Balanzas 7

Los estudiantes calcularán los valores individuales de cuatro variables diferentes a partir de información sobre los múltiplos o combinaciones de las variables en imágenes de balanzas. Además, usarán los pasos de resolución de problemas como ayuda.

Observa las imágenes de las balanzas que se muestran a continuación. ¿Puedes escribir ecuaciones para representar lo que ves en cada balanza? ¿Puedes encontrar el valor de cada letra? En esta sección, practicaremos cómo trabajar con ecuaciones que representan lo que vemos en balanzas, luego practicaremos la resolución de estos sistemas de ecuaciones.

Orientación

Para poder resolver el problema, utiliza los pasos para resolver problemas.

Comienza por describir la información dada.
Luego, identifica cuál será tu tarea En todos estos problemas, tu tarea será encontrar el valor de cada una de las cuatro variables.
A continuación, diseña un plan para resolver el problema. En estos problemas, primero escribe las ecuaciones para representar las balanzas. A continuación, resuelve el sistema de ecuaciones.
Y luego , resuelve el problema.
Finalmente, comprueba tu respuesta. Asegúrate de que tu solución haga que cada balanza tenga el peso correcto.

Ejemplo A

Escribe ecuaciones y encuentra el peso de los bloques. Algunos bloques pesan lo mismo.

Solución:

Podemos usar los pasos de resolución de problemas como ayuda para escribir y encontrar los pesos de los bloques.

$& \mathbf{Describe}&& \text{There are four scales with blocks}.\\\&&& A: \ w, x, y, z \ \text{blocks weigh} \ 14 \ \text{libras}.\\\&&& B: \ w, w, x \ \text{blocks weigh} \ 10 \ \text{libras}.\\\&&& C: \ w, x, y \ \text{blocks weigh} \ 9 \ \text{libras}.\\\&&& D: \ w, y, w, y \ \text{blocks weigh} \ 10 \ \text{libras}.\\\\\\&\mathbf{My \ Job}&& \text{Use the scales as clues. Figure out the weights of the blocks}.\\\\\\&\mathbf{Plan} && \text{Write equations, one for each scale}.\\\&&& A: w+x+y+z=14; \ B: w+w+x=10;\\\&&& C: w+x+y=9; \ D: w+y+w+y=10.\\\&&& \text{Look for equations that are related}.\\\\\\&\mathbf{Solve}&& D: w+y+w+y=10. \ \text{There are two of each block, so} \ w+y=5\\\&&& C: w+x+y=9. \ \text{Replace} \ w+y \ \text{with}\ 5.\\\&&& \qquad 5+x=9, \ \text{and}\\\&&& \qquad x =9-5, \ \text{or} \ 4 \ libras.\\\&&& B: w+w+x=10. \ \text{Replace} \ x \ \text{with} \ 4.\\\&&& \qquad w+w+4=10, \ 2w=6, \ \text{so} \ w=3 \ libras.\\\&&& C: w+x+y=9. \ \text{Replace} \ x \ \text{and} \ w \ \text{with their values}. \ \text{Then} \ 3+4+y=9.\\\&&& \qquad y=9-7, \ \text{or} \ 2 \ libras.\\\&&& A: w+x+y+z=14. \ \text{Replace known letters with their values} \\\&&& \qquad 3+4+2+z=14, \ \text{and} \ z=14-9, \ \text{or} \ 5 \ libras.\\\\\\&\mathbf{Check} && \text{Replace each block with its weight. Check that the totals equal the number}\\\&&&\text{of libras shown on the scales.}\\\&&& A: 3+4+2+5=14; \ B: 3+3+4=10; \ C: 3+4+2=9;\\\&&& D: 3+2+3+2=10.$

Ejemplo B

Escribe ecuaciones y encuentra el peso de los bloques. Algunos bloques pesan lo mismo.

Solución:

Podemos usar los pasos de resolución de problemas como ayuda para escribir y encontrar los pesos de los bloques.

