Inecuaciones Compuestas

En esta sección resolverás dos inecuaciones que se unen por las palabras “y” u “o”.

La señora Garcia, la profesora de español, anuncia que el 40% de las calificaciones finales de los estudiantes se obtendrá de proyectos (calificaciones de 0-100). El 60% (0-100) se obtendrá del examen final. Madison tiene 84 en su calificación por los proyectos. ¿Dentro de qué rango de calificación debe obtener para subir sus calificaciones entre 90 y 100?

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Khan Academy: Compound Inequalities 3

*Este video solo está disponible en inglés

Orientación

Las inecuaciones compuestas son inecuaciones que han sido unidas por las palabras “y” u “o”. Por ejemplo:

$-2<x \le 5$ Se lee, “ $x$ es mayor que -2 y menor que o igual a 5.”

$x \ge 3$ o $x<-4$ Se lee, “ $x$ es mayor que o igual a 3 o menor que -4.”

Nota que ambas inecuaciones tienen dos signos de desigualdad. Por lo tanto, es como resolver o graficar dos inecuaciones al mismo tiempo. Al graficar, mira la inecuación para ayudarte. La primera inecuación compuesta, $-2<x \le 5$ , tiene la $x$ entre -2 y 5, así el sombreado también estará entre los dos números.

Y, para los enunciados con “o”, el sombreado ira en la dirección opuesta.

Ejemplo A

Escribe el enunciado de la inecuación dado por el siguiente gráfico.

Solución: Debido a que el sombreado va en dirección opuesta, sabemos que es un enunciado con “o”. Por lo tanto, el enunciando es $x<-2$ o $x>1$ .

Ejemplo B

Resuelve y grafica $-3<2x+5 \le 11$ .

Solución: Esto es como resolver dos inecuaciones al mismo tiempo. Puedes dividir el enunciado y tener dos inecuaciones, $-3<2x+5$ y $2x+5\le 11$ y resuelve. Además, puedes dejar la inecuación compuesta complete y resolver.

$& -3<2x+\bcancel{5} \le 11\\\& \underline{\ -5 \qquad \ -\bcancel{5} \ \ -5}\\\& \frac{-8}{2}< \frac{\bcancel{2}x}{\bcancel{2}} \le \frac{6}{2}\\\& -4<x \le 3$

Prueba una solución, $x = 0:$

$-3<2(0)+5 & \le 11\\\-3<5 & \le 11$

Este es el gráfico:

Ejemplo C

Resuelve y grafica $-32>-5x+3$ o $x-4 \le 2$ .

Solución: Al resolver una inecuación con “o”, resuelve las dos inecuaciones por separado, pero pon las soluciones en la misma recta numérica.

$& -32 > -5x + \bcancel{3} \ or \ x- \bcancel{4} \le 2\\\& \underline{\ -3 \quad \ \qquad -\bcancel{3}} \quad \quad \underline{\ +\bcancel{4} \ +4}\\\& \frac{-35}{-5} > \frac{-\bcancel{5}x}{-\bcancel{5}} \qquad \qquad \quad x \le 6\\\& \quad \ 7<x$

Nota que en la primera inecuación, tenemos que invertir los signos de desigualdad porque dividimos por -5. Además, es un poco más complicado probar una solución en este tipo de inecuaciones. Aún pruebas un punto, pero solo funcionará para una de las inecuaciones. Probemos $x = 10$ . La primera inecuación: $-32>-5(10)+3 \rightarrow -32>-47$ . La segunda inecuación: $10-4 \le 2 \rightarrow 5 \cancel{\le} 2$ . Debido a que $x = 10$ funciona para la primera inecuación, se considera como una solución. A continuación, el gráfico.

Revisión del Problema Introductorio Al escribir la calificación como una expresión, tenemos $0.4(84) + 0.6x$ donde x es la calificación del examen final. Madison quiere obtener una A, por lo que tendremos una inecuación compuesta que va desde el 90 hasta el 100.

$90 \le 33.6 + 0.6x \le 100 \\\56.4 \le 0.6x \le 66.4 \\\94 \le x \le 110.67$

A menos que la señora Garcia ofrezca créditos extra, Madison no podrá obtener una calificación mayor a 100. Por lo que, debe sacar al menos 94 o más para obtener una A.

Práctica Guiada

1. Grafica $-7 \le x \le -1$ en una recta numérica.

Resuelve las siguientes inecuaciones compuestas y grafica.

2. $5 \le - \frac{2}{3}x+1 \le 15$

3. $\frac{x}{4}-7>5$ or $\frac{8}{5}x+2\le 18$

Respuestas

1. Esta es una inecuación con “y”, por lo que, el sombreado estará entre los dos números.

2. Resuelve esta inecuación como en el Ejemplo B.

$& \ \ 5 \le - \frac{2}{3}x+ \bcancel{1} \le 15\\\& \underline{-1 \qquad \quad \ \ -\bcancel{1} \ \ -1}\\\& \qquad \ 4 \le - \frac{2}{3}x \le 14\\\& -\frac{3}{2} \left(4 \le -\frac{2}{3}x \le 14\right)\\\& \quad \ \ -6 \ge x \ge -21$

Prueba una solución, $x = -10:$

$5 \le - \frac{2}{3}(-12)+1 \le 15\\\5 \le 9 \le 15$

Esta solución también puede ser escrita $-21 \le x \le -6$ .

El gráfico es:

3. Esta es una inecuación compuesta con “o”. Resuelve las inecuaciones por separado.

$& \frac{x}{4}- \bcancel{7} > 5 \quad \quad or \quad \ \frac{8}{5}x+ \bcancel{2} \le 18\\\& \underline{\ \ + \bcancel{7} \ +7 \; \; \; \; \; \;} \qquad \underline{\qquad \ - \bcancel{2} \ \ -2 \; \; \; \;}\\\& \ \bcancel{4} \cdot \frac{x}{4} > 12 \cdot 4 \ or \quad \ \xcancel{\frac{5}{8} \cdot \frac{8}{5}}x \le 16 \cdot \frac{5}{8}\\\& \ \quad \ x > 48 \quad \ \ or \qquad \quad \ \ x \le 10$

Prueba una solución, $x = 0:$

$& \frac{0}{4} -7 > 5 \ \ or \ \frac{8}{5}(0)+2 \le 18\\\& \ \ -7 \ \bcancel{\ge} \ 5 \ \ or \qquad \quad \ 2 \le 18$

Nota que $x = 0$ es una solución para la segunda inecuación, lo que la convierte en una solución para la inecuación compuesta completa . Este es el gráfico:

En los problemas 2 y 3, cambiamos la escala de la recta numérica para ajustar la solución.

Práctica

Grafica las siguientes inecuaciones compuestas. Usa una escala adecuada.

$-1 < x < 8$
$x > 5$ o $x \le 3$
$-4 \le x \le 0$

Escribe la inecuación compuesta para los siguientes gráficos.

Resuelve cada inecuación compuesta y grafica la solución.

$-11 < x -9 \le 2$
$8 \le 3 -5x < 28$
$2x-7 > -13$ o $\frac{1}{3}x+5 \le 1$
$0 < \frac{x}{5} < 4$
$-4x+9<35$ o $3x-7 \le -16$
$\frac{3}{4}x+7 \ge -29$ o $16 - x > 2$
$3 \le 6x -15 < 51$
$-20 < - \frac{3}{2}x+1 < 16$
Desafío Escribe una inecuación compuesta cuyas soluciones sean Números Reales. Justifica tu respuesta.

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