Encontrar la Ecuación de Rectas Perpendiculares

En esta sección, aprenderás a encontrar la ecuación de una recta perpendicular a una recta dada. Además, determinarás si un par de rectas son paralelas, perpendiculares o ninguna de las anteriores.

En muchas ciudades, es muy común que las calles se distribuyan en forma de cuadricula. Más adelante te presentamos un ejemplo. (Asumiendo que la esquina inferior izquierda es el punto de origen). ¿Hay alguna calle perpendicular? ¿Cuál es la pendiente de cada calle?

Orientación

Cuando dos rectas son perpendiculares, estas se intersecan con un ángulo de $90^\circ,$ o ángulo recto. Las pendientes de dos rectas perpendiculares son, por lo tanto, diferentes. Investiguemos la relación de rectas perpendiculares.

Estudio: Pendientes de Rectas Perpendiculares

Para esto necesitarás: un lápiz, una regla, un transportador y papel cuadriculado.

Dibuja un plano de ejes $x-y$ que vaya desde el -5 hasta 5 en los ejes $x$ e $y$ .
Grafica los puntos (0, 0) y (1, 3). Conéctalos para formar una recta.
Grafica (0, 0) y (-3, 1). Conéctalos para formar una segunda recta.
Usando el transportador, mide el ángulo formado por las dos rectas. ¿Cuánto es?
Usa un triangulo para encontrar las pendientes de ambas rectas. ¿Cuál es el resultado?
Multiplica la pendiente de la primera recta por la pendiente de la segunda recta. ¿Qué obtienes?

A partir de este estudio, las rectas de los ejercicios #2 y #3 son perpendiculares porque forman un ángulo de $90^\circ$ Las pendientes son 3 y $- \frac{1}{3},$ respectivamente. Cuando las multiplicamos juntos, el producto es -1. Esto se aplica a todas las rectas perpendiculares.

El producto de las pendientes de dos rectas perpendiculares es -1.

Si una recta tiene una pendiente de $m,$ entonces la pendiente perpendicular es $- \frac{1}{m}$ .

Ejemplo A

Encuentra la ecuación de la recta perpendicular a $2x -3y = 15$ y que pasa por el punto (6, 5).

Solución: Primero, necesitamos cambiar la recta de la forma estándar a la forma pendiente-intersección.

$2x - 3y &= 15\\\-3y &=-2x + 15\\\y &= \frac{2}{3}x - 5$

Ahora, encontremos la pendiente perpendicular. Del estudio anterior, sabemos que las pendientes se deben multiplicar para que den como resultado -1.

$\frac{2}{3} \cdot m &= -1\\\\xcancel{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} \cdot m &= -1 \cdot \frac{3}{2}\\\m &= - \frac{3}{2}$

Nota que la pendiente perpendicular es del signo opuesto y recíproco a la pendiente original. Ahora, necesitamos usar el punto dado para encontrar la intersección de $y-$

$5 &= - \frac{3}{2}(6) + b\\\5 &= -9 + b\\\14 &= b$

La ecuación de la recta perpendicular a $y = \frac{2}{3}x - 5$ es $y = - \frac{3}{2}x + 14$ .

Si escribimos estas rectas de la forma estándar, las ecuaciones serían $2x - 3y = 15$ y $3x + 2y = 28,$ respectivamente.

Ejemplo B

Escribe la ecuación de la recta que pasa por el punto (4, -7) y es perpendicular a $y = 2$ .

Solución: La recta $y = 2$ no tiene un término $x-$ lo que significa que no tiene una pendiente ni una recta horizontal. Por lo tanto, para encontrar la recta perpendicular que pasa por el punto (4, -7), esta tendría que ser una recta vertical. Solo necesitas la coordenada del eje $x-$ coordinate. La recta perpendicular sería $x = 4$ .

Ejemplo C

Escribe la ecuación de la recta que pasa por los puntos (6, -10) y que es perpendicular a la recta que pasa por los puntos (4, -6) y (3, -4).

Solución: Primero, necesitamos encontrar la pendiente de la recta que será perpendicular a nuestra recta. Usa los puntos (4, -6) y (3, -4) para encontrar la pendiente.

$m = \frac{-4-(-6)}{3-4} = \frac{2}{-1} = -2$

Por lo tanto, la pendiente perpendicular es del signo opuesto y reciproco de -2. Esto hace que la pendiente sea $\frac{1}{2}$ . Usa el punto (6, -10) para encontrar la intersección del eje $y-$ .

