Potencia de Pedal

Los estudiantes analizarán gráficos para elaborar tablas y escribir funciones que muestren la relación que hay entre el número de horas y la distancia recorrida. Además, usarán los pasos de resolución de problemas como ayuda.

Lee los datos y analiza el siguiente gráfico. ¿Puedes completar una tabla para cada motociclista que muestre la distancia que ha recorrido ¿Puedes escribir una función que muestre la relación que hay entre el número de millas recorridas y $(D)$ el número de horas $(t)$ de viaje para cada motociclista? En esta sección, practicaremos la escritura de funciones a partir de gráficos.

Dato: Judson partió una hora después que Connor y viajó a mayor velocidad que Connor.

Orientación

Para elaborar una tabla y escribir una regla en el caso de situaciones como la anterior, podemos usar los pasos de la resolución de problemas como ayuda..

Primero, describe lo que sabes. ¿Qué información vemos en el gráfico?
Segundo, identifica cuál será tu tarea En estos problemas, tu trabajo consistirá en elaborar tablas y escribir una función.
Tercero, diseña un plan . En el caso de estos problemas, tu plan debería ser usar el gráfico para rellenar la tabla. Luego, busca un patrón que te ayude escribir la función.
Cuarto, resuelve . Pon tu plan en práctica.
Quinto, comprueba . Asegúrate de que tu función funcione con el gráfico.

Ejemplo A

Dato: Spiro partió una hora más tarde que Hedricks y viajó a menor velocidad.

Usa el Dato y el gráfico. Completa la tabla para cada motociclista mostrando la distancia recorrida. Escribe una función que muestre la relación que hay entre el número de millas recorridas $(D)$ y el número de horas $(t)$ de viaje para cada motociclista.

Solución:

Podemos usar los pasos de resolución de problemas como ayuda para analizar el gráfico, completar la tabla y escribir la función.

$& \mathbf{Describe:} && \text{The graph is a Distance-Time graph and shows two lines. One line is} \\\& && \text{steeper than the other. One line starts where}\ t = 0.\ \text{The other line starts} \\\& && \text{where}\ t = 1.\ \text{The Fact identifies two bikers, Spiro and Hendricks}. \\\& && \text{Spiro left 1 hour after Hendricks and biked at a slower speed.} \\\\\\& \mathbf{My \ Job:} && \text{Use the graph and the Fact to figure out which line represents each biker}. \\\& && \text{Use the graph data to complete the table for each biker. Write the function} \\\& && \text{that shows the relationship between Distance and Time for each biker}. \\\\\\& \mathbf{Plan:} && \text{Use the Fact and graph to identify the line that represents Spiro} \\\& && \text{Complete the table for Spiro using points on the line. Write the} \\\& && \text{function rule. Do the same for Hendricks}. \\\\\\& \mathbf{Solve:} && \text{Since Spiro leaves later than Hendricks, the green line represents Spiro. Spiro's} \\\& && \text{number of hours is one less than the number of hours Hendricks bikes}. \\\& && \text{Hendricks' line is steeper. This means that Hendricks is biking faster than Spiro}.$

Tiempo (Número de horas)	Distancia recorrida por Spiro (Número de millas)	Distancia recorrida por Hendrick (Número de millas)
0	0	0
1	0	6
2	3	12
3	6	18
4	9	24
5	12	30

$& && \text{Spiro}:\ D = 3(t - 1) \\\& && \text{Hendricks}:\ D = 6t$

$& \mathbf{Check:} && \text{Replace variables in the functions with their values. Check results}\\\& &&\text{with data in the table}.$

	Spiro $D = 3(t - 1)$	Hendricks $D = 6t$
For $t = 1$	$0=3(1-1)$	$6 = 6 \times 1$
For $t = 2$	$3 = 3(2 - 1)$	$12 = 6 \times 2$
For $t = 3$	$6 = 3(3 - 1)$	$18 = 6 \times 3$
For $t = 4$	$9 = 3(4 - 1)$	$24 = 6 \times 4$
For $t = 5$	$12 = 3(5 - 1)$	$30 = 6 \times 5$

Ejemplo B

Dato: Kelly partió 2 horas después que Finley y viajó a una mayor velocidad.

Solución:

Podemos usar los pasos de resolución de problemas como ayuda para analizar el gráfico, completar la tabla y escribir la función.

