Forma General

Aquí tu aprendereras como usar la forma general de una línea.

En un partido de fútbol, Brian está vendiendo confites. Vende bebidas a $2 la lata y palomitas de maíz a $3 la bolsa. Al finalizar la noche, se le agotaron todas las bebidas e hizo un total de $264. Si vendió 60 latas de bebida, ¿Cuántas bolsas de palomitas de maíz vendió?

Orientación

La Forma Pendiente-intersección es una manera de expresar la ecuación de la recta. Otra manera se conoce como forma estándar. La forma estándar es $Ax + By = C,$ donde $A, B,$ y $C$ son números reales.

Ejemplo A

Encuentra la ecuación de la recta, en su forma estándar, donde la pendiente es $\frac{3}{4}$ y pasa por el punto (4, -1).

Solución: Para encontrar la ecuación en su forma estándar, necesitas determinar los valores de $A, B,$ y $C$ Empecemos este ejemplo encontrando la ecuación pendiente-intersección.

$-1 &= \frac{3}{4}(4) + b\\\-1 &= 3 + b \\\-4 &= b$

En la forma pendiente-intersección, la ecuación es $y = \frac{3}{4}x-4$ .

Para convertir esta ecuación en su forma estándar necesitamos sustraer el término $x-$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{3}{4}x+y = -4$

Ejemplo B

La ecuación de la recta es $5x-2y = 12$ . ¿Cuál es la pendiente y la intersección del eje $y-$ ?

Solución: Para encontrar la pendiente y la intersección del eje $y-$ de la recta en su forma estándar, necesitamos cambiar esta ecuación a su forma pendiente-intersección. Esto significa que necesitamos encontrar el valor de $y$ .

$5x - 2y &= 12\\\-2y &= -5x + 12 \\\y &= \frac{5}{2}x - 6$

A partir de esto, la pendiente es $\frac{5}{2}$ y la intersección del eje $y-$ es (0, -6).

Ejemplo C

Encuentra la ecuación de la siguiente recta en su forma estándar.

Solución: Las intersecciones. El triángulo de pendiente está formado por los ejes, $\frac{-6}{-2} = 3$ . La intersección del eje $y-$ es (0, 6). La ecuación de la recta, en su forma pendiente-intersección, es $y = 3x + 6$ . Para convertir la ecuación a su forma estándar, sustrae el término $x-$ para pasarlo al otro lado de la igualdad.

$-3x + y = 6 \ or \ 3x - y = -6$

Ejemplo D

La ecuación de la recta es $6x - 5y = 45$ . ¿Cuáles son las intersecciones?

Solución: Para la intersección del eje $x-$ el valor de la intersección del eje $y-$ es cero. Reemplaza el valor de $y$ por cero y determina el valor de $x$ .

$6x - 5y &= 45\\\6x - 5(0) &= 45\\\6x &= 45 \\\x &= \frac{45}{6} \ or \ \frac{15}{2}$

La intersección del eje $x-$ es $\left(\frac{15}{2}, 0 \right)$ .

Para la intersección del eje $y-$ el valor de $x-$ es cero. Reemplaza la $x$ por un cero y determina el valor de $y$ .

$6x -5y &= 45\\\6(0) - 5y &= 45\\\5y &= 45 \\\y &= 9$

La intersección del eje $y-$ es (0, 9).

Revisión del Problema Introductorio Este tipo de problema es más fácil expresarlo en la forma estándar. Llamaremos x al número de latas de bebidas e y al número de bolsas de palomitas de maíz. Los coeficientes son el costo de cada ítem en dólares. El resultado de la ecuación será el dinero ganado por Brian.

$2x+3y=264$

Ahora, sabemos que $x=60$ . Reemplázalo y determina el valor de y.

$2(60)+3y&=264 \\\120+3y&=264\\\3y&=144\\\y&=48$

Por lo tanto, Brian vendió 48 bolsas de palomitas de maíz.