$-10 &= \frac{1}{2}(6) + b\\\-10 &= 3 + b \\\-7 &= b$

La ecuación de la recta perpendicular es $y = \frac{1}{2}x - 7$ .

Revisión del Problema Introductorio Usando los extremos graficados de cada calle, encontramos la pendiente de A St. es $- \frac{1}{2}$ , la de la 7th Ave. es $2$ , y la pendiente de Lincoln Blvd. es $\frac{1}{2}$ . Por lo tanto, debido a que son recíprocos negativos de cada una, la A St. y la 7th Ave. son perpendiculares. La Lincoln Blvd. no es ni perpendicular ni paralela a la 7th Ave. o a la A Street.

Práctica Guiada

1. Encuentra la ecuación de la recta perpendicular a $x - 2y = 8$ y que pasa por el punto (4, -3).

2. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto (-8, 7) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos (6, -1) y (1, 3).

3. ¿Son $x - 4y = 8$ y $2x + 8y = -32$ paralelas, perpendiculares o ninguna de las anteriores?

Respuestas

1. Primero, necesitamos cambiar esta recta de la forma estándar a la forma pendiente-intersección.

$x -2y &= 8\\\-2y &= -x + 8\\\y &=\frac{1}{2}x - 4$

La pendiente perpendicular será -2. Encontremos la nueva intersección del eje $y-$ .

$-3 &= -2(4) + b\\\-3 &= -8 + b \\\5 &= b$

La ecuación de la recta perpendicular es $y = -2x + 5$ or $2x + y = 5$ .

2. Primero, encuentra la pendiente de los puntos (6, -1) y (1, 3).

$m = \frac{-1-3}{6-1} = \frac{-4}{5} = -\frac{4}{5}$

La pendiente de la recta perpendicular será $\frac{5}{4}$ . Ahora, usa (-8, 7) para encontrar la intersección del eje $y-$ .

$7 &= \frac{5}{4}(-8) + b\\\7 &= -10 + b \\\17 &= b$

La ecuación de la recta perpendicular es $y = \frac{5}{4}x + 17$ .

3. Para determinar si las dos rectas son paralelas o perpendiculares, necesitamos cambiarlas a la forma pendiente-intersección.

$x - 4y &= 8 \qquad \qquad \qquad 2x + 8y = -32\\\-4y &= -x + 8 \quad and \qquad \quad \ 8y = -2x -32\\\y &=\frac{1}{4}x - 2 \qquad \qquad \qquad \ y = - \frac{1}{4}x - 4$

Ahora, mira a las pendientes. Una es $\frac{1}{4}$ y la otra es $- \frac{1}{4}$ . No son iguales, por lo que no son paralelas. Para ser perpendiculares, las pendientes deben ser recíprocas y no lo son. Por lo tanto, estas rectas no son paralelas ni perpendiculares.

Vocabulario

Perpendicular: Cuando dos rectas se intersecan para formar un ángulo recto o de $90^\circ$ , El producto de las pendientes de estas rectas perpendiculares es -1.

Práctica

Encuentra la ecuación de la recta, de acuerdo a la información proporcionada. Puedes dejar tus respuestas en la forma pendiente-intersección.

Pasa por el punto (4, 7) y es perpendicular a $x - y = -5$ .
Pasa por el punto (-6, -2) y es perpendicular a $y = 4$ .
Pasa por el punto (4, 5) y es perpendicular a $y = - \frac{1}{3}x - 1$ .
Pasa por el punto (1, -9) y es perpendicular a $x = 8$ .
Pasa por el punto (0, 6) y es perpendicular a $x - 4y = 10$ .
Pasa por el punto (-12, 4) y es perpendicular a $y = -3x + 5$ .
Pasa por la intersección del eje $x-$ de $2x - 3y = 6$ y es perpendicular a $x + 6y = -3$ .
Pasa por el punto (7, -8) y es perpendicular a $2x + 5y = 14$ .
Pasa por el punto (1, 3) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos (-6, 2) y (-4, 6).
Pasa por el punto (3, -10) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos (-2, 2) y (-8, 1).
Pasa por el punto (-4, -1) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos (-15, 7) y (-3, 3).

Estas rectas, ¿son paralelas, perpendiculares o ninguna de las anteriores?

$4x + 2y = 5$ y $5x - 10y = -20$
$9x + 12y = 8$ y $6x + 8y = -1$
$5x - 5y = 20$ y $x + y = 7$
$8x -4y = 12$ y $4x - y = -15$

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