Propiedades Algebraicas

En esta sección te familiarizarás con las propiedades algebraicas y con el Orden de las Operaciones.

Abigail compra 2 poleras a $12 cada una. Además compra un par de jeans que cuestan $50 pero tienen un descuento de 15%. Si el total de la compra es superior a $60, le harán un descuento adicional de $10. ¿Cuánto será el total de su boleta?

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James Sousa: The Order of Operations

*Este video solo está disponible en inglés

Orientación

Las propiedades algebraicas nos permiten resolver ecuaciones matemáticas. Ten en cuenta que estas propiedades se utilizan para realizar sumas y multiplicaciones.

Propiedad	Ejemplo
Conmutativa	$a+b=b+a,ab=ba$
Asociativa	$a+(b+c)=(a+b)+c,a(bc)=(ab)c$
Equitativa	$a+0=a,a \cdot 1=a$
Inversa	$a+(-a)=0,a \cdot \frac{1}{a}=1$
Distributiva	$a(b+c)=ab+ac$

De la Propiedad de Identidad, podemos decir que 0 es la identidad aditiva y 1 es la identidad multiplicativa. De la misma forma, de la Propiedad Inversa, $-a$ es el inverso aditivo de $a$ y $\frac{1}{a}$ es el inverso multiplicativo de $a$ porque ambos igualan la identidad.

Ejemplo A

Identifica la propiedad usada en las siguientes ecuaciones.

a) $2(4x-3)=8x-6$

b) $5 \cdot \frac{1}{5}=1$

c) $6 \cdot (7 \cdot 8)=(6 \cdot 7) \cdot 8$

Solución:

a) es un ejemplo de la Propiedad Distributiva,

b) es un ejemplo de la Propiedad Inversa, y

c) es un ejemplo de la Propiedad Asociativa.

Más Orientación

Continuando con las propiedades algebraicas, tenemos el Orden de las Operaciones. El Orden de las Operaciones es un conjunto de normas que les permite a los matemáticos resolver problemas siempre de la misma manera. El orden es el siguiente:

Paréntesis Primero se resuelven los paréntesis.

Exponentes Luego, se evalúan todas las potencias (exponentes).

Multiplicación/División Las multiplicaciones y divisiones se deben resolver al mismo tiempo, de izquierda a derecha, porque son inversas entre sí.

Adición/Sustracción Las adiciones y sustracciones también se resuelven al mismo tiempo, de izquierda a derecha.

Ejemplo B

Simplifica $2^2+6 \cdot 3-(5-1)$ .

Solución:

Paréntesis $\rightarrow 2^2+6 \cdot 3-4$

Exponentes $\rightarrow 4+6 \cdot 3-4$

Multiplicación $\rightarrow 4+18-4$

Adición/Sustracción $\rightarrow 18$

Ejemplo C

Simplifica $\frac{9-4 \div 2+13}{2^2 \cdot 3-7}$ .

Solución: Considera poner todo el numerador entre paréntesis y haz lo mismo con el denominador. El problema puede ser rescrito como $(9-4 \div 2 +13) \div (2^2 \cdot 3-7)$ . Cuando hay múltiples operaciones en un paréntesis, usa el Orden de las Operaciones para cada una.

$&(9-4 \div 2 +13) \div (2^2 \cdot 3-7)\\\&(9-2+13) \div (4 \cdot 3-7)\\\&(7+13) \div (12-7)\\\& 20 \div 5\\\&4$

El paréntesis puede ser rescrito dentro de otro paréntesis. Esto se conoce como paréntesis anidado . Cuando un problema tienen paréntesis anidados, pueden haber corchetes, [ ], además de los paréntesis.

Revisión del Problema Introductorio Si no aplicamos el Orden de las Operaciones, Abigail se puede confundir y no tener la cantidad de dinero para pagar las cosas que compró. Así, las poleras cuestan $24 $(2 \cdot $12)$ y solo se descuentan los jeans; estos cuestan $50-0.15\cdot 50 = 42.50$ . Sumando estas cosas juntas, sabemos que el total de su boleta es de $24 + $42.50 = $66.50. Por lo tanto, debido a que su compra es superior a $60, ella obtiene un descuento adicional de $10; por lo que, el total de su boleta de $56.50.

