Graficar una Recta en se Forma General

En esta sección, aprenderás a graficar una recta en la forma estándar.

Scott y Brooke organizan una recaudación de fondos para su escuela. Planean hacer una cena con pasta, los boletos costaran $16 para los adultos y $8 para los niños. Su meta es recaudar $2000. Si venden solo boletos de adultos, ¿cuántos deben vender para cumplir la meta? Si venden solo de niños ¿cuántos deben vender para cumplir la meta?

Orientación

Cuando una recta está en la forma estándar, hay dos maneras distintas de graficarlas; la primera es cambiar la ecuación a la forma pendiente-intersección como se muestra en la sección anterior; la segunda es usar la forma estándar para encontrar las intersecciones $x$ y $y-$ de la recta y conectarlas. A continuación, algunos ejemplos.

Ejemplo A

Grafica $5x - 2y = -15$ .

Solución: Usemos el enfoque #1; cambia la ecuación a la forma pendiente-intersección.

$5x -2y &= -15\\\-2y &= -5x - 15\\\y &= \frac{5}{2}x + \frac{15}{2}$

La intersección $y-$ es $\left( 0, \frac{15}{2} \right)$ . Cambia la fracción impropia a decimales y aproxímala en el grafico, (0, 7.5). Luego usa triángulos. Si te quedas sin espacio "aumentando 5" y "corriendo 2", también puedes "caer 5" y "retroceder 2" para encontrar un punto en el otro lado de la intersección $y-$ .

Ejemplo B

Encuentra las intersecciones x e y de la ecuación $4x - 3x = 21$ .

Solución: Recuerda la sección Forma Estándar de la Recta Las otras coordenadas serán cero en estos puntos. Por lo tanto, para la intersección $x-$ reemplaza cero por $y$ y para la intersección $y-$ reemplaza cero por $x$ .

$4x - 3(0) &= 21 && 4(0) -3y = 21\\\4x &= 21 && \quad \ \ -3y = 21\\\x &= \frac{21}{4} \ or \ 5.25 && \qquad \quad \ y = -7$

Ejemplo C

Grafica la ecuación del Ejemplo B .

Solución: Usa el enfoque #2 mencionado anteriormente. Traza cada intersección del Ejemplo B en sus respectivos ejes y dibuja una recta para conectarlas.

Revisión del Problema Introductorio La ecuación, en la forma estándar, para la venta de pasta en la cena es $2000 = 16x + 8y$ . Si ellos venden solo boletos de adultos, buscamos la intersección x por lo que, dejamos y igual a cero.

$2000 = 16x + 8(0)\\\2000 = 16x\\\x = 125$

Por lo tanto, deben vender 125 boletos de adultos para alcanzar la meta.

Si venden solo boletos de niños, buscamos la intersección y por lo que dejamos x igual a cero.

$2000 = 16(0) + 8y\\\2000 = 8y\\\y = 250$

Por lo tanto, deben vender 250 boletos de niños para alcanzar la meta.

Práctica Guiada

1. Grafica $4x + 6y = 18$ cambiándola por la forma pendiente-intersección.

2. Grafica $5x - 3y = 30$ trazando las intersecciones.

Respuestas

1. Cambia $4x + 6y = 18$ a la forma pendiente-intersección resolviendo la incógnita para $y$ , luego grafícala.

$4x +6y &= 18\\\6y &= -4x + 18\\\y &= - \frac{2}{3}x + 3$

2. Sustituye cero por $x$ , y luego por $y$ y resuelve cada ecuación.

$5(0) - 3y &= 30 && 5x -3(0) = 30\\\-3y &= 30 && \qquad \quad 5x = 30\\\y &= -10 && \qquad \quad \ x = 6$

Ahora, traza cada una en sus respectivos ejes y dibuja una recta.

Práctica

Grafica las siguientes rectas cambiando la ecuación a la forma pendiente-intersección.

$-2x + y = 5$
$3x + 8y = 16$
$4x -2y = 10$
$6x + 5y = -20$
$9x - 6y = 24$
$x + 4y = -12$

Grafica las siguientes rectas luego de encontrar las intersecciones.

$2x + 3y = 12$
$-4x + 5y = 30$
$x - 2y = 8$
$7x + y = -7$
$6x + 10y = 15$
$4x -8y = -28$
$y=3$
Desarrolla ¿Qué método crees que es más fácil? ¿Por qué?
Desarrolla ¿Qué método usarías para graficar $x = -5$ ? ¿Por qué?

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