Encontrar la Ecuación de la Recta en su Forma Pendiente-Intersección

En esta sección, encontrarás la ecuación de la recta (la pendiente y la intersección en el eje $y-$ ) en se forma pendiente-intersección.

Decides comprar un notebook que cuesta $800. En 3 años, el precio del notebook será $450. ¿Cuánto costará el computador luego de 6 años?

Escribir una ecuación lineal que relacione los dos precios te ayudará a determinar cuánto costará el computador en 6 años más.

Mira esto

Haz clic en la imagen para más información (requiere conexión a internet)

James Sousa: Slope Intercept Form of a Line

*Este video solo está disponible en inglés

Orientación

En el capítulo anterior, encontramos la pendiente entre dos puntos. Ahora encontraremos la ecuación completa de la recta. Recuerda de Algebra I que la ecuación de la recta en forma de pendiente-intersección es $y = mx + b,$ donde $m$ es la pendiente y $b$ es la intersección del eje $y-$ Podrás encontrar la pendiente ya sea usando triángulos de pendientes o la Fórmula de la Pendiente. Para encontrar la intersección del eje $y-$ o $b,$ puedes localizar en donde la recta cruza el eje $y-$ (si entregan el gráfico) o usar álgebra.

Ejemplo A

Encuentra la ecuación de la siguiente recta.

Solución: Analiza la recta. Nos dan dos puntos en la recta, uno de ellos es la intersección con el eje $y-$ En el gráfico, pareciera que la recta atraviesa el eje $y-$ en (0, 4), haciendo de $b = 4$ . Ahora necesitamos encontrar la pendiente. Puedes usar triángulos de pendientes o la Fórmula de la Pendiente. Usando triángulos de pendiente tenemos:

La pendiente es $- \frac{2}{6}$ o $- \frac{1}{3}$ .

Reemplazando los datos que encontramos en la ecuación pendiente-intersección, la ecuación de esta recta es $y = - \frac{1}{3} x + 4$ .

Método Alternativo : Si hubiéramos usado la Fórmula de la Pendiente, habríamos usado (0, 4) y (6, 2), valores de los puntos dados.

$m = \frac{2-4}{6-0} = \frac{-2}{6} = - \frac{1}{3}$

Ejemplo B

La pendiente de la recta es -4 y la intersección del eje $y-$ es (0, 3). ¿Cuál es la ecuación de la recta?

Solución: Este problema nos dice explícitamente la pendiente y la intersección del eje $y-$ La pendiente es -4, esto significa que $m = -4$ . La intersección del eje $y-$ es (0, 3), esto significa que $b = 3$ . Por lo tanto, la ecuación de la recta es $y = -4x + 3$ .

Ejemplo C

La pendiente de la recta es $\frac{1}{2}$ y pasa por el punto (4, -7). ¿Cuál es la ecuación de la recta?

Solución: En este problema nos dan $m$ y un punto en la recta. El punto, (4, -7) puede ser reemplazo para $x$ y $y$ en la ecuación. Necesitamos resolver la intersección del eje $y-$ o $b$ . Reemplaza lo que sabes en la ecuación pendiente-intersección.

$y &= mx + b\\\-7 &=\frac{1}{2}(4) + b\\\-7 &=2 + b\\\-9 &=b$

Como resultado, la ecuación de la recta es $y = \frac{1}{2}x - 9$ .

Podemos comprobar si un punto está en la recta o no reemplazándolo en la ecuación. Si la ecuación mantiene el mismo resultado, el punto se encuentra en la recta. Si no, entonces el punto no está en la recta.

Ejemplo D

Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos (12, 7) y (10, -1).

Solución: En este ejemplo, no nos dan ni la pendiente ni la intersección del eje $y-$ Primero, necesitamos encontrar la pendiente usando la Fórmula de la Pendiente.

$m = \frac{-1-7}{10-12} = \frac{-8}{-2} = 4$

Ahora, reemplaza uno de los puntos para $x$ y $y$ . No importa qué punto elijas, porque ambos están en la recta.

$7 &= 4(12) + b\\\7 &= 48 + b \\\-41 &= b$

La ecuación de la recta es $y = 4x - 41$ .

Revisión del Problema Introductorio Para determinar la ecuación de la recta, rescribe los datos dados como puntos. El primero sería (0, 800) y el segundo (3, 450). Ya sabemos que la intersección en el eje y es 800, porque el valor de x es cero en ese punto. Encuentra la pendiente.

