Solución de Ecuaciones de Valor Absoluto

En esta sección aprenderás a resolver ecuaciones de valor absoluto.

Para determinar la altura de los restos de un esqueleto, los arqueólogos usan la ecuación $H=2.26f + 66.4$ , donde H es la altura en centímetros y f es el largo del fémur del esqueleto (también en cm). La ecuación tiene un margen de error de $\pm 3.42 cm$ . El Dr. Jordan descubrió que el fémur de un esqueleto mide 46,8 cm. Determina la altura máxima y la mínima de la persona.

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Khan Academy: Absolute Value Equations

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Orientación

El valor absoluta es la distancia en que un número se encuentra del cero. Debido a que la distancia es siempre positiva, el valor absoluto será también siempre positivo. El valor absoluto se representa con dos líneas verticales alrededor del número, $|x|$ .

$|5| = 5 && |-9| = 9 && |0| = 0 && |-1| = 1$

Cuando resolvemos una ecuación de valor absoluto $x$ podría tener dos valores diferentes; sin importar si son positivos o negativos. Por lo tanto, siempre habrá DOS respuestas para una ecuación de valor absoluto.

Si $|x|=1$ , entonces $x$ puede ser 1 o -1 porque $|1| = 1$ y $|-1| = 1$ .

Si $|x|=15$ , entonces $x$ puede ser 15 o -15 porque $|15| = 15$ y $|-15| = 15$ .

De estos enunciados podemos concluir:

Ejemplo A

Determina si $x = -12$ es una solución para $|2x-5|=29$ .

Solución: Sustituye -12 po $x$ para comprobar si sirve.

$|2(-12)-5| &= 29\\\|-24-5| &= 29 \\\|-29| &= 29$

-12 es una solución para esta ecuación de valor absoluto.

Ejemplo B

Resuelve $|x+4|=11$ .

Solución:: Habrán dos respuestas para esta ecuación. $x + 4$ puede ser igual a 11 o -11.

$& \qquad \quad |x+4|=11\\\& \qquad \quad \ \ \swarrow \searrow\\\& x+4 = 11 \quad x+4=-11\\\& \qquad \qquad \ \ or \qquad \qquad\\\& \quad \ \ x =7 \qquad \quad x=-15$

Prueba las soluciones:

$& |7+4|=11 \qquad |-15+4|=11 \\\& \quad \ |11|=11 \ \qquad \ |-11|=11$

Ejemplo C

Resuelve $\bigg | \frac{2}{3}x-5 \bigg |=17$ .

Solución: Aquí, lo que va dentro del valor absoluto puede ser igual a 17 o -17.

$& \qquad \quad \qquad \bigg | \frac{2}{3}x-5 \bigg |=17\\\& \qquad \qquad \quad \ \swarrow \searrow\\\& \frac{2}{3}x-5=17 \qquad \quad \frac{2}{3}x-5=-17\\\& \quad \ \ \frac{2}{3}x=22 \qquad or \quad \ \ \frac{2}{3}x=-12\\\& \qquad \ x=22 \cdot \frac{3}{2} \qquad \qquad x=-12 \cdot \frac{3}{2}\\\& \qquad \ x=33 \qquad \quad \quad \quad \ x=-18$

Prueba las soluciones:

$& \bigg | \frac{2}{3}(33)-5 \bigg |=17 \qquad \quad \ \bigg | \frac{2}{3}(-18)-5\bigg |=17\\\& \quad \ \ |22-5|=17 \ \qquad \ \ |-12-5|=17\\\& \qquad \quad \ |17|=17 \qquad \qquad \qquad |-17|=17$

Revisión del Problema Introductorio Primero, necesitamos encontrar la altura del esqueleto usando la ecuación $H=2.26f+66.4$ , donde $f=46.8$ .

$H&=2.26(46.8)+66.4 \\\H&=172.168 cm$

Ahora, usemos una ecuación de valor absoluto para determinar el margen de error y, por lo tanto, la altura máxima y mínima.

