Solución de Inecuaciones Básicas

En esta sección determinarás si una solución sirve para una inecuación dada, graficar soluciones en una recta numérica y resolver inecuaciones lineales básicas.

El aumento de peso promedio de un bebé, después de los 6 meses de edad hasta los 2 años, es de un libra por mes. Si el peso promedio de un bebé de 6 meses es de 16 libras, ¿hasta qué edad un bebe pesaría 25 libras o menos?

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Orientación

Resolver una inecuación lineal es muy similar a resolver una igualdad lineal o ecuación. Hay pocas diferencias, pero son importantes. Ya no usamos el signo igual. Hay cuatro signos distintos de desigualdad, como se muestra a continuación.

$<$ Menor que

$>$ Mayor que

$\le$ Menor que o igual a

$\ge$ Mayor que o igual a

Nota que la línea debajo de los signos $\le$ y $\ge$ indica “igual a”. La inecuación $x>-1$ se diría, “ $x$ es mayor que -1.” También, podemos graficar estas soluciones en una recta numérica. Para graficar una inecuación en una recta numérica, se debe usar sombreado, porque una inecuación es una variedad de soluciones, no solo un número específico. Para graficar $x>-1$ , sería de esta forma:

Nota que el círculo en -1 es abierto . Esto indica que -1 no está incluido en la solución. Un signo < también tendría un círculo abierto. Si la inecuación fuera un signo $\ge$ o $\le$ entonces el círculo estaría cerrado, o relleno. Sombrear hacia la derecha del círculo significa que cualquier número mayor que -1 será una solución para esta inecuación.

Ejemplo A

¿Es $x=-8$ una solución para $\frac{1}{2}x+6>3$ ?

Solución: Sustituye -8 por $x$ y prueba esta solución.

$\frac{1}{2}(-8)+6 &> 3\\\-4+6 &> 3\\\2 &> 3$

Por supuesto, 2 no puede ser mayor que 3, Por lo tanto, esta no es una solución válida.

Ejemplo B

Resuelve y grafica la solución para $2x-5 \le 17$ .

Solución: Para la mayoría de las partes, resolver una inecuación es lo mismo que resolver una ecuación. La gran diferencia se explicará en el Ejemplo C. Esta inecuación puede ser resuelta como una ecuación.

$& 2x-\bcancel{5} \le 17\\\& \underline{\quad \ + \bcancel{5} \ +5 \; \;}\\\& \quad \ \frac{\bcancel{2}x}{\bcancel{2}} \le \frac{22}{2}\\\& \qquad x \le 2$

Prueba una solución, $x = 0: 2(0)-5 \le 17 \rightarrow -5 \le 17 \checkmark$

Al graficar la solución, obtenemos:

Siempre prueba una solución que esté en el rango de soluciones. Te ayudará a determinar si resolviste correctamente el problema.

Ejemplo C

Resuelve y grafica $-6x+7 \le - 29$ .

Solución: Al resolver inecuaciones, ten en cuenta los números negativos. Resolvamos este problema de la manera en que comúnmente resolvemos las ecuaciones.

$& -6x+\bcancel{7} \le -29\\\& \underline{\qquad \ \ -\bcancel{7} \quad \ -7 \; \; \; \;}\\\& \qquad \frac{-\bcancel{6}x}{-\bcancel{6}x} \le \frac{-36}{-6}\\\& \qquad \quad \ x \le 6$

Comprobemos una solución. Si $x$ es menor que o igual a 6, probemos 1.

$-6(1)+7 & \le -29\\\-6+7 & \le -29\\\1 & \bcancel{\le} -29$

Esta no es una inecuación cierta. Para hacer que sea cierta, debemos invertir la inecuación. Por lo tanto, siempre que multipliquemos o dividamos por un número negativo, debemos invertir el signo de la inecuación. La respuesta para esta inecuación es $x\ge 6$ . Ahora, probemos un número en este rango.

$-6(10)+7 & \le - 29\\\-60+7 & \le -29\\\-60 & \le -29$

La solución es cierta. El gráfico de la solución es:

Revisión del Problema Introductorio Primero, escribe una inecuación, donde m representa la edad del bebé, en meses. Recuerda que cuando llegues a la respuesta final, debes sumar 6, por el peso inicial del bebé a los 6 meses.

$16 + m \le 25 \\\m \le 9$

Sumando 6, tenemos $m \le 15$ . Así, hasta los 15 meses, el bebé promedio debería pesar 25 libras o menos.

Práctica Guiada

1. ¿Es $x = -5$ una solución para $-3x+7>12$ ?

Resuelve las siguientes inecuaciones y grafica.

2. $\frac{3}{8}x+5<26$

3. $11<4-x$

Respuestas

1. Sustituye -5 en la inecuación.

$-3(-5)+7 &>12\\\15+7&>12$

Esta solución es cierta porque 22 es mayor que 12. -5 es una solución.

2. No dejes números negativos con el término $x-$ para que podamos resolver esta inecuación como una ecuación.

$& \frac{3}{8}x+\bcancel{5}<26\\\& \underline{\quad \ -\bcancel{5} \ \ -5 \; \; \; \; \; \;}\\\& \ \xcancel{\frac{8}{3} \cdot \frac{3}{8}}x<21 \cdot \frac{8}{3}\\\& \qquad \ x<56$

Prueba una solución, $x = 16: \frac{3}{8}(16)+5 < 26 \checkmark$

$6+5 < 26$

El gráfico quedaría:

3. En esta inecuación, tenemos un término negativo $x-$ Por lo tanto, necesitaremos invertir la inecuación.

$& \ \ 11<\bcancel{4}-x\\\& \underline{-4 \ \ - \bcancel{4} \; \; \; \; \; \; \;}\\\& \frac{7}{-1} < \frac{\bcancel{-}x}{\bcancel{-1}}\\\& -7>x$

Prueba una solución, $x = -10: 11 < 4-(-10) \checkmark$

$11 < 14$

Nota que INVERTIMOS el signo de desigualdad cuando DIVIDIMOS por -1. Además, esta ecuación puede ser escrita como $x< -7$ . A continuación el gráfico:

Vocabulario

Inecuación: Enunciado matemático que relaciona dos expresiones que no son iguales.

Práctica

Resuelve y grafica las siguientes inecuaciones.

$x+5>-6$
$2x \ge 14$
$4<-x$
$3x-4 \le 8$
$21-8x<45$
$9>x-2$
$\frac{1}{2}x+5 \ge 12$
$54 \le -9x$
$-7<8+\frac{5}{6}x$
$10-\frac{3}{4}x<-8$
$4x+15 \ge 47$
$0.6x-2.4<4.8$
$1.5>-2.7-0.3x$
$-11<12x+121$
$\frac{1}{2}-\frac{3}{4}x \le -\frac{5}{8}$

Para las preguntas 16 y 17, escribe el enunciado de la inecuación de acuerdo a los siguientes gráficos.

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