$& \mathbf{Describe:} && \text{The graph is a Distance-Time graph and shows two lines. One line is} \\\& && \text{steeper than the other. One line starts where}\ t = 0.\ \text{The other line starts} \\\& && \text{where}\ t = 2.\ \text{The Fact identifies two bikers, Kelly and Finley}. \\\& && \text{Kelly left 2 hours after Finley and biked at a faster speed}. \\\\\\& \mathbf{My \ Job:} && \text{Use the graph and the Fact to figure out which line represents each biker}. \\\& && \text{Use the graph data to complete the table for each biker. Write the function} \\\& && \text{that shows the relationship between Distance and Time for each biker}. \\\\\\& \mathbf{Plan:} && \text{Use the Fact and graph to identify the line that represents Kelly} \\\& && \text{Complete the table for Kelly using points on the line. Write the} \\\& && \text{function rule. Do the same for Finley}. \\\\\\& \mathbf{Solve:} && \text{Since Kelly leaves later than Finley, the green line represents Kelly. Kelly's} \\\& && \text{number of hours is two less than the number of hours Finley bikes}. \\\& && \text{Kelly's line is steeper. This means that Kelly is biking faster than Finley}.$

Tiempo (Número de horas)	Distancia recorrida por Kelly (Número de millas)	Distancia recorrida por Finley (Número de millas)
0	0	0
1	0	6
2	0	12
3	8	18
4	16	24
5	24	30

$& && \text{Kelly}:\ D = 8(t - 2) \\\& && \text{Finley}:\ D = 6t$

$& \mathbf{Check:} && \text{Replace variables in the functions with their values. Check results}\\\& &&\text{with data in the table}.$

	Kelly $D = 8(t - 2)$	Finley $D = 6t$
For $t = 1$		$6 = 6 \times 1$
For $t = 2$	$0 = 8(2 - 2)$	$12 = 6 \times 2$
For $t = 3$	$8 = 8(3 - 2)$	$18 = 6 \times 3$
For $t = 4$	$16 = 8(4 - 2)$	$24 = 6 \times 4$
For $t = 5$	$24 = 8(5 - 2)$	$30 = 6 \times 5$

Ejemplo C

Dato: Robinson partió una hora más tarde que Cranston y viajó a la mitad de la velocidad de Cranston.

Solución:

Podemos usar los pasos de resolución de problemas como ayuda para analizar el gráfico, completar la tabla y escribir la función.

$& \mathbf{Describe:} && \text{The graph is a Distance-Time graph and shows two lines. One line is} \\\& && \text{steeper than the other. One line starts where}\ t = 0.\ \text{The other line starts} \\\& && \text{where}\ t = 1.\ \text{The Fact identifies two bikers, Robinson and Cranston}. \\\& && \text{Robinson left 1 hour after Cranston and biked at half of Cranston's speed}. \\\\\\& \mathbf{My \ Job:} && \text{Use the graph and the Fact to figure out which line represents each biker}. \\\& && \text{Use the graph data to complete the table for each biker. Write the function} \\\& && \text{that shows the relationship between Distance and Time for each biker}. \\\\\\& \mathbf{Plan:} && \text{Use the Fact and graph to identify the line that represents Robinson} \\\& && \text{Complete the table for Robinson using points on the line. Write the} \\\& && \text{function rule. Do the same for Cranston}. \\\\\\& \mathbf{Solve:} && \text{Since Robinson leaves later than Cranston, the green line represents Robinson. Robinson's} \\\& && \text{number of hours is one less than the number of hours Cranston bikes}. \\\& && \text{Cranston's line is steeper. This means that Cranston is biking faster than Connors}.$

Tiempo (Número de horas)	Distancia recorrida por Robinson (Número de millas)	Distancia recorrida por Cranston (Número de millas)
0	0	0
1	0	10
2	5	20
3	10	30
4	15	40
5	20	50

$& && \text{Robinson}:\ D = 5(t - 1) \\\& && \text{Cranston}:\ D = 10t$

$& \mathbf{Check:} && \text{Replace variables in the functions with their values. Check results}\\\& &&\text{with data in the table}.$

	Robinson $D = 5(t - 1)$	Cranston $D = 10t$
For $t = 1$	$0 = 5(1 - 1)$	$10 = 10 \times 1$
For $t = 2$	$5 = 5(2 - 1)$	$20 = 10 \times 2$
For $t = 3$	$10 = 5(3 - 1)$	$30 = 10 \times 3$
For $t = 4$	$15 = 5(4 - 1)$	$40 = 10 \times 4$
For $t = 5$	$20 = 5(5 - 1)$	$50 = 10 \times 5$

Revisión del Problema de la Sección

Dato: Judson partió una hora después que Connor y viajó a una velocidad mayor que Connor.

Podemos usar los pasos de resolución de problemas como ayuda para analizar el gráfico, completar la tabla y escribir la función.

$& \mathbf{Describe:} && \text{The graph is a Distance-Time graph and shows two lines. One line is} \\\& && \text{steeper than the other. One line starts where}\ t = 0.\ \text{The other line starts} \\\& && \text{where}\ t = 1.\ \text{The Fact identifies two bikers, Judson and Connors}. \\\& && \text{Judson left one hour after Connors and rode faster than Connors}. \\\\\\& \mathbf{My \ Job:} && \text{Use the graph and the Fact to figure out which line represents each biker}. \\\& && \text{Use the graph data to complete the table for each biker. Write the function} \\\& && \text{that shows the relationship between Distance and Time for each biker}. \\\\\\& \mathbf{Plan:} && \text{Use the Fact and graph to identify the line that represents Judson} \\\& && \text{Complete the table for Judson using points on the line. Write the} \\\& && \text{function rule. Do the same for Connors}. \\\\\\& \mathbf{Solve:} && \text{Since Judson leaves later than Connors,}\ \mathbf{line\ b}\ \text{represents Judson. Judson's} \\\& && \text{number of hours is one less than the number of hours Connors bikes}. \\\& && \text{Judson's line is steeper. This means that Judson is biking faster than Connors}.$

