Solución de Inecuaciones de Múltiples Pasos

En esta sección resolverás inecuaciones más complicadas que involucran variables en ambos lados y la Propiedad Distributiva.

Al agregar anticongelante a un sistema de refrigeración de automóvil puede disminuir el punto de congelación de los líquidos a base de agua que le permiten funcionar. (Además aumenta el punto de ebullición de estos líquidos). Añades suficiente anticongelante como para disminuir el punto de congelación de los líquidos al máximo $-35^\circ C$ (en Celsius). Escribe la inecuación en Fahrenheit.

Mira esto

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

Khan Academy: Multi-Step Inequalities 2

*Este video solo está disponible en inglés

Orientación

Al igual que las ecuaciones de múltiples pasos, las inecuaciones de múltiples pasos pueden incluir variables en ambos lados, la Propiedad Distributiva y la combinación de términos semejantes. Nuevamente, la única diferencia al resolver inecuaciones es el signo que debe ser invertido al momento de multiplicar o dividir por un número negativo.

Ejemplo A

¿Es $x = -3$ una solución para $2(3x-5) \le x+10$ ?

Solución: Sustituye -3 por $x$ y comprueba si la inecuación es cierta.

$2(3(-3)-5) & \le (-3)+10\\\2(-9-5) & \le 7\\\2 \cdot -14 & \le 7\\\-28 & \le 7$

Este es una inecuación cierta.-3 es una solución.

Ejemplo B

Resuelve y grafica la inecuación del Ejemplo A.

Solución: Primero, distribuye el 2 en el lado izquierdo de la inecuación.

$2(3x-5) & \le x+10\\\6x-10 & \le x+10$

Ahora, resta la $x$ en el lado derecho para cambiarla a la izquierda de la inecuación. Además, puedes sumar los 10 juntos y resolver.

$& \ 6x-\bcancel{10} \ge \bcancel{x}+10\\\& \underline{-x+\bcancel{10} \ - \bcancel{x}+10}\\\& \qquad \frac{\bcancel{5}x}{\bcancel{5}} \le \frac{20}{5}\\\& \qquad \ \ x \le 4$

Prueba una solución, $x = 0: 2(3(0)-5) \le 0+10 \checkmark$

$-10 \le 10$

El grafico sería:

Ejemplo C

Resuelve $8x-5-4x \ge 37-2x$

Solución: Primero, combina los términos semejantes en el lado izquierdo y luego encuentra el valor de la incógnita $x$ .

$& 8x-5-4x \ge 37-2x\\\& \qquad 4x-\bcancel{5} \ge 37-\bcancel{2x}\\\& \underline{\quad +2x + \bcancel{5} \ +5+\bcancel{2x}}\\\& \qquad \quad \ \ \frac{\bcancel{6}x}{\bcancel{6}} \ge \frac{42}{6}\\\& \qquad \quad \quad \ x \ge 7$

Prueba una solución, $x = 10: 8(10)-5-4(10) \ge 37-2(10)$

$80-5-40 \ge 37-20$

$35 \ge 17 \checkmark$

Revisión del Problema Introductorio Recuerda que la fórmula de conversión de Celsius a Fahrenheit es $C= \frac{5}{9}(F-32)$ . La temperatura puede ser igual o mayor que $-35^\circ C$ .

$\frac{5}{9}(F-32) \ge -35 \\\F-32 \ge -35 \cdot {9}{5} \\\F-32 \ge -63 \\\F \ge -31$

Así, la temperatura puede ser igual o superior a $-31^\circ F$ .

Práctica Guiada

1. ¿Es $x = 12$ una solución para $-3(x-10)+18 \ge x-25$ ?

Resuelve y grafica las siguientes inecuaciones.

2. $-(x+16)+3x>8$

3. $24-9x<6x-21$

Respuestas

1. Sustituye 12 por $x$ y simplifica.

$-3(12-10)+18 &\ge 12-35\\\-3 \cdot 2 + 18 & \ge -13\\\-6+18 & \ge -13$

Esta inecuación es cierta porque $12 \ge -13$ , 12 es una solución.

2. Distribuye el signo negativo en el lado izquierdo y combina los términos semejantes.

$& -(x+16)+3x>8\\\& \quad -x-16+3x>8\\\& \qquad \quad \ \ 2x-\bcancel{16}>8\\\& \underline{\qquad \qquad \quad +\bcancel{16} +16 \; \; \;}\\\& \qquad \qquad \quad \ \ \frac{\bcancel{2}x}{\bcancel{2}}>\frac{24}{2}\\\& \qquad \qquad \qquad \ x>12$

Prueba una solución, $x = 15:$

$-(15+16)+3(15) &> 8\\\-31+45 &> 8 \\\14 &> 8$

3. Primero, suma $9x$ en ambos lados.

$& \ 24-\bcancel{9x}<6x-21\\\& \underline{\quad \ + \bcancel{9x} \ + 9x \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;}\\\& \qquad \ 24<15x-\bcancel{21}\\\& \underline{\quad \ \ +21 \qquad \ +\bcancel{21} \; \;}\\\& \qquad \frac{45}{15} < \frac{\bcancel{15}x}{\bcancel{15}}\\\& \qquad \ \ 3<x$

Prueba una solución, $x = 10:$

$24-9(10) &< 6(10)-21\\\24-90 &< 60-21 \\\-66 &< 39$

Práctica

Determina si los siguientes números son soluciones para $-7(2x-5)+12>-4x-13$ .

$x=4$
$x=10$
$x=6$