Conjuntos de Números Reales

En esta sección aprenderás a identificar conjuntos de números reales e integrar un número real en uno de estos conjuntos.

La cantidad de participantes encuestados que se negaron a responder puede ser representada por el número decimal 0,14141414... ¿Cómo escribirías este decimal como una fracción?

Al ser capaz de escribir un decimal periódico como fracción, sabemos que es un número racional.

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James Sousa: Identifying Sets of Real Numbers

*Este video solo está disponible en inglés

Orientación

Hay muchos tipos de números reales. Probablemente estés familiarizado con fracciones, números decimales, enteros, números enteros positivos e incluso con raíces cuadradas. Todos estos tipos son números reales. Hay dos tipos principales: reales y complejos. Más adelante abordaremos los números complejos (imaginarios) en el Capítulo de Funciones Cuadráticas.

Números Reales	Cualquier número que pueda ser graficado en una recta numérica. Símbolo: $\mathbb{R}$	Ejemplos: $8, 4.67, - \frac{1}{3}, \pi$
Números Racionales	Cualquier número que pueda ser escrito como una fracción, incluyendo decimales periódicos. Símbolo: $\mathbb{Q}$	Ejemplos: $-\frac{5}{9},\frac{1}{8},1.\overline{3},\frac{16}{4}$
Números Irracionales	Números reales que no son racionales. Cuando se escriben como un decimal, estos números no terminan ni se repiten.	Ejemplos: $e, \pi, -\sqrt{2},\sqrt[3]{5}$
Enteros	Todos los números positivos y negativos “contables” además del cero Símbolo: $\mathbb{Z}$	Ejemplos: -4, 6, 23, -10
Números enteros positivos	Todos los números positivos “contables” además del cero.	Ejemplos: 0, 1, 2, 3, ...
Números Naturales	Todos los números positivos “contables”. Símbolo: $\mathbb{N}$	Ejemplos: 1, 2, 3, ...

Un número contable es cualquier número que se pueda contar con los dedos.

Los números reales pueden ser agrupados de la siguiente manera:

Ejemplo A

¿De qué conjunto específico de los números reales forma parte -7?

Solución: -7 es un entero.

Ejemplo B

Nombra todos los conjuntos a los que pertenece el decimal 1,3.

Solución: 1,3 es un decimal finito; por lo tanto, es considerado un número racional. Además puede ser un número real. Como fracción, lo escribiríamos $1 \frac{3}{10}$ porque el 3 está en la posición después del decimal.

Ejemplo C

Verdadero o Falso: $\frac{8}{3}$ es un número racional.

Solución: Sí lo es, por definición, porque está escrito como una fracción.

Revisión del Problema Introductorio ¿Cómo escribimos 0,14141414... como una fracción? Realicemos el proceso Paso a Paso.

Paso 1: Establece el decimal periódico como igual a x . $x = 0,14141414$

Paso 2: Encuentra el número(s) periódico.

En este caso el 14 se repite.

Paso 3: Mueve los números periódicos a la izquierda de la coma decimal y deja los números restantes a la derecha.

$14.14141414$

Paso 4: Multiplica x por el mismo factor que multiplicaste el decimal periódico original para obtener el nuevo decimal periódico.

$14.14141414 = 100(0.14141414)$

Entonces, $100x = 14.14141414$

Paso 5: Resuelve el sistema de ecuaciones lineales para x .

$(100x = 14.14141414) - (x = 0.14141414)$ se obtiene:

$99x = 14$ , entonces $x = \frac{14}{99}$

¿Qué hay de 0.327272727... ? El 0,3 no se repite. Por lo tanto, se rescribe como $0.727272727...-0.4$ Así, la fracción será:

$\frac{72}{99}-\frac{4}{10}\\\\frac{8}{11}-\frac{2}{5}\\\\frac{40}{55}-\frac{22}{55}\\\\frac{18}{55}$

Práctica Guiada

1. ¿Qué tipo de número real es $\sqrt{5}$ ?

2. Nombra todos los conjuntos a los que pertenece -8.

3. Verdadero o Falso: $-\sqrt{9}$ es un número irracional.

Respuestas

1. $\sqrt{5}$ es un número irracional porque, cuando se convierte en decimal, no es finito ni se repite.

2. -8 es un entero negativo. Por lo tanto, también es un número racional y un número real.

3. $-\sqrt{9}=-3$ , el cual es un entero. La afirmación es falsa.

Vocabulario

Conjunto: Conjunto de números contenidos en grupos más grandes de números.

Números Reales: Cualquier número que pueda ser graficado en una recta numérica.

Números Racionales: Cualquier número que pueda ser escrito como fracción, incluyendo decimales periódicos.

Números Irracionales: Todo número real que no sea racional. Cuando se escriben como decimal, estos números no terminan ni se repiten.

Enteros: Todos los números positivos y negativos “contables” además del cero.

Números enteros positivos: Todos los números “contables” además del cero.

Números Naturales o Números Contables: Números que pueden ser contados con tus dedos; 1, 2, 3, 4, ...

Decimal finito: Cuando un numero decimal termina.

Decimal Periódico: Cuando un numero decimal se repite en un patrón. 1,666..., 0,98989898... son ejemplos de decimales periódicos.

Práctica

¿A qué conjunto específico de números reales pertenecen los siguientes números?

5.67
$-\sqrt{6}$
$\frac{9}{5}$
0
-75
$\sqrt{16}$

Nombra TODOS los conjuntos de los que forman parte los siguientes números.

4
$\frac{6}{9}$
$\pi$

Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

Los enteros son números racionales.
Cada número entero positivo es un número real.
Los enteros son números irracionales.
Un número natural es un número racional.
Un número irracional es un número real.
El cero es un número natural.

Rescribe los siguientes decimales periódicos como fracciones.

0,4646464646...
0,81212121212...
0,35050505050...
2,485485485485485...
1,25141414141414...