Encontrar la Ecuación de Rectas Paralelas

En esta sección, aprenderás como encontrar la ecuación de la recta paralela a una recta dada.

Pablo está buscando diferentes tipos de ejercicios para comprobar cuál te ayuda a quemar más calorías. Encontró que una clase de bicicleta estática puede quemar hasta 150 calorías cada 10 minutos. La máquina elíptica quema 270 calorías cada 30 minutos. Estos dos tipos de ejercicio físico, ¿queman la misma cantidad de calorías en una hora?

Orientación

Cuando dos rectas son paralelas, poseen la misma inclinación y nunca se intersecan entre sí. Por lo tanto, si la recta dada tiene una inclinación de -2, cualquier recta que sea paralela a esta tendrá una inclinación de -2, pero su intersección con el eje $y-$ será diferente.

Ejemplo A

Encuentra la ecuación de la recta que es paralela a $y = \frac{2}{3}x -5$ y pasa por el punto (-12, 1).

Solución: Sabemos que la inclinación será la misma para ambas rectas; sin embargo, necesitamos encontrar la intersección con el eje $y-$ para esta nueva recta. Utiliza el punto dado, (-12, 1), y reemplaza $x$ e $y$ para encontrar el valor de $b$ .

$y &= \frac{2}{3}x + b\\\1 &= \frac{2}{3}(-12) + b \\\1 &= -8 + b\\\9 &= b$

La ecuación de la recta paralela es $y = \frac{2}{3}x + 9$ .

Ejemplo B

Escribe la ecuación de la recta que para por el punto (4, -7) y es paralela a $y = -2$ .

Solución: La recta $y = -2$ no tiene el término $x-$ esto significa que no tiene inclinación, o sea, es una recta horizontal. Por lo tanto, para encontrar la recta horizontal que pase por el punto (4, -7), solo necesitamos la coordenada del eje $y-$ La recta sería $y = -7$ .

Se podría aplicar este mismo método para las rectas verticales, pero todas las ecuaciones de las rectas verticales están en la forma $x = a$ . La coordenada del eje $x-$ de un punto dado sería lo necesario para determinar la ecuación de una recta vertical paralela.

Ejemplo C

Escribe la ecuación de la recta que pasa por el punto (6, -10) y es paralela a la recta que pasa por los puntos (4, -6) y (3, -4).

Solución: Primero, necesitamos encontrar la pendiente de la recta que será paralela a nuestra recta. Utiliza los puntos (4, -6) y (3, -4) para encontrar la pendiente.

$m = \frac{-4-(-6)}{3-4} = \frac{2}{-1} = -2$

Esta es la pendiente tanto de la recta dada como de la que será paralela a esta. Utiliza los puntos (6, -10) para encontrar la intersección del eje $y-$ de la recta, de la cual nos piden encontrar su ecuación.

$-10 &= -2(6) + b\\\-10 &= -12 + b \\\2 &= b$

La ecuación de la recta es $y = -2x + 2$ .

Revisión del Problema Introductorio La ecuación para bicicleta estática es $y=\frac{150}{10}x$ o $y=15x$ . Para la elíptica, la ecuación sería $y=\frac{270}{30}x$ or $y=9x$ . Estas rectas no son paralelas entre sí, por lo tanto, ambos ejercicios no queman la misma cantidad de calorías. Luego de 60 minutos, la bicicleta estática quemará 900 calorías y la elíptica quemará 540 calorías.

Práctica Guiada

1. Encuentra la ecuación de la recta que es paralela a $x - 2y = 8$ y pasa por el punto (4, -3).

2. Encuentra la ecuación de la recta que es paralela a $x = 9$ y pasa por el punto (-1, 3).

3. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto (-5, 2) y es paralela a la recta que para por los puntos (6, -1) y (1, 3).

Respuestas

1. Primero, necesitamos cambiar la forma estándar de esta recta por su forma pendiente-intersección.

$x - 2y &= 8\\\-2y &= -x + 8 \quad \text{Now, we know the slope is} \ \frac{1}{2}. \ \text{Let's find the new} \ y- \ \text{intercept.}\\\y &= \frac{1}{2}x - 4$

$-3 &= \frac{1}{2}(4) + b\\\-3 &= 2 + b\\\-5 &= b$

La ecuación de la recta paralela es $y = \frac{1}{2}x - 5$ or $x - 2y = 10$ .

2. $x = 9$ es una recta vertical que pasa por el punto 9 del eje $x-$ Por lo tanto, solo necesitamos la coordenada del eje $x-$ del punto para determinar la ecuación de la recta vertical paralela. La recta paralela que pasa por el punto (-1, 3) sería $x = -1$ .

3. Primero, encuentra la pendiente de los puntos (6, -1) y (1, 3).

$m = \frac{-1-3}{6-1} = \frac{-4}{5} = - \frac{4}{5}$

Esta también será la pendiente de la recta paralela. Utiliza ésta pendiente con el punto dado, (-5, 2).

$2 &= - \frac{4}{5}(-5) + b\\\2 &= 1 + b \\\1 &= b$

La ecuación de la recta paralela es $y = - \frac{4}{5}x + 1$ .

Vocabulario

Paralelo: Cuando dos o más rectas están en el mismo plano y nunca se intersecan. Estas rectas siempre tendrán la misma pendiente.

Práctica

Encuentra la ecuación de la recta dada la siguiente información. Puedes dejar tu respuesta en la forma pendiente-intersección.

Pasa por el punto (4, 7) y es paralela a $x - y = -5$ .
Pasa por el punto (-6, -2) y es paralela a $y = 4$ .
Pasa por el punto (-3, 5) y es paralela a $y = - \frac{1}{3}x - 1$ .
Pasa por el punto (1, -9) y es paralela a $x = 8$ .
Pasa por la intersección del eje y de $y-$ de $2x - 3y = 6$ y es paralela $x - 4y = 10$ .
Pasa por el punto (-12, 4) y es paralela a $y = -3x + 5$ .
Pasa por la intersección del eje $x-$ de $2x - 3y = 6$ y es paralela $x + 4y = -3$ .
Pasa por el punto (7, -8) y es paralela a $2x + 5y = 14$ .
Pasa por el punto (1, 3) y es paralela a la recta que pasa por los puntos (-6, 2) y (-4, 6).
Pasa por el punto (-18, -10) y es paralela a la recta que pasa por los puntos (-2, 2) y (-8, 1).
Pasa por el punto (-4, -1) y es paralela a recta que pasa por los puntos (15, 7) y (-1, -1).

Los siguientes pares de rectas ¿son paralelas? Explica brevemente como lo sabes.

$x - 2y = 4$ y $-5x + 10y = 16$
$3x + 4y = -8$ y $6x + 12y = -1$
$5x - 5y = 20$ y $x + y = 7$
$8x - 12y = 36$ y $10x - 15y = -15$

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