$\frac{800-450}{0-3}= - \frac{350}{3}$

Por lo tanto la ecuación para la disminución del precio del notebook es $y= - \frac{350}{3}x + 800$ . En 6 años, el computador costará $y= - \frac{350}{3}\cdot 6 + 800 = -700+800 = 100$ . El notebook costará $100.

Práctica Guiada

1. ¿Cuál es la ecuación de la recta donde la pendiente es 1 y pasa por el punto (5, 3)?

2. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos (9, -4) y (-1, -8).

3. Encuentra la ecuación de la siguiente recta.

Respuestas

1. Nos dicen que $m = 1, x = 5,$ e $y = 3$ . Reemplaza estos valores en la ecuación pendiente-intersección y encuentra el valor de $b$ .

$3 &= 1(5) + b\\\3 &= 5 + b \\\-2 &= b$

La ecuación de la recta es $y = x - 2$

2. Primero, encuentra la pendiente.

$m = \frac{-8-(-4)}{-1-9} = \frac{-4}{-10} = \frac{2}{5}$

Ahora, encuentra la intersección del eje $y-$ Usaremos el segundo punto. Recuerda que no importa qué punto uses.

$-8 &= \frac{2}{5}(-1) + b\\\-8 &= - \frac{2}{5} + b \\\-7 \frac{3}{5} &= b$

La ecuación de la recta es $y = \frac{2}{5}x - 7 \frac{3}{5}$ or $y = \frac{2}{5}x - \frac{38}{5}$ .

Cuando la intersección del eje $y-$ es una fracción, asegúrate de simplificarla a su mínima expresión. Comprueba con tu profesor cómo quiere que dejes tu respuesta final.

3. Podemos encontrar la pendiente con una de las dos formas: usando triángulos de pendiente o usando la Fórmula de la Pendiente. Nos dicen (según la imagen) que los puntos (-2, 2) y (4, -2) están en la recta. Dibujando un triángulo, tenemos:

Tenemos que la pendiente es $- \frac{4}{6}$ o $- \frac{2}{3}$ . Para encontrar la intersección del eje $y-$ pareciera que se encuentra entre 0 y 1. Toma uno de los puntos y reemplaza lo que sabes en la ecuación pendiente-intersección.

$2 &= - \frac{2}{3}(-2) + b\\\2 &= \frac{4}{3} + b \\\\frac{2}{3} &= b$

La ecuación de la recta es $y = - \frac{2}{3}x + \frac{2}{3}$ .

Vocabulario

Forma Pendiente-intersección: La ecuación de la recta en la forma $y = mx + b,$ donde $m$ es la pendiente $b$ es la intersección del eje $y-$ .

Intersección del eje $y-$: El punto donde la recta cruza el eje $y-$ Este punto siempre presenta la forma $(0, y)$ .

Intersección del eje $x-$: El punto donde la recta cruza el eje $x-$ Este punto siempre presenta la forma $(x, 0)$ .

Práctica

Encuentra la ecuación para cada recta con la información dada a continuación.

Pendiente = 2, intersección del eje $y-$ = (0, 3)
$m = -\frac{1}{4}, \ b = 2.6$
Pendiente = -1, intersección del eje $y-$ = (0, 2)
Intersección del eje $x-$ = (-2, 0), intersección del eje $y-$ = (0, -5)
Pendiente $= \frac{2}{3}$ y pasa por el punto (6, -4)
Pendiente $= - \frac{3}{4}$ y pasa por el punto (-2, 5)
Pendiente = -3 y pasa por el punto (-1, -7)
Pendiente = 1 y pasa por el punto (2, 4)
La recta pasa por los puntos (-5, 4) y (1, 1)
La recta pasa por los puntos (5, -1) y (-10, -10)
La recta pasa por los puntos (-3, 8) y (6, 5)
La recta pasa por los puntos (-4, -21) y (2, 9)

Para los problemas desde el 13 al 16, encuentra la ecuación de la recta utilizando el siguiente gráfico.

Recta verde
Recta azul
Recta roja
Recta morada
Encuentra la ecuación de la recta con pendiente igual a cero y que pasa por el punto (8, -3).
Encuentra la ecuación de la recta con pendiente igual a cero y que pasa por el punto (-4, 5).
Encuentra la ecuación de la recta con pendiente igual a cero y que pasa por el punto $(a, b)$ .
Desafío Encuentra la ecuación de la recta con una pendiente indefinida y que pasa por los puntos $(a, b)$ .

Prev Next