times 4 = 4 \times (4 + 4) + 9 - 9\\\&&& \qquad 24 + 8 = 32 + 9 - 9\\\&&& \qquad 32 = 32$

Vocabulario

El orden de las operaciones nos indica cual es el orden correcto al momento de evaluar expresiones matemáticas. Siempre resolvemos los paréntesis primero . A continuación los exponentes . Luego resolvemos la multiplicación y división (de izquierda a derecha) y finalmente la adición y la substracción (de izquierda a derecha) . La propiedad distributiva $(a \times (b + c) = a \times b + a \times c)$ nos permite sacar los paréntesis cuando hay una incógnita en su interior. La raíz cuadrada de un número es un valor que al multiplicarse por sí mismo, tiene como resultado el número original.

Práctica Guiada

Encuentra el valor positivo de $x$ . Muestra los pasos.

1. $x^2 + 6(x - 1) = 2(3x - 2) + 2^2 - 2$

2. $x^2 + 4(x + 1) = 2(2x + 3^2) + 11$

3. $3(x + 10) - 1 - 2^2 = 3x + x^2 + 2(3 + 5)$

Respuestas:

1. $x=2$ . Estos son los pasos para resolver:

$\ \quad x^2 + 6(x - 1) = 2(3x - 2) + 2^2 - 2\!\\\{\;} \qquad x^2 + 6x - 6 = 6x - 4 + 2^2 - 2\!\\\{\;} \qquad x^2 + 6x - 6 = 6x - 4 + 4 - 2\!\\\ {\;} \qquad x^2 + 6x - 6 - 6x = 6x - 4 + 4 - 2 - 6x\!\\\{\;} \qquad x^2 + -6 = - 4 + 4 - 2\!\\\ {\;} \qquad x^2 + -6 = - 2\!\\\ {\;} \qquad x^2 + -6 + 6 = - 2 + 6\!\\\{\;} \qquad x^2 = 4\!\\\{\;} \qquad x = 2$

2. $x=5$ . Estos son los pasos para resolver:

$\quad \ x^2 + 4(x + 1) = 2(2x + 3^2) + 11\!\\\{\;} \qquad x^2 + 4x + 4 = 4x + 2 \times 9 + 11\!\\\{\;} \qquad x^2 + 4x + 4 - 4x = 4x + 2 \times 9 + 11 - 4x \!\\\{\;} \qquad x^2 + 4 = 2 \times 9 + 11\!\\\{\;} \qquad x^2 + 4 = 18 + 11\!\\\ {\;} \qquad x^2 + 4 - 4 = 18 + 11 - 4\!\\\{\;} \qquad x^2 = 25\!\\\{\;} \qquad x = 5$

3. $x=3$ . Estos son los pasos para resolver:

$\quad \ 3(x + 10) - 1 - 2^2 = 3x + x^2 + 2(3 + 5)\!\\\ {\;} \qquad 3x + 30 - 1 - 2^2 = 3x + x^2 + 2 \times 8\!\\\ {\;} \qquad 3x + 30 - 1 - 4 = 3x + x^2 + 2 \times 8\!\\\ {\;} \qquad 3x + 30 - 1 - 4 - 3x = 3x + x^2 + 2 \times 8 - 3x \!\\\{\;} \qquad 30 - 1 - 4 = x^2 + 2 \times 8\!\\\ {\;} \qquad 30 - 1 - 4 = x^2 + 16\!\\\ {\;} \qquad 25 = x^2 + 16\!\\\{\;} \qquad 25 - 16 = x^2 + 16 - 16\!\\\ {\;} \qquad 9 = x^2\!\\\{\;} \qquad 3 = x$

Práctica

Encuentra el valor positivo de $x$ . Muestra los pasos.

$x^2-4(x-3)=4(2x-1)+3^2-1-4x$
$2x^2+7(x-5)=3x+4(x-9)+2^2+x^2+1$
$x^2+5(2x+1)=2(5x+2^2)+22$
$6(x-5)+13+3^2=6x+x^2-4(1+2)$
$x^2-4(2x+6)=1-8x$
$2(4x-3)+4^2-12=10x+x^2-2(1+x)$
$3x^2+4(x-3)=2(2x+x^2)+24$
$2(x-5)+16-2^3=x^2-7x+9(x-3)$

X para una Incógnita

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