Líneas de Números

Observa el patrón que se muestra a continuación. ¿Cómo lo describirías? ¿Puedes responder las preguntas sobre el patrón? En esta sección, practicaremos el trabajo con patrones numéricos.

Orientación

Para poder examinar los patrones y responder preguntas sobre ellos, como las de arriba, podemos usar los pasos de la resolución de problemas como ayuda.

• Primero, describe lo que ves en el patrón. ¿Qué números hay? ¿Cuándo comienza a repetirse?
• Segundo, identifica cuál será tu tarea En estos problemas, tu trabajo consistirá en responder las preguntas.
• Tercero, diseña un plan . En estos problemas, tu plan debería ser calcular cuántas veces se repite el patrón antes de alcanzar el número dado.
• Cuarto, resuelve . Responde las preguntas.
• Quinto, comprueba . Asegúrate que tus respuestas sean las correctas.

Ejemplo A

Observa el siguiente patrón y contesta las preguntas.

Solución:

Podemos usar los pasos de resolución de problemas como ayuda para responder las preguntas sobre el patrón.

Describe: el patrón de números repite los números 1, 2 3, 4.

tu tarea: averigua cuál es el número ubicado en el puesto 25 y el puesto 75, y cuál es la suma del 75 números.

Plan: los números se encuentran en conjuntos de cuatro: 1, 2, 3 y 4. Calcula cuántos conjuntos de cuatro números hay y cuántos números sobran para encontrar los números ubicados en el puesto 25 y 75. Para encontrar la suma de los 75 primeros números, multiplicamos el número de conjuntos de cuatro números por la suma de los cuatro números. Luego sumamos los números restantes.

Resuelve: a. es igual a 6 y sobra 1; . Por lo tanto, el número ubicado la posición 24 será el 4 (el último número del conjunto). Luego, el número ubicado en el puesto 25 será el 1.

b. es 18 y sobra 3; . Por lo tanto, el número ubicado en el puesto 72 será 4, el número ubicado en el puesto 73 será 1, el número ubicado en el puesto 74 será 2 y el número ubicado en el puesto 75 será 3.

c. 10 es la suma de un conjunto de 1, 2, 3, 4. Hay 18 conjuntos de cuatro números terminados en 72. es la suma de los primeros 72 números. es la suma de los tres números que sobran. Por lo tanto, es la suma de los 75 primeros números del patrón.

Comprueba: a. El primero, quinto, noveno y así sucesivamente son números uno. Todas las posiciones uno más que un múltiplo de 4 son unos. Por lo que el número en el puesto 25 es 1.

b. 73 es uno más que un múltiplo de 4, por lo tanto el número ubicado en la posición 73 es un 1, la posición 74 es 2 y la 75 es un 3.

c. Hay 18 grupos de 4 en 75, con tres números que sobran. La suma de los primeros 18 conjuntos de números es y la suma de los tres números extra es 6, por lo que la suma total es 186.

Ejemplo B

Observa el siguiente patrón y contesta las preguntas.

Solución:

Podemos usar los pasos de resolución de problemas como ayuda para responder las preguntas sobre el patrón.

Describe: el patrón de números repite los números 2, 3, 4.

tu tarea: encontrar el número ubicado en la posición número 40 y 110 y calcular la suma de los primeros 110 números.

Plan: los números se encuentran en conjuntos de tres: 2, 3 y 4. Calcula cuántos conjuntos de tres números hay y cuántos números sobran para encontrar el número ubicado en la posición 40 y 110. Para encontrar la suma de los 110 primeros números, multiplica el número de conjuntos de tres números por la suma de los tres números. Luego suma los números que sobraron.