Práctica Guiada

¿Qué propiedad se está usando?

1. $5(c - 9) = 5c - 45$

2. $6 \cdot 7=7 \cdot 6$

3. Usa el Orden de las Propiedades para simplificar $8+[4^2-6 \div (5+1)]$ .

Respuestas

1. Se distribuye el número 5 en cada término dentro del paréntesis, por lo tanto se usa la Propiedad Distributiva.

2. Aquí, el orden no importa cuando se multiplica 6 y 7. Este es un ejemplo de la Propiedad Conmutativa.

3. Este es un ejemplo de un paréntesis anidado, como se mencionó anteriormente. Empieza por simplificar el paréntesis dentro de los corchetes. Luego, simplifica lo que está dentro de los corchetes de acuerdo al Orden de las Operaciones.

$&8+[4^2-6 \div (5+1)]\\\&8+[4^2-6 \div 6]\\\&8+[16-6\div 6]\\\&8+[16-1]\\\&8+15\\\&23$

Vocabulario

Inverso aditivo: Un número que sea el signo opuesto de un número determinado, de tal forma, que al ser sumados, el resultado sea cero.

Inverso multiplicativo: Un número que sea el recíproco (y del mismo signo) de un número determinado, de tal forma, que al multiplicarse, el producto sea 1.

Identidad aditiva: La identidad aditiva es 0.

Identidad multiplicativa: La identidad multiplicativa es 1.

Orden de las Operaciones: Conjunto de normas usadas para simplificar expresiones matemáticas. Cuando se simplifica una expresión; primero, se realizan las operaciones dentro del paréntesis, después se calculan todos los exponentes. Luego, todas las multiplicaciones y divisiones al mismo tiempo, de izquierda a derecha. Por último, todas las adiciones y sustracciones al mismo tiempo, de izquierda a derecha.

Evaluar: Resolver.

Simplificar: Combinar términos semejantes dentro de una expresión para hacerla lo más “simple” posible.

Práctica

Determina que propiedad algebraica se está usando a continuación.

$8 + 5 = 5 + 8$
$7(x - 2) = 7x - 14$
$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}=1$
$4 \cdot (5 \cdot 2)=(4 \cdot 5) \cdot 2$
$-\frac{1}{4}+0=-\frac{1}{4}$
$-6+6=0$
¿Cuál es el inverso aditivo de 1?
¿Cuál es el inverso multiplicativo de $-\frac{1}{5}$ ?
Simplifica usando:
1. la Propiedad Distributiva
2. el Orden de las Operaciones
3. ¿Llegaste al mismo resultado? ¿Por qué crees que pasa eso?

Simplifica las siguientes expresiones usando el Orden de las Operaciones.

$12 \div 4+3^3 \cdot 2-10$
$8 \div 4+(15 \div 3-2^2) \cdot 6$
$\frac{10-4 \div 2}{7 \cdot 2+2}$
$\frac{1+20-16 \div 4^2}{(5-3)^2+12\div 2}$
$[3+(4+7 \cdot 3)\div 5]^2-47$
$\frac{7 \cdot 4-4}{\frac{6}{2}+5} \cdot 4^2-18$
$6^2-[9+(7-5)^3]+49 \div 7$
$\frac{27 \div 3^2+(6-2^2)}{(32 \div 8+1) \cdot 3}$
$6+5 \cdot 2-9 \div 3+4$
Usando el ejercicio #18, inserta paréntesis para hacer que el resultado de la expresión sea igual a 1. Podrías necesitar más de un conjunto de paréntesis.
Usando el ejercicio #18, inserta paréntesis para hacer que el resultado de la expresión sea igual a 23. Podrías necesitar más de un conjunto de paréntesis.

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