$& \mathbf{Describe}&& \text{There are four scales with blocks}.\\\&&& A: \ w, x, y \ \text{blocks weigh} \ 16 \ \text{libras}.\\\&&& B: \ w, x, y, z \ \text{blocks weigh} \ 24 \ \text{libras}.\\\&&& C: \ w, x, w, x \ \text{blocks weigh} \ 24 \ \text{libras}.\\\&&& D: \ x, z, z \ \text{blocks weigh} \ 21 \ \text{libras}.\\\\\\&\mathbf{My \ Job}&& \text{Use the scales as clues. Figure out the weights of the blocks}.\\\\\\&\mathbf{Plan} && \text{Write equations, one for each scale}.\\\&&& A: w+x+y=16; \ B: w + x + y + z = 24;\\\&&& C: w + x + w + x = 24; \ D: x + z + z = 21.\\\&&& \text{Look for equations that are related}.\\\\\\&\mathbf{Solve}&& C: w+x+w+x=24. \ \text{There are two of each block, so} \ w+x=12\\\&&& A: w+x+y=16. \ \text{Replace} \ w+x \ \text{with}\ 12.\\\&&& \qquad 12+y=16, \ \text{and}\\\&&& \qquad y =16-12, \ \text{or} \ 4 \ libras.\\\&&& B: w+x+y+z=24. \ \text{Replace} \ w+x \ \text{with} \ 12 \ \text{and replace} \ y \ \text{with}\ 4.\\\&&& \qquad 12+4+z=24, \ z+16=24, \ \text{so} \ z=8 \ libras.\\\&&& D: x+z+z=21. \ \text{Replace} \ z \ \text{with}\ 8. \ \text{Then} \ x+8+8=21.\\\&&& \qquad x=21-16, \ \text{or} \ 5 \ libras.\\\&&& A: w+x+y=16. \ \text{Replace} \ y \ \text{with} \ 4 \ \text{and replace} \ x \ \text{with} \ 75;\\\&&& \qquad w+5+4=16, \ \text{and} \ w=16-9, \ \text{or} \ 7 \ libras.\\\\\\&\mathbf{Check} && \text{Replace each block with its weight. Check that the totals equal the number}\\\&&&\text{of libras shown on the scales.}\\\&&& A: 7+5+4=16; \ B: 7+5+4+8=24; \ C: 7+5+7+5=24;\\\&&& D: 5+8+8=21.$

Ejemplo C

Escribe ecuaciones y encuentra el peso de los bloques. Algunos bloques pesan lo mismo.

Solución:

Podemos usar los pasos de resolución de problemas como ayuda para escribir y encontrar los pesos de los bloques.

$& \mathbf{Describe}&& \text{There are four scales with blocks}.\\\&&& A: \ y, z, y, z \ \text{blocks weigh} \ 28 \ \text{libras}.\\\&&& B: \ x, y, z \ \text{blocks weigh} \ 21 \ \text{libras}.\\\&&& C: \ w, w, y \ \text{blocks weigh} \ 18 \ \text{libras}.\\\&&& D: \ w, x, y, z \ \text{blocks weigh} \ 26 \ \text{libras}.\\\\\\&\mathbf{My \ Job}&& \text{Use the scales as clues. Figure out the weights of the blocks}.\\\\\\&\mathbf{Plan} && \text{Write equations, one for each scale}.\\\&&& A: y+z+y+z=28; \ B: x+y+z=21;\\\&&& C: w+w+y=18; \ D: w+x+y+z.\\\&&& \text{Look for equations that are related}.\\\\\\&\mathbf{Solve}&& A: y+z+y+z=28. \ \text{There are two of each block, so} \ y+z=14\\\&&& B: x+ y+ z = 21. \ \text{Replace} \ y+ z \ \text{with}\ 14.\\\&&& \qquad x+14=21, \ \text{and}\\\&&& \qquad x =21 - 14, \ \text{or} \ 7 \ libras.\\\&&& D: w+x+y+z=26. \ \text{Replace} \ x \ \text{with} \ 7 \ \text{and replace} \ y+ z \ \text{with}\ 14.\\\&&& \qquad w+7+14=26, \ w+21=26, \ \text{so} \ w=5 \ libras.\\\&&& C: w+w+y=18. \ \text{Replace} \ w \ \text{with}\ 5. \ \text{Then} \ 5+5+y=18.\\\&&& \qquad y=18-10, \ \text{or} \ 8 \ libras.\\\&&& B: x+y+z=21. \ \text{Replace} \ y \ \text{with} \ 8 \ \text{and replace} \ x \ \text{with} \ 7;\\\&&& \qquad 7+8+z=21, \ \text{and} \ z=21-15, \ \text{or} \ 6 \ libras.\\\\\\&\mathbf{Check} && \text{Replace each block with its weight. Check that the totals equal the number}\\\&&&\text{of libras shown on the scales.}\\\&&& A: 8+6+8+6=28; \ B: 7+8+6=21; \ C: 5+5+8=18;\\\&&& D: 7+5+8+6=26.$

Revisión del Problema de la Sección

Podemos usar los pasos de resolución de problemas como ayuda para escribir y encontrar los pesos de los bloques.

