Encontrar la Pendiente y Ecuación de una Recta

En esta sección, aprenderás a encontrar la pendiente de una recta entre dos puntos.

El grado o pendiente de una calle se mide en un porcentaje. Por ejemplo, si la calle tiene una inclinación de 7%, esto es, que por cada 100 pies en recta horizontal, la calle tendrá una pendiente hacia debajo de 7 pies en recta vertical.

Si una carretera tiene una inclinación de 12% por 3 millas (5280 pies en una milla), ¿de cuánto será la bajada de la carretera? ¿Cuál es la pendiente de esta parte de la carretera?

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Khan Academy: Slope of a line

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Orientación

La pendiente de una recta determina cuán inclinada o plana se encuentra. Cuando ponemos una recta en un plano de coordenadas, podemos medir la pendiente, o inclinación, de una recta. Recuerda las partes de un plano de coordenadas, también conocido como plano $x-y$ y plano cartesiano, por el matemático Descartes.

Para graficar un punto, es importante considerar el orden. Primero, se escribe cada punto $(x, y),$ donde $x$ es el movimiento en la dirección de las $x-$ e $y$ es el movimiento en la dirección de las $y-$ Si $x$ es negativo, el punto se ubicará en el $2^{nd}$ o $3^{rd}$ cuadrante. Si $y$ es negativo, el punto se ubicará en el $3^{rd}$ o $4^{th}$ cuadrante. Los cuadrantes se marcan en sentido contrario a las manijas de un reloj con números romanos (como en la imagen anterior).

El punto en el $4^{th}$ cuadrante sería (9, -5).

Para encontrar la inclinación de una recta entre dos puntos; primero, empezamos con triángulos rectos. Grafiquemos los puntos (9, 6) y (3, 4) en un plano $x-y$ tenemos:

Para convertir este segmento en un triángulo recto, dibuja una recta vertical desde el punto más alto y una recta horizontal desde el punto más bajo, hacia la recta vertical. El lugar donde las dos rectas se intersecan es el tercer vértice de la pendiente del triángulo.

Ahora, cuenta las unidades de la recta horizontal y las de la recta vertical (rectas ${\color{red}{\mathbf{red}}}$ ).

La pendiente corresponde a una fracción de la distancia vertical por la distancia horizontal, también conocidas como "elevación sobre avance". Debido a que la distancia vertical va hacia abajo, decimos que es -2. La distancia horizontal va en una dirección negativa (hacia la izquierda), por lo que decimos que es -6. Por lo tanto, la pendiente entre estos dos punto sería $\frac{-2}{-6}$ o $\frac{1}{3}$ .

Nota : También puedes dibujar el triángulo recto sobre el segmento de la recta.

Ejemplo A

Usa un triángulo para encontrar la pendiente de la siguiente recta.

Solución: Nota los dos puntos dibujados en la recta, estos fueron dados para ayudarte a encontrar la pendiente. Dibuja un triángulo entre estos dos puntos y encuentra la pendiente.

Del triángulo en la imagen, podemos ver que la pendiente es $\frac{-4}{4} = -1$ .

Siempre que una pendiente se reduce a un número entero positivo, el "avance" siempre será 1 positivo. Además, nota que esta recta apunta en la dirección opuesta a la recta del segmento de recta en la imagen anterior. Decimos que esta recta tiene una pendiente negativa porque esta es un número negativo y apunta desde el $2^{nd}$ a $4^{th}$ cuadrante. Una recta con pendiente positiva apuntará en la dirección opuesta, entre el $1^{st}$ y $3^{rd}$ cuadrante.

Si volvemos al ejemplo anterior con los puntos (9, 6) y (3, 4), podemos encontrar la distancia horizontal y vertical de otra forma.

De la imagen, podemos ver que la distancia vertical es igual a la diferencia entre los valores $y-$ y la distancia horizontal es la diferencia entre los valores $x-$ Por lo tanto, la pendiente es $\frac{6-4}{9-3}$ . Podemos aplicar esta idea para obtener la pendiente de cualquier puntos , $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$ .

Fórmula de la Pendiente: Para dos puntos $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2),$ la pendiente entre ellos es $\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ . El símbolo para pendiente es $m$ .

