Solución de Ecuaciones Algebraicas para una Variable

En esta sección aprenderás cómo aislar la variable en una ecuación o fórmula.

Estás planeando un viaje a España durante el verano. En Estados Unidos, usamos grados Fahrenheit para medir la temperatura, pero en Europa, usan grados Celsius. Para acostumbrarte a usar grados Celsius, encuentras la ecuación $F=\frac{9}{5}C+32$ . Luego sustituyes la temperatura en Celsius para C y resuelves la ecuación para F . Al mirar la página del clima en España durante el verano, dice que usualmente hay $35^\circ C$ . ¿Qué empacarías?

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Khan Academy: Example of Solving for a Variable

Orientación

Solucionar una ecuación algebraica para una variable puede parecer complicado, pero es muy útil. Este método puede ser usado para convertir diferentes unidades de medida. Para resolver, o aislar , una variable dentro de una ecuación, debes deshacer las operaciones que están en la ecuación.

Ejemplo A

Encuentra el valor de $x$ en la ecuación $3x-4y=12$ .

Solución: Para encontrar el valor de $x$ , necesitas pasar $4y$ al otro lado de la ecuación. Para hacer esto, necesitamos realizar la operación opuesta. Como $4y$ se está restando, debemos sumarlo al otro lado de la ecuación.

$& \ 3x-4y=12\\\& \underline{ \quad \ \ +4y=+4y \; \; \; \; \;}\\\& \qquad \ 3x=4y+12$

Ahora, necesitamos aislar $x$ . $3x$ es lo mismo que decir “ 3 multiplicado por $x$ .” Por lo tanto, para deshacer la multiplicación debemos dividir ambos lados de la ecuación por 3.

$\frac{3x}{3} &= \frac{4y}{3}+\frac{12}{3}\\\x &= \frac{4}{3}y+4$

Al deshacer la multiplicación, debes dividir todo en la ecuación por 3.

Cosas a considerar:

Para deshacer una operación dentro de una ecuación, haz la operación opuesta.
Realiza las operaciones opuestas en el orden contrario del Orden de las Operaciones.
Combina todos los términos semejantes en el mismo lado del signo igual antes de realizar el paso #1.

Ejemplo B

Dada la ecuación $\frac{2b}{3}+6a-4=8$ , encuentra $b$ cuando $a = 1$ y $a = -2$ .

Solución: Este ejemplo combina lo que aprendimos en la última sección con lo que hicimos en el ejemplo anterior. Primero, aísla $b$ . Pasa $6a$ y 4 al otro lado realizando la operación opuesta.

$& \frac{2b}{3}+6a-4=8\\\& \underline{\quad \ \ -6a+4=+4-6a}\\\& \qquad \qquad \frac{2b}{3}=12-6a$

Ahora, tenemos una fracción multiplicada por $b$ . Para deshacer esto, debemos multiplicar por el recíproco de $\frac{2}{3}$ , el cual es $\frac{3}{2}$ . Esto quiere decir, que debemos multiplicar todo en la ecuación por su recíproco.

$& \quad \ \frac{2b}{3} = 12-6a\\\& \frac{3}{2} \left( \frac{2b}{3} = 12-6a \right)\\\& \frac{3}{2} \cdot \frac{2b}{3} = \frac{3}{2} \cdot 12-\frac{3}{2} \cdot 6a\\\& \qquad b = 18-9a$

Aunque sabemos que un 9 puede ser extraído del 18 y del 9 en la ecuación anterior, no es necesario resolver el valor de $b$ . Ahora, podemos hacer lo que el problema nos pide, encontrar $b$ cuando $a = 1$ y -2. Sustituye estos valores para $a$ .

$a = 1: b=18-9(1)=18-9=9 && a = -2: 18-9(-2)=18+18=36$

Ejemplo C

El área de un triángulo es $A=\frac{1}{2}bh$ , donde $b$ es la base del triángulo y $h$ es la altura. Sabes que el área de un triángulo es $60 \ in^2$ y la base es 12 in. Encuentra la altura.

Solución: Primero resuelve la ecuación para $h$ .

$A &= \frac{1}{2}bh\\\2 \cdot A &= 2 \cdot \frac{1}{2}bh && \text{Multiply both sides by 2.}\\\2A &= bh && \text{Divide both side by} \ b.\\\\frac{2A}{b} &= h$

Ahora, sustituye la información que tenemos para encontrar $h$ . $\frac{2(60)}{12}=\frac{120}{12}=10$ . La altura es 10 in.

Este proceso es útil al momento de encontrar cualquier variable en una ecuación o fórmula. Las fórmulas que necesitas conocer se presentan a continuación.