Resuelve: a. es 13 y sobra 1; . Por lo tanto, el número ubicado en la posición 39 será 4 (el último número del conjunto). Luego, el número ubicado en la posición número 40 será 2.

b. es 36 y sobra 2; . Por lo tanto, el número ubicado en la posición número108 será el número 4. El número ubicado en la posición número 109 será 2 y el número ubicado en la posición número 110 será 3.

c. 9 es la suma de un conjunto de 2, 3, 4. Hay 36 conjuntos de tres números terminados en 108. es la suma de los 108 primeros números. es la suma de los números que sobran. Por lo tanto, es la suma de los 110 primeros números del patrón.

Comprueba: a. El primero, cuarto, séptimo y así sucesivamente son números dos. Todas las posiciones uno más que un múltiplo de 4 son unos. Por lo que el número en el número 40 es 2.

b. 109 es uno más que un múltiplo de 3, por lo tanto, el número ubicado en la posición número 109 es el número 2 y el número ubicado en la posición número 110 es el 3.

c. Hay 36 conjuntos de 3 en 110, con dos restantes. La suma de los primeros 36 conjuntos de tres números es y la suma de los dos números extra es 5, por lo que la suma total es 329.

Ejemplo C

Observa el siguiente patrón y contesta las preguntas.

Solución:

Podemos usar los pasos de resolución de problemas como ayuda para responder las preguntas sobre el patrón.

Describe: el patrón de números repite los números 1, 3, 5, 7.

tu tarea: encontrar el número ubicado en la posición número 70 y 175 y calcular la suma de los primero 175 números.

Plan: los números se encuentran en grupos de cuatro: 1, 3, 5 y 7. Calcula cuántos grupos de cuatro números hay y cuántos números sobran para encontrar los números que se encuentran en la posición número 70 y 175. Para encontrar la suma de los 175 primeros números, multiplicamos el número de grupos de cuatro números por la suma de los cuatro números. Luego sumamos los números que sobraron.

Resuelve: a. es 17 y sobran 2 . Por lo tanto, el número ubicado en la posición 68 será el número 7 (el último número del conjunto). De ahí que el número ubicado en la posición número 69 será el 1 y en la posición número 70 será el 3.

b. es 43 y sobra 3; . Por lo tanto, el número ubicado en la posición número 172 será el 7, el número ubicado en la posición número173 será el 1, en la posición número 174 será el 3 y en la posición número 175 será el 5.

c. 16 es la suma de un grupo de 1, 3, 5, 7. Hay 43 conjuntos de cuatro números terminados en 172. es la suma de los 172 primeros números. es la suma de los tres número que sobran. Por lo tanto, es la suma de los 175 primeros números del patrón.

Comprueba a. El primero, quinto, noveno y así sucesivamente son números uno. Todas las posiciones uno más que un múltiplo de 4 son unos. Por lo tanto, el número en la posición número 69 es 1 y en la posición 70 es 3.

b. 173 es uno más que un múltiplo de 4, por lo tanto, el número ubicado en la posición número 173 es el número 1, el número ubicado en la posición número 174 es 3 y el número ubicado en la posición número 175 es el 5.

c. Hay 43 conjuntos de 4 en 175, con tres restantes. La suma de los primeros 43 conjuntos de cuatro números es y la suma de los tres números extra es 9, por lo tanto la suma total es 697.

Revisión del Problema de la Sección

Podemos usar los pasos de resolución de problemas como ayuda para responder las preguntas sobre el patrón.

Describe: el patrón de números repite los números 3, 4 y 4.

Mi tarea: encontrar los números ubicados en la posiciones número 50 y 200 y calcular la suma de los primeros 200 números.

Plan: los números se encuentran en conjuntos de tres: 3, 4 y 4. Calcula cuántos grupos de tres números hay y cuántos números sobran para encontrar los números que se encuentran en las posiciones número 50 y 200. Para encontrar la suma de los 200 primeros números, multiplica el número de conjuntos de tres números por la suma de los tres números. Luego sumamos los números que sobraron.

