Solución de Ecuaciones de un Paso

En esta sección resolverás ecuaciones lineales simples en un paso, que requieren adición, sustracción, multiplicación, o división.

Alex vive en Los Ángeles y su mejor amigo Gabriel vive a 380 millas en San Francisco. Si Alex conduce a una velocidad constante de 65 millas por hora hasta llegar a San Francisco. ¿Cuánto se tardará en llegar? (Asumiendo que no se detendrá).

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Khan Academy: Solving One-Step Equations

*Este video solo está disponible en inglés

Orientación

Al resolver una ecuación para una variable, debes obtener la variable por sí misma. Todas las ecuaciones en esta lección son ecuaciones lineales. Esto significa que la ecuación puede ser simplificada a $ax+b=c$ , donde $a, b$ , y $c$ son números reales. Aquí, solo usaremos una operación; adición, sustracción, multiplicación o división.

Ejemplo A

Resuelve $7+y=16$ para $y$ .

Solución: Este problema es simple y probablemente serás capaz de resolverlo en tu mente. Sin embargo, para empezar buenas prácticas, siempre debes usar el algebra para resolver cualquier ecuación. Incluso cuando el problema parezca fácil, resolver las ecuaciones será más difícil.

Para resolver una ecuación para una variable, debes hacer lo opuesto o deshacer lo que sea que este en el mismo lado de la variable. 7 se suman a $y$ , ; por lo tanto, debemos restar 7 a ambos lados. Nota que esto es muy similar al concepto previo ( Solución de Ecuaciones Algebraicas para una Variable ).

$& \ \bcancel{7}+y = 16\\\& \underline{-\bcancel{7} \quad \quad -7 \; \;}\\\& \ \quad \ \ y = 9$

Puedes comprobar que $y= 9$ es correcto al sustituir 9 en la ecuación original. 7 + 9 es igual a 16; por lo tanto, sabemos que encontramos la respuesta correcta.

Ejemplo B

Resuelve $-7h=84$ .

Solución: Recuerda que $-7h = -7 \times h$ , así la operación opuesta o inversa , de la multiplicación es la división. Por lo tanto, debemos dividir ambos lados por -7 para encontrar el valor de $h$ .

$\frac{-\bcancel{7}h}{-\bcancel{7}} &= \frac{84}{-7}\\\h &= -12$

Nuevamente, comprueba lo que hiciste. $-7 \cdot -12$ es igual a 84, por lo que, sabemos que nuestra respuesta es correcta.

Ejemplo C

Resuelve $\frac{3}{8} x = \frac{3}{2}$ .

Solución: La variable está siendo multiplicada por una fracción. En vez de dividir por una fracción, multiplicamos por el recíproco de $\frac{3}{8}$ , el cual es $\frac{8}{3}$ .

$\xcancel{\frac{8}{3} \cdot \frac{3}{8}} x &= \bcancel{\frac{3}{2} \cdot \frac{8}{3}}\\\x &= \frac{8}{2}=4$

Comprueba la respuesta $\frac{3}{_2\cancel{8}} \cdot \cancel{4}=\frac{3}{2}$ . Es correcta; por lo que, sabemos que $x = 4$ es la solución.

Revisión del Problema Introductorio Haz una ecuación para representar el viaje de Alex, $t=d \div 65$ donde t es el tiempo y d es la distancia. Por lo tanto, se tarda $t=380 \div 65$ o 5.85 horas en llegar a la casa de Gabriel, la cual se encuentra a 5 horas y 51 minutos.

Práctica Guiada

Soluciona las siguientes ecuaciones para las variables dadas. Comprueba tus respuestas.

1. $5+j=17$

2. $\frac{h}{6}=-11$

3. $\frac{5}{4}x=35$

Respuestas

1. Resta 5 a ambos lados para encontrar el valor de $j$ .

$& \ \ \bcancel{5}+j=17\\\& \underline{-\bcancel{5} \qquad -5 \; \;}\\\& \qquad \ j=12$

Comprueba la respuesta: $5+12=17$

2. $h$ está siendo dividido por 6. Para deshacer una división, debemos multiplicar ambos lados por 6.

$\cancel{6} \cdot \frac{h}{\cancel{6}} &= -11.6\\\h &= -66$

Comprueba la respuesta: $\frac{-66}{6}=-11$

3. Multiplica ambos lados por el recíproco de $\frac{5}{4}$

$\frac{\cancel{4}}{\cancel{5}} \cdot \frac{\cancel{5}}{\cancel{4}}x &= _7\cancel{35} \cdot \frac{4}{\cancel{5}}\\\x &=28$

Comprueba la respuesta: $\frac{5}{4} \cdot 28 = 5 \cdot 7 = 35$

Vocabulario

Ecuación Lineal: Una ecuación en una variable sin exponentes. Las ecuaciones lineales tienen la forma $ax \pm b=c$ , donde $a, b$ , y $c$ son números reales.

Inversa: La operación opuesta de una operación dada en una ecuación. Por ejemplo, la sustracción es la inversa de la adición y la multiplicación es la inversa de la división.

Recíproco: El recíproco de $\frac{a}{b}$ is $\frac{b}{a}$ .

Práctica

Soluciona las siguientes ecuaciones y comprueba tus respuestas. Reduce todas las fracciones.

$-3+x=-1$
$r+6=2$
$5s=30$
$-8k=-64$
$\frac{m}{-4}=14$
$90=10n$
$-16=y-5$
$\frac{6}{7}d=36$
$6=-\frac{1}{3}p$
$u-\frac{3}{4}=\frac{5}{6}$
$\frac{8}{5}a=-\frac{72}{13}$
$\frac{7}{8}=b+\frac{1}{2}$
$w-(-5)=16$
$\frac{1}{4}=b-\left(-\frac{2}{5}\right)$
$\frac{3}{5}q=-\frac{12}{11}$
$\frac{t}{12}=-4$
$45=15x$
$7=\frac{g}{-8}$

Desafío Soluciona la siguiente ecuación. ¡Piénsalo bien!

$14-z=-3$
20. Alex decide que conducirá 70 millas en una hora hasta llegar a San Francisco. ¿Cuánto tardará en llegar? Recuerda que son 380 millas para llegar hasta San Francisco desde Los Ángeles.

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