Práctica Guiada

1. Encuentra la ecuación de la recta, en su forma estándar, que pasa por los puntos (8, -1) y (-4, 2)

2. Cambia $2x + 3y = 9$ a la forma pendiente-intersección

3. ¿Cuáles son las intersecciones de la ecuación $3x - 4y = -24$ ?

Respuestas

1. Como en el Ejemplo A, primero necesitamos encontrar la ecuación de la recta en la forma de intersección del eje $y-$ y luego, convertirla en la forma estándar. Primero, encuentra la pendiente.

$\frac{2-(-1)}{-4-8} = \frac{3}{-12} = - \frac{1}{4}$

Encuentra la intersección del eje $y-$ usando la forma pendiente-intersección.

$2 &= - \frac{1}{4}(-4) + b\\\2 &= 1 + b \\\1 &= b$

La ecuación de la recta es $y = - \frac{1}{4}x + 1$ .

Para convertir esta ecuación en su forma estándar, suma el término $x-$ a ambos lados de la igualdad.

$& \quad \frac{1}{4}x + y = 1$

2. Para cambiar $2x + 3y = 9$ en la forma pendiente-intersección, determina el valor de $y$ .

$2x + 3y &=9\\\3y &= -2x + 9\\\y &= - \frac{2}{3}x + 3$

3. Guíate por el Ejemplo D para encontrar las intersecciones de $3x - 4y = -24$ . Primero, reemplaza $y$ por un cero y determina el valor de $x$ .

$3x - 4(0) &= -24\\\3x &= -24 \\\x &= -8$

La intersección del eje $x-$ es (-8, 0)

Ahora, comienza de nuevo: reemplaza $x$ por un cero y determina el valor de $y$ .

$3(0) - 4y &=-24\\\-4y &= -24 \\\y &= 6$

La intersección del eje $y-$ es (6, 0)

Vocabulario

Forma Estándar (de la recta): Cuando la recta está en la forma $Ax + By = C$ donde $A, B,$ y $C$ son números reales.

Práctica

Convierte las siguientes ecuaciones en su forma estándar.

$y = - \frac{2}{3}x + 4$
$y = x - 5$
$y = \frac{1}{5}x - 1$

Convierte las siguientes ecuaciones en su forma pendiente-intersección.

$4x + 5y = 20$
$x - 2y = 9$
$2x -3y = 15$

Encuentra el valor de $x$ y la intersección del eje $y-$ de las siguientes ecuaciones.

$3x + 4y = 12$
$6x - y = 8$
$3x + 8y = -16$

Encuentra la ecuación de las siguientes rectas, en su forma estándar.

Pendiente = 2 y pasa por el punto (3, -5)
Pendiente $= - \frac{1}{2}$ y pasa por el punto (6, -3).
La recta pasa por los puntos (5, -7) y (-1, 2)
La recta pasa por los puntos (-5, -5) y (5, -3)
Convierte $Ax + By = C$ a la forma pendiente-intersección.
Del ejercicio #16 ¿Cuál es la pendiente y la intersección del eje $y-$ (en términos de $A, B,$ y/o $C$ )?
Utilizando las respuestas de los ejercicios #16 y #17, encuentra una combinación posible con $A, B,$ y $C$ para $y = \frac{1}{2}x - 4$ . Escribe tu respuesta en la forma estándar.
La medida de la pendiente en un camino se llama inclinación . esta se mide en porcentajes y es la cantidad de pies que el camino aumenta o disminuye verticalmente por 100 pies. Por ejemplo, un camino tiene un grado de inclinación de 5%, significa que por cada 100 pies en forma horizontal, este aumenta 5 pies en forma vertical. ¿Cuál es la pendiente del camino si tiene un grado de inclinación de 8%?
La población de una pequeña ciudad al norte de California aumenta gradualmente cerca de 50 personas al año. En el 2010, la población era de 8500 personas. Escribe una ecuación para la población de esta ciudad y encuentra la población estimada para el año 2017.

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