$& \qquad \qquad \qquad \quad |x-172.168|=3.42\\\& \qquad \qquad \qquad \quad \swarrow \searrow\\\& x-172.168 = 3.42 \quad x-172.168=-3.42\\\& \qquad \qquad \qquad \qquad or \qquad \qquad\\\& \quad \ \ x =175.588 \qquad \quad x=168.748$

Así, la persona haber medido un máximo de 175.588 cm o un mínimo de 168.748 cm. En pulgadas, sería 69.13 y 66.44, respectivamente.

Práctica Guiada

1. ¿Es $x = -5$ una solución para $|3x+22|=6$ ?

Resuelve las siguientes ecuaciones de valor absoluto.

2. $|6x-11|+2=41$

3. $\bigg | \frac{1}{2}x+3 \bigg |=9$

Respuestas

1. Sustituye -5 por $x$ para comprobar si sirve.

$|3(-5)+22|=6\\\|-15+22|=6\\\|-7| \ne 6$

-5 no es una solución porque $|-7| = 7$ , y no 6.

2. Encuentra las dos soluciones. Debido a que hay un 2 que se está sumando al lado izquierdo de la ecuación; primero, debemos restarlo de ambos lados para que quede solamente el valor absoluto.

$& \qquad \ |6x-11|+2=41\\\& \qquad \qquad |6x-11|=39\\\& \qquad \quad \qquad \swarrow \searrow\\\& \ 6x-11=39 \quad 6x-11=-39\\\& \qquad \ 6x=50 \qquad \quad \ 6x=-28\\\& \qquad \quad x=\frac{50}{6} \quad or \quad \ \ x=-\frac{28}{6}\\\& \quad \qquad \ = \frac{25}{3} \ or \ 8 \frac{1}{3} \quad \ = - \frac{14}{3} \ or \ -4 \frac{2}{3}$

Comprueba ambas soluciones. Es más fácil comprobar las soluciones cuando son fracciones impropias.

$\bigg |6 \left(\frac{25}{3}\right) -11 \bigg| & = 39 \qquad \qquad \quad \bigg |6 \left(- \frac{14}{3} \right) -11 \bigg| = 39\\\|50-11| &= 39 \ \quad and \qquad \ |-28-11| = 39 \\\|39| &= 39 \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ |-39| = 39$

3. Lo que hay dentro del valor absoluto es igual a 9 o -9.

$& \qquad \bigg | \frac{1}{2}x+3\bigg |=9\\\& \qquad \quad \swarrow \searrow\\\& \frac{1}{2}x+3=9 \quad \frac{1}{2}x+3=-9\\\& \quad \ \ \frac{1}{2}x=6 \quad or \quad \frac{1}{2}x=-12\\\& \qquad \ x=12 \qquad \quad x=-24$

Prueba las soluciones:

$& \bigg | \frac{1}{2} (12) +3 \bigg |=9 \qquad \quad \bigg | \frac{1}{2} (-24) +3 \bigg |=9\\\& \qquad |6+3|=9 \ \qquad \ \ |-12+3|=9 \\\& \qquad \quad \ \ |9|=9 \qquad \qquad \qquad \ \ |-9|=9$

Vocabulario

Valor Absoluto:: Distancia positiva en que el número se encuentra del cero.

Práctica

Determina si los siguientes números son soluciones para las ecuaciones de valor absoluto.

$|x-7|=16;9$
$|\frac{1}{4}x+1|=4;-8$
$|5x-2|=7;-1$

Resuelve las siguientes ecuaciones de valor absoluto.

$|x+3|=8$
$|2x|=9$
$|2x+15|=3$
$\bigg |\frac{1}{3}x-5 \bigg |=2$
$\bigg |\frac{x}{6}+4 \bigg |=5$
$|7x-12|=23$
$\bigg |\frac{3}{5}x+2 \bigg |=11$
$|4x -15|+1=18$
$|-3x+20|=35$
$|12x-18|=0$
14. ¿Qué sucedió en el ejercicio #13? ¿Por qué crees que sucede esto?
Desafío ¿Cuándo una ecuación de valor absoluto no tiene una solución? Da un ejemplo.

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