Distancia	$d = rt$	$d=\text{distance}, r = \text{rate}, t = \text{time}$
Temperatura	$F= \frac{9}{5}C+32$	$F=\text{degrees in Fahrenheit}, C = \text{degrees in Celsius}$
Área del triángulo	$A = \frac{1}{2}bh$	$A=\text{area}, b = \text{base}, h = \text{height}$
Área del rectángulo	$A=bh$	$A = \text{area}, b = \text{base}, h = \text{height}$
Área del círculo	$A=\pi r^2$	$A = \text{area}, r = \text{radius}$
Área del trapezoide	$A=\frac{1}{2}h(b_1+b_2)$	$A = \text{area}, h = \text{height}, b_1 = \text{one base}, b_2 = \text{other base}$
Perímetro del rectángulo	$P=2l+2w$	$P = \text{perimeter}, l = \text{length}, w = \text{width}$
Circunferencia de un círculo	$C=2 \pi r$	$C = \text{circumference}, r = \text{radius}$

Revisión del Problema Introductorio Primero, sustituyamos $C=35^\circ$ para saber los grados Fahrenheit.

$F&=\frac{9}{5}\cdot 35 + 32\\\F&=63 + 32 \\\F&=95^\circ$

Como puedes ver, una buena estimación de la conversión es doblar los grados Celsius y sumar 32. No es necesario decir que esta muy caluroso en España y que deberías empacar ropa de verano.

Práctica Guiada

1. Resuelve $\frac{3}{4}x-2y=15$ para $x$ .

2. Si la temperatura es de $41^\circ F$ , ¿cuántos grados Celsius son?

Respuestas

1. Primero, suma $2y$ a ambos lados, luego multiplica ambos lados de la ecuación por el recíproco de $\frac{3}{4}$ .

$& \ \frac{3}{4}x-2y=15\\\& \underline{\quad \ \ +2y \ +2y \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;}\\\& \qquad \frac{3}{4}x=2y+15\\\& \qquad \ \ x=\frac{4}{3} \cdot 2y+\frac{4}{3} \cdot 15\\\& \qquad \ \ x=\frac{8}{3}y+20$

2. Puedes resolver este problemas de dos formas diferentes: Primero, sustituye 41 para $F$ y luego encuentra el valor de $C$ o primero encuentra el valor de $C$ y luego sustituye 41 para $F$ . Intentemos la segunda opción.

$F &= \frac{9}{5}C+32\\\F-32 &= \frac{9}{5}C\\\\frac{5(F-32)}{9} &= C$

Ahora, sustituye 41 para $F$ .

$C&=\frac{5(41-32)}{9}\\\C&=\frac{5 \cdot 9}{9}\\\C&=5^\circ$ .

Práctica

Resuelve las siguientes ecuaciones o fórmulas para las variables indicadas.

$6x-3y=9$ ; encuentra el valor de $y$ .
$4c+9d=16$ ; encuentra el valor de $c$ .
$5f-6g=14$ ; encuentra el valor de $f$ .
$\frac{1}{3}x+5y=1$ ; encuentra el valor de $x$ .
$\frac{4}{5}m+\frac{2}{3}n=24$ ; encuentra el valor de $m$ .
$\frac{4}{5}m+\frac{2}{3}n=24$ ; encuentra el valor de $n$ .
$P=2l+2w$ ; encuentra el valor de $w$ .
$F=\frac{9}{5}C+32$ ; encuentra el valor de $C$ .

Encuentra el valor de $y$ dado el valor de $x$ .

$4x-8y=2; x = -1$
$2y-5x=12; x = 16$
$3x+\frac{1}{2}y=-5; x = 7$
$\frac{1}{4}x+\frac{2}{3}y-18=0; x = -24$

Para los problemas del 13 al 15, utiliza las fórmulas de la tabla anterior para responder las siguientes preguntas.

Si la temperatura es $86^\circ F$ , ¿cuánto es en Celsius?
Si el área de un círculo es $36 \pi \ cm^2$ , ¿cuál es su radio?
El área de un trapezoide es $72 \ ft^2$ , la altura es 8 ft y $b_1$ es 6, ¿cuál es el largo de la otra base?

Para los problemas 16-17, usa la ecuación para determinar el área de un cilindro, $SA=2 \pi r^2+2 \pi rh$ , donde $r$ es el radio y $h$ es la altura.

Resuelve la ecuación para $h$ .
Encuentra $h$ si el área es de $120\pi \ cm^2$ y el radio es de 6 cm.
Desafío La fórmula para determinar el volumen de una esfera es $V=\frac{4}{3}\pi r^3$ . Resuelve la ecuación para $r$ , el radio.

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