No importa qué puntos escojas $(x_1, y_1)$ o $(x_2, y_2)$ .

Ejemplo B

Encuentra la pendiente entre (-4, 1) y (6, -5).

Solución: Usa la fórmula de la pendiente anterior. Establece $(x_1, y_1) = (-4, 1)$ y $(x_2, y_2) = (6, -5)$ .

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{6 -(-4)}{-5 - 1} = \frac{10}{-6} = -\frac{5}{3}$

Ejemplo C

Encuentra la pendiente entre (9, -1) y (2, -1).

Solución: Usa la fórmula de la pendiente. Establece $(x_1, y_1) = (9, -1)$ y $(x_2, y_2) = (2, -1)$ .

$m = \frac{-1 - (-1)}{2 - 9} = \frac{0}{-7} = 0$

En este caso, tenemos una pendiente cero. Al graficar estos dos puntos obtenemos una recta horizontal; se debe a que los valores $y-$ son iguales. Siempre que los valores $y-$ sean iguales, la recta horizontal y la pendiente serán cero.

Revisión del Problema Introductorio La calle tiene una pendiente hacia debajo de 12 pies cada 100 pies.

Establezcamos una razón para descubrir la pendiente de la calle en 3 millas o $3 \cdot 5280 = 15,840$ pies.

$\frac{12}{100}&= \frac{x}{15,840} \\\15840 \cdot \frac{12}{100} &= x \\\x &= 1900.8$

La calle se inclina 1900.8 pies cada 3 millas. La pendiente de la calle es $\frac{12}{100}$ o $\frac{3}{25}$ cuando la fracción es reducida.

Práctica Guiada

1. Usa un triángulo para encontrar la pendiente de la siguiente recta.

2. Encuentra la pendiente entre (2, 7) y (-3, -3).

3. Encuentra la pendiente entre (-4, 5) y (-4, -1).

Respuestas

Al contar los cuadrados, la distancia vertical es 6 hacia abajo, o -6; y la distancia horizontal es 8 hacia la derecha, o +8. Entonces, la pendiente es $\frac{-6}{8}$ o $-\frac{2}{3}$ .

2. Usa la fórmula para pendientes. Establece $(x_1, y_1) = (2, 7)$ y $(x_2, y_2) = (-3, -3)$ .

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-3 -7}{-3 -2} = \frac{-10}{-5} = 2$

3. Nuevamente, usa la fórmula para pendientes. Establece $(x_1, y_1) = (-4, 5)$ y $(x_2, y_2) = (-4, -1)$ .

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-1 -5}{-4 -(-4)} = \frac{-6}{0}$

No puedes dividir por cero. Por lo tanto, la pendiente es indefinida. Si tuvieras que graficar estos puntos, obtendrías una recta vertical. Todas las rectas verticales tienen una pendiente indefinida.

Nota importante : Siempre debes reducir las fracciones de la pendiente. Además, si el numerador o denominador de una pendiente es negativo, entonces la pendiente es negativa. Si ambos son negativos, entonces tenemos un número negativo dividido por un número negativo, lo que da como resultado un número positivo y, por consiguiente, una pendiente positiva.

Vocabulario

Pendiente: Inclinación de una recta. Una recta que puede tener una pendiente positiva, negativa, cero (horizontal) o indefinida (vertical). Además, la pendiente puede ser llamada "elevación sobre avance" o "el cambio en los valores $y-$ sobre los cambios en los valores $x-$ values.” El símbolo para la pendiente es $m$ .

Fórmula para pendientes: Fórmula para dos puntos $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$ , la pendiente correspondiente es $\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ .

Práctica

Encuentra la pendiente de cada recta, usando triángulos.

Encuentra la pendiente entre cada par de puntos usando la fórmula para pendientes.

(-5, 6) y (-3, 0)
(1, -1) y (6, -1)
(3, 2) y (-9, -2)
(8, -4) y (8, 1)
(10, 2) y (4, 3)
(-3, -7) y (-6, -3)
(4, -5) y (0, -13)
(4, -15) y (-6, -11)
(12, 7) y (10, -1)
16. Desafío La pendiente entre dos puntos $(a, b)$ y (1, -2) is $\frac{1}{2}$ . Encuentra $a$ y $b$ .