Resuelve: a. es 16 y sobran 2; . Por lo tanto, el número ubicado en la posición número 48 será 4 (el último número del conjunto). Por lo que el número ubicado en la posición número 49 será 3 y el número ubicado en la posición número 50 será el número 4.

b. es 66 y sobran 2 y . Por lo tanto, el número ubicado en la posición número 198 será 4. El número ubicado en la posición número 199 será 3 y el número ubicado en la posición número 200 será 4.

c. 11 es la suma de un conjunto de 3, 4, 4. Hay 66 conjuntos de tres números terminados en 198. es la suma de los 198 primeros números. es la suma de los números que sobran. Por lo tanto, es la suma de los primeros 200 números del patrón.

Comprueba: a. El primero, cuarto, séptimo y así sucesivamente son números tres. Todas las posiciones uno más que un múltiplo de 3 son 3s. Por lo tanto, el número en la posición número 49 es 3 y en la posición 50 es 4.

b. 199 es uno más que un múltiplo de 3, por lo tanto el número ubicado en la posición número 199 es el número 3 y el número ubicado en la posición 200 es el número 4.

c. Hay 66 conjuntos de 3 en 200, con dos restantes. La suma de los primeros 66 conjuntos de tres números es y la suma de los dos números extra es 7, por lo que la suma total es 733.

Vocabulario

Un tipo de patrón es cuando un conjunto de objetos se repite una y otra vez. En esta sección, vimos patrones de números en los cuales conjuntos de números se repetían para formar un patrón. Con cualquier patrón deberías ser capaz de describir el patrón y saber cómo pasar de un paso del patrón a otro.

Práctica Guiada

Observa los siguientes patrones y contesta las preguntas.

1.

2.

3.

Respuestas:

1. a. El número en el puesto 47 es 8. es 15 con dos restante. Por lo tanto, el número ubicado en la posición número 45 es el número 9, el número ubicado en la posición número 46 es el número 7 y en la posición 47 es el número 8.

b. El número en la posición número 100 es 7. es 33 con 1 restante. Por lo tanto, el número ubicado en la posición número 99 es 9 y el ubicado en la posición 100 es el número 7.

c. La suma de los primeros 100 números es 809. La suma de un conjunto de 7, 8, 9 es 24. A partir de la respuesta a la pregunta b, sabemos que 33 conjuntos de tres números terminan en 99. La suma de los primeros 99 números es . El número ubicado en la posición número 100 es 7, por lo tanto, la suma de los primero 100 números en el patrón es .

2. a. El número en el puesto 27 es 6. es 6 con 3 restantes Así, el número ubicado en la posición número 24 es 8, el número ubicado en la posición número 25 es 4, el de la posición 26 es 4 y en la 27 es el número 6.

b. El número ubicado en la posición número 78 es 4. es 19 con 2 restante. Por lo tanto, el número ubicado en la posición 76 es 8, el ubicado en la posición 77 es 4 y en la posición 78 es el número 4.

c. La suma de los primeros 78 números es 426. La suma de un conjunto de 4, 4, 6 y 8 es 22. A partir de la respuesta a la pregunta b, sabemos que 19 conjuntos de cuatro números terminan en 76. La suma de los primeros 76 números es . Los dos números restantes son 4 y 4, y su suma es 8. Por lo tanto, la suma de los primeros 78 números del patrón es .

3. a. El número en la posición 38 es 3. es 9 con dos restantes. Por lo tanto, el número ubicado en la posición número36 es el número 7, el número ubicado en la posición 37 es 1 y el ubicado en la posición número 38 es 3.

b. El número en la posición 72 es 7. es 18 sin resto. Por lo tanto, el número en la posición 72 es 7.

c. La suma de los primeros 72 números es 288. La suma de un conjunto de 1, 3, 5, 7 es 16. A partir de la respuesta a la pregunta b, sabemos que 18 conjuntos de cuatro números terminan en 72. La suma de los primeros 72 números es .

Práctica

Observa los siguientes patrones y contesta las preguntas.