Tiempo (Número de horas)	Distancia recorrida por Judson (Número de millas)	Distancia recorrida por Connors (Número de millas)
0	0	0
1	0	5
2	10	10
3	20	15
4	30	20
5	40	25

$& && \text{Judson}:\ D = 10(t - 1) \\\& && \text{Connors}:\ D = 5t$

$& \mathbf{Check:} && \text{Replace variables in the functions with their values. Check results}\\\& &&\text{with data in the table}.$

	Judson $D = 10(t - 1)$	Connors $D = 5t$
For $t = 1$	$0 = 10(1 - 1)$	$5 = 5 \times 1$
For $t = 2$	$10 = 10(2 - 1)$	$10 = 5 \times 2$
For $t = 3$	$20 = 10(3 - 1)$	$15 = 5 \times 3$
For $t = 4$	$30 = 10(4 - 1)$	$20 = 5 \times 4$
For $t = 5$	$40 = 10(5 - 1)$	$25 = 5 \times 5$

Vocabulario

Un gráfico es una manera de mostrar la relación que hay entre dos variables. En esta sección, vimos gráficos que mostraban la relación existente entre la distancia y el tiempo. Una tabla es otra forma de mostrar una relación existente entre dos variables (generalmente pensada como el input y el output ). En esta sección, los inputs de nuestras tablas fueron el número de horas y los outputs de nuestra tabla fueron el número de millas. Una regla o función es una ecuación que puede describir la relación que existe entre las variables en un gráfico o una tabla. En esta sección, escribimos las funciones que mostraban la relación que hay entre el número de horas y el número de millas.

Práctica Guiada

1. Dato: Landis partió 3 horas después que Bricknell y viajó al doble de la velocidad de Bricknell.

2. Fact: Jefferson viajó a un tercio de la velocidad de Richards. Jefferson partió 2 horas antes que Richards.

3. Dato: Prentiss viaja al doble de velocidad que Jerome y partió dos horas más tarde que Jerome.

Respuestas:

1. Landis: $D = 8(t-3)$ ; Bricknell: $D = 4t$

Tiempo (Número de horas)	Distancia recorrida por Landis (Número de millas)	Distancia recorrida por Bricknell (Número de millas)
0	0	0
1	0	4
2	0	8
3	0	12
4	8	16
5	16	20

2. Jefferson: $D = 6t$ ; Richards: $D = 18(t - 2)$

Tiempo (Número de horas)	Distancia recorrida por Jefferson (Número de millas)	Distancia recorrida por Richards (Número de millas)
0	0	0
1	6	0
2	12	0
3	18	18
4	24	36
5	30	54

3. Prentiss: $D = 16(t - 2)$ ; Jerome: $D = 8t$

Tiempo (Número de horas)	Distancia recorrida por Prentiss (Número de millas)	Distancia recorrida por Jerome (Número de millas)
0	0	0
1	0	8
2	0	16
3	16	24
4	32	32
5	48	40

Práctica

Dato: Evan viajó tres veces más rápido que Jake, pero partió 2 horas más tarde.

Usa el Dato y el gráfico. Completa la tabla para cada motociclista mostrando la distancia recorrida.
Escribe una función que muestre la relación que hay entre el número de millas recorridas $(D)$ y el número de horas $(t)$ de viaje para cada motociclista.

Dato: Josh partió antes que Sam, pero viajó a la mitad de la velocidad de Sam.

Usa el Dato y el gráfico. Completa la tabla para cada motociclista mostrando la distancia recorrida.
Escribe una función que muestre la relación que hay entre el número de millas recorridas $(D)$ y el número de horas $(t)$ de viaje para cada motociclista.

Dato: Katie viajó un tercio de rápido que Beth, pero partió antes que ella.

Usa el Dato y el gráfico. Completa la tabla para cada motociclista mostrando la distancia recorrida.
Escribe una función que muestre la relación que hay entre el número de millas recorridas $(D)$ y el número de horas $(t)$ de viaje para cada motociclista.

Dato: Whitney partió una hora después que Jack.

Usa el Dato y el gráfico. Completa la tabla para cada motociclista mostrando la distancia recorrida.
Escribe una función que muestre la relación que hay entre el número de millas recorridas $(D)$ y el número de horas $(t)$ de viaje para cada motociclista.
Lindsey conduce el doble de rápido que Thomas, pero sale 2 horas después que él. Thomas viaja a 8 millas por hora. Elabora un gráfico que muestre esta situación.
Amy conduce a un tercio de la velocidad de Mark, pero parte tres horas antes que él. Mark viaja a 15 millas por hora. Elabora un gráfico que muestre esta situación.

Potencia de Pedal

Orientación

Ejemplo A

Ejemplo B

Ejemplo C

Revisión del Problema de la Sección

Vocabulario

Práctica Guiada

Práctica

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