$& \mathbf{Describe}&& \text{There are four scales with blocks}.\\\&&& A: \ y, x, y, x \ \text{blocks weigh} \ 28 \ \text{libras}.\\\&&& B: \ x, y, z \ \text{blocks weigh} \ 23 \ \text{libras}.\\\&&& C: \ w, x, y, z \ \text{blocks weigh} \ 28 \ \text{libras}.\\\&&& D: \ x, x, z \ \text{blocks weigh} \ 25 \ \text{libras}.\\\\\\&\mathbf{My \ Job}&& \text{Use the scales as clues. Figure out the weights of the blocks}.\\\\\\&\mathbf{Plan} && \text{Write equations, one for each scale}.\\\&&& A: y+ x+ y+ x= 28; \ B: x+ y+ z= 23;\\\&&& C: w+ x+ y + z = 28; \ D: x+x+z=25.\\\&&& \text{Look for equations that are related}.\\\\\\&\mathbf{Solve}&& A: y+x+y+x=28. \ \text{There are two of each block, so} \ y+x=14\\\&&& B: x+ y+ z = 23. \ \text{Replace} \ x+ y \ \text{with}\ 14.\\\&&& \qquad 14 +z=23, \ \text{and}\\\&&& \qquad z =23 - 14, \ \text{or} \ 9 \ libras.\\\&&& D: x+ x+ z = 25. \ \text{Replace} \ z \ \text{with} \ 9.\\\&&& \qquad x+x+9=25, \ 2x=25-9, \ \text{or} \ 16, \ \text{and}\\\&&& \qquad x =16 \div 2, \ \text{or}\ 8 \ libras.\\\&&& A: x+ y= 14. \ \text{Replace} \ x \ \text{with}\ 8. \ \text{Then} \ 8+y=14.\\\&&& \qquad y=14-8, \ \text{or} \ 6 \ libras.\\\&&& C: w+x+ y+ z = 28. \ \text{From} \ B, \ x+y+z=23. \ \text{Replace} \ x+ y+z \ \text{with} \ 23;\\\&&& \qquad w +23=28, \ \text{and} \ w=28-23, \ \text{or} \ 5 \ libras.\\\\\\&\mathbf{Check} && \text{Replace each block with its weight. Check that the totals equal the number}\\\&&&\text{of libras shown on the scales.}\\\&&& A: 6 + 8 + 6 + 8 =28; \ B: 8 + 6 + 9 =23; \ C: 5 + 8 + 6+9 =28;\\\&&& D: 8+8+9=25.$

Vocabulario

En matemáticas, una incógnita es una letra que representa a un número del cual no conocemos el valor todavía. En esta sección, los bloques de los cuales no sabíamos los pesos eran incógnitas. Una ecuación es una oración matemática que nos muestra dos cantidades que son iguales. En esta sección, escribimos ecuaciones con incógnitas para representar lo que vimos en las balanzas. Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones que representa a un problema dado. Dado que en esta sección escribimos múltiples ecuaciones para cada problema, escribimos un sistema de ecuaciones para cada problema.

Práctica Guiada

Escribe ecuaciones. Encuentra el peso de los bloques.

Respuestas:

1. A: $x + x + z = 26$ ; B: $w + x + z = 23$ ; C: $x + z + x + z = 34$ ; D: $w + y + y = 20$ .

$w = 6$ libras, $x = 9$ libras, $y = 7$ libras, $z = 8$ libras.

2. A: $y + x + y + x = 26$ ; B: $x + y + w = 17$ ; C: $w + x + x = 20$ ; D: $w + x + y + z = 26$ .

$w = 4$ libras, $x = 8$ libras, $y = 5$ libras, $z = 9$ libras.

3. A: $w + y + z = 22$ ; B: $x + y + z + z = 25$ ; C: $x + y + z = 20$ ; D: $w + z + w + z = 26$ .

$w = 8$ libras, $x = 6$ libras, $y = 9$ libras, $z = 5$ libras.

Práctica

Escribe ecuaciones. Encuentra el peso de los bloques. Algunos bloques pesan lo mismo.

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