Solución de Inecuaciones de Valor Absoluto

En esta sección aprenderás como resolver inecuaciones de valor absoluto.

La tolerancia de peso para un balón de voleibol es de 2,6 gramos. Si el peso promedio de un balón de voleibol es 260 gramos, ¿cuál es el rango de pesos para este?

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Khan Academy: Absolute Value Inequalities

*Este video solo está disponible en inglés

Orientación

Al igual que las ecuaciones de valor absoluto, las inecuaciones de valor absoluto también pueden tener dos respuestas. Sin embargo, tendrán un rango de respuestas al igual que las inecuaciones compuestas.

$|x|>1$ Esta inecuación tendrá dos respuestas, cuando $x$ es 1 y cuando $-x$ es 1. Pero, ¿qué sucede con el signo de desigualdad? Las dos posibilidades serían:

Nota que en la segunda inecuación, no escribimos $x>-1$ . Esto se debe a que lo que se encuentra en el interior del signo de valor absoluto puede ser positivo o negativo. Por lo tanto, si $x$ es negativo, entonces $-x>1$ . Es muy importante hacer una diferencia entre ambas inecuaciones. Por esto, para la primera solución, dejamos el signo de desigualdad tal cual y para la segunda solución debemos cambiar el signo de la respuesta e invertir el signo de desigualdad.

Ejemplo A

Resuelve $|x+2| \le 10$ .

Solución: Habrán dos soluciones, una con la respuesta y el signo intacto y la otra con el signo de desigualdad invertido y la respuesta con el signo opuesto.

$& \qquad \quad |x+2| \le 10\\\& \qquad \qquad \swarrow \searrow\\\& x+2 \le 10 \qquad x+2 \ge -10\\\& \quad \ \ x \le 8 \qquad \qquad \ x \ge -12$

Prueba la solución, $x = 0:$

$|0+2| & \le 10\\\|2| & \le 10$

Cuando graficamos una inecuación obtenemos

Nota que esta inecuación de valor absoluto en particular tiene una solución que es una inecuación con “y”, porque la solución se encuentra entre dos números.

Si $|ax+b| < c$ donde $a> 0$ y $c> 0$ , entonces $-c<ax+b<c$ .

Si $|ax+b| \le c$ donde $a> 0$ y $c> 0$ , entonces $-c \le ax+b \le c$ .

Si $|ax+b| > c$ donde $a> 0$ y $c> 0$ , entonces $ax+b<-c$ o $ax+b>c$ .

Si $|ax+b| \ge c$ donde $a> 0$ y $c> 0$ , entonces $ax+b \le -c$ o $ax+b \ge c$ .

Si $a< 0$ , tendremos que dividir por un número negativo e invertir el signo de desigualdad. Esto podría cambiar el resultado final. Si alguna vez te confundes con las reglas, siempre prueba una o dos soluciones y grafícalas.

Ejemplo B

Resuelve y grafica $|4x-3|>9$ .

Solución: Separa la inecuación de valor absoluto para encontrar las dos soluciones.

$& \qquad \ \ \ |4x-3|>9\\\& \qquad \qquad \swarrow \searrow\\\& 4x-3>9 \quad \ 4x-3<-9\\\& \quad \ \ 4x>12 \qquad \ 4x<-6\\\& \qquad x>3 \qquad \quad \ \ x<-\frac{3}{2}$

Prueba la solución, $x = 5:$

$|4(5)-3|& >9\\\|20-3| & >9 \\\17 & >9$

Este es el gráfico:

Ejemplo C

Resuelve $|-2x+5|<11$ .

Solución: En este ejemplo, no se aplican las reglas mencionadas anteriormente, porque $a< 0$ . A simple vista, este debería convertirse en una inecuación con “y”. Pero, debido a que tendremos que dividir por un número negativo, $a$ , la respuesta será como una inecuación compuesta con “o”. Aún podemos resolverla de la misma manera en que hemos resuelto los ejemplos anteriores.

$& \qquad \quad \ |-2x+5|<11\\\& \qquad \qquad \quad \ \ \swarrow \searrow\\\& -2x+5<11 \quad -2x+5>-11\\\& \quad \ \ -2x<6 \qquad \quad \ -2x>-16\\\& \qquad \quad \ x>-3 \qquad \qquad \ x<-8$

La solución es menor que -8 o mayor que -3.

Este el gráfico:

Cuando $a < 0$ para una inecuación de valor absoluto, esta cambia los resultados de las reglas mencionadas anteriomente.

Revisión del Problema Introductorio Escribe una inecuación de valor absoluto donde w es el rango de peso del balón de voleibol.

$& \qquad \qquad |w-260| \le 2.6\\\& \qquad \qquad \quad \swarrow \searrow\\\& w-260 \le 2.6 \qquad w-260 \ge -2.6\\\& \quad \ \ w \le 262.6 \qquad \qquad \ w \ge 257.4$

Así, el rango de pesos es $257.4 \le w \le 262.6$ gramos.

Práctica Guiada

1. ¿Es $x = -4$ una solución para $|15-2x|>9$ ?

2. Resuelve y grafica $\bigg |\frac{2}{3}x+5 \bigg | \le 17$ .

Respuestas

1. Sustituye -4 por $x$ para comprobar si sirve.

$|15-2(-4)| > 9\\\|15+8| > 9\\\|23| > 9\\\23 > 9$

Sí, -4 sirve, por lo tanto, es una solución para esta inecuación de valor absoluto.

2. Separa la inecuación para encontrar las dos respuestas.

$& \qquad \quad \ \bigg | \frac{2}{3}x+5\bigg | \le 17\\\& \qquad \qquad \ \ \ \swarrow \searrow\\\& \bigg | \frac{2}{3}x+5\bigg | \le 17 \qquad \frac{2}{3}x+5 \ge -17\\\& \qquad \ \frac{2}{3}x \le 12 \qquad \quad \ \ \frac{2}{3}x \ge -22\\\& \qquad \quad x \le 12 \cdot \frac{3}{2} \qquad \quad x \ge -22 \cdot \frac{3}{2}\\\& \qquad \quad x \le 18 \qquad \qquad \ x \ge -33$

Prueba la solución, $x = 0:$

$\bigg | \frac{2}{3}(0)+5\bigg | & \le 17\\\|5| & \le 17 \\\5 & \le 17$

Práctica

Determina si los siguientes números son soluciones para las inecuaciones de valor absoluto.

$|x-9|>4;10$
$\bigg | \frac{1}{2} x-5 \bigg | \le 1;8$
$|5x+14| \ge 29;-8$

Resuelve y grafica las siguientes inecuaciones de valor absoluto.

$|x+6|>12$
$|9-x| \le 16$
$|2x-7| \ge 3$
$|8x-5|<27$
$\bigg | \frac{5}{6}x+1 \bigg |>6$
$|18-4x| \le 2$
$\bigg | \frac{3}{4}x-8 \bigg |>13$
$|6-7x| \le 34$
$|19+3x| \ge 46$

Resuelve las siguientes inecuaciones de valor absoluto. $a$ es mayor que cero.

$|x-a|>a$
$|x+a| \le a$
$|a-x| \le a$

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