Definir Relaciones y Funciones

En esta sección, aprenderás que es una relación y una función y como pertenecen a las ecuaciones lineales.

En un viaje por la carretera, te detienes en una máquina expendedora a la hora de almuerzo. Cada artículo en la máquina tiene un código único que consiste en una letra y un número. No hay artículos iguales en la máquina. ¿Es esta máquina un ejemplo de una función?

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Mira este video y considera que el dominio y el recorrido son los valores de entrada y salida.

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Khan Academy: Relations and Functions

Orientación

Las funciones son una parte muy importantes de Algebra II. De aquí en adelante, estudiaremos diversos tipos de funciones: lineales, cuadráticas, cúbicas, polinómicas, racionales y trigonométricas.

Primero, cada conjunto de puntos se conocen como relación. Una relación es un conjunto agrupado de puntos que se relacionan o tienen algo en común entre sí. A continuación, se presentan algunos ejemplos de relaciones.

$&\{(3, -2), (-4, -5), (7, -2), (9, 1)\} && \{(-4, 1), (0, 3), (0, 0), (6, -7)\} && y = \sqrt {x + 6}\\\& y = -2x + 3 && x^2 + y^2 = 9 && 3y - x^2 + 4x = 15$

Siempre que hablamos de un conjunto de puntos, se usan los { }, o corchetes. En los ejemplos anteriores, hay dos conjuntos de puntos. Todos estos 6 conjuntos o ecuaciones son ejemplos de relaciones. Las relaciones, además, tienen una entrada y una salida. Por lo general, todas las entradas son los valores $x-$ (conocidos como dominio ), y todas las salidas son los valores $y-$ (conocidos como recorrido ). La entrada puede, además, ser considerada como la variante independiente y la salida seria la variable dependiente. Nuevamente, el valor $y-$ depende del valor de $x$ . Como en la ecuación de la recta, en el ejemplo anterior, si reemplazamos -1 por $x$ , entonces podemos determinar lo que es $y$ .

Una función es un tipo de relación más específica. Una función es una relación en la que hay, exactamente, una salida por cada entrada. .No puede ser una función si al menos una entrada tiene más de una salida. En términos simples, los valores $x-$ de una ecuación no se pueden repetir. Cuando una ecuación es una función, $y$ es, a veces, rescrita como $f(x)$ (y se lee como " $f$ de $x$ "). $f(x)$ es la notación de función. $f(x)$ será usada en los próximos capítulos.

Ejemplo A

Compara {(3, -2), (-4, -5), (7, -2), (9, 1)} y {(-4, 1), (0, 3), (0, 0), (6, -7)}. Una es una función y la otra no. ¿Cuál es la función?

Solución: Comprueba en cada conjunto si los valores $x-$ se repiten. En el segundo conjunto de puntos, el valor $x-$ el 0, se repite en el segundo y tercer punto. No hay una salida exacta para este valor. Esto significa que el segundo conjunto de puntos no es una función. El primero si lo es.

Ejemplo B

A continuación, hay tablas de entrada/salida. Determina cuál de las tablas es una función.

Solución: Recuerda la definición de función, “ no puede ser una función si al menos una entrada tiene más de una salida". a) tiene una entrada que tiene más de una salida; por lo tanto, no es una función. b) no tiene una entrada con dos salidas diferentes; por lo tanto, si es una función.

Otra forma de abordar estos problemas es escribir los puntos que son creados y luego determinar si los valores $x-$ se repiten. Por ejemplo, en la tabla a, los puntos serian {(1, 5), (2, -1), (3, 6), (3, 7)}. El 3 se repite, por lo que no es una función.

Podemos, además, aplicar esta idea a las ecuaciones. Cada ecuación es una relación, pero no todas son funciones. La manera más fácil de determinar si una ecuación es una función es realizar la Prueba de la Recta Vertical. esta te servirá para determinar si cualquier valor $x-$ se repite. Primero, traza o grafica la ecuación; luego dibuja varias rectas verticales, si el grafico de la ecuación toca cualquier otra recta vertical más de una vez, entonces no es una función. Esto funciona debido a que todas las rectas están en la forma $x = a$ , por lo que el valor $x-$ para cualquier recta vertical será siempre el mismo. La Prueba de la Recta Vertical nos dirá si cualquier valor $x-$ se repite dentro de una relación graficada.

Ejemplo C

Determina si la ecuación anterior, $x^2 + y^2 = 9$ representa una función.

Solución: El gráfico de $x^2 + y^2 = 9$ es un círculo con radio 3.

Al dibujar rectas verticales a través del círculo, podemos ver estas se tocan dos veces.

Esto demuestra que un círculo no es una función.

Sin embargo, si resolvemos la ecuación para $y$ , obtenemos $y = \pm\sqrt{-x^2 + 9}$ o $y = \sqrt{-x^2 + 9}$ y $y = -\sqrt{-x^2 + 9}$ . Estas ecuaciones son funciones por separado. Considéralas como la mitad superior e inferior del círculo.

Revisión del Problema Introductorio

Cada entrada (la combinación de una letra y un número) en la máquina expendedora da como resultado una y solo un articulo. Debido a que ningún artículo aparece más de una vez en esta máquina, esta es un ejemplo de función.

Vocabulario

Relación: Conjunto de puntos agrupados por { } o por una ecuación.

Función: Relación en la que hay exactamente una salida por cada entrada. La notación es $f(x)$ , dicha "la función de $x$ ” o “ $f$ de $x$ .”

Entrada: Valores que se reemplazan en una relación o función. Generalmente, los valores $x-$ .

Salida: Valores que son el resultado de una entrada al ser reemplazada en una relación o función. Generalmente, los valores $y-$ .

Variable Independiente: Entrada de una función.

Variable Dependiente: Salida de una función.

Prueba de la Recta Vertical: Prueba que determina si el grafico de una ecuación es una función. Requiere que se dibujen varias rectas verticales en un gráfico; si el gráfico toca cualquier recta vertical más de una vez, esta no es una función.

Práctica Guiada

Determina si las siguientes relaciones son funciones. Explica brevemente tu respuesta.

1. {(3, -5), (8, 1), (-3, -3), (5, 1)}

2. {(9, -2), (0, 0), (7, 4), (9, 3)}

Respuestas

1. Si, los valores $x-$ no se repiten.

2. No, hay dos 9s en los valores $x-$ .

3. Si, todas las salidas tienen diferentes entradas.

4. Si, este gráfico pasa la Prueba de la Recta Vertical. Ninguna recta vertical toca este gráfico.

Práctica

Determina si las siguientes relaciones son funciones. Explica brevemente tus respuestas.

{(3, 4), (5, 6), (7, 8), (9, 10)}
{(-9, -10), (4, -5), (6, -5), (4, -10)}
{(-5, -7), (0, 4), (-5, 3), (9, 4)}
{(3, -12), (6, -1), (-10, 5), (-2, 9)}

PISTA: Recuerda que con círculos abiertos, el punto no es incluido.

Para los problemas 17-19, determina si las siguientes rectas son funciones.

$y = -3x - 1$
$y = \frac{2}{3}x + 6$
$y = -2$
¿Es $x = 4$ una función? ¿Por qué si o por qué no?
De los problemas 17-20, ¿Qué se puede concluir de las ecuaciones lineales?

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