Encontrar el Dominio y el Rango de las Funciones

En esta sección, aprenderás a encontrar el dominio y el rango de ciertas funciones y conjuntos de puntos.

Acabas de conseguir un trabajo a medio tiempo en el centro comercial donde te pagan una base de $150 por semana más $5 por cada venta. Tu jefe te anima a hacer la mayor cantidad de ventas posibles pero te pagara un tope de $250 a la semana. ¿Cuál es el dominio y el rango de la función representada en esta situación?

Mira esto

Haz clic en la imagen para más información (requiere conexión a internet)

James Sousa: Ex 2: Determine the Domain and Range of the Graph of a Function

Orientación

La entrada y salida de una función se conocen también como dominio y rango. El dominio de una función es el conjunto de todos los valores de la entrada. El rango de una función es el conjunto de todos los valores de la salida. A veces, una función es un conjunto de puntos. En este caso, el dominio son todos los valores $x-$ y el rango son todos los valores $y-$ Las funciones pueden ser, además, ecuaciones lineales y polinomiales. En estos casos, debes graficar la función para comprobar donde está definida. Puedes notar que algunas funciones están definidas por "todos los números reales". Se usa el símbolo, $\mathbb{R}$ , para denotar el conjunto de todos los números reales.

Ejemplo A

Determina si {(9, 2), (7, -3), (4, -6), (-10, 4), (-2, -7)} es una función. Si es así, encuentra el dominio y el rango.

Solución: Primero, esta es una función porque los valores $x-$ no se repiten. Para encontrar el dominio, necesitamos hacer una lista de todos los valores $x-$ El rango es todos los valores $y-$ Generalmente, harías una lista de los valores en el orden en que aparecen. Pon atención a la notación.

$& x \in \{9, 7, 4, -10, -2\}\\\& y \in \{2, -3, -6, 4, -7\}$

El símbolo $\in$ significa "un elemento de/en". Los corchetes, { }, alrededor de los valores $x$ e $y-$ indican que cada uno es un conjunto. En otras palabras, diarías, , “ $x$ es un elemento en el conjunto 9, 7, 4, -10, y 2." Dependiendo del texto, podrías ver ":" (dos puntos) intercambiados con el símbolo " $\in$ " y los conjuntos sin { } alrededor.

Ejemplo B

Encuentra el dominio y el rango de $y = x - 3$ .

Solución: Debido a que esta es una ecuación lineal sabemos que es una función lineal, de acuerdo a la lección anterior. Todas las rectas continúan en ambas direcciones indefinidamente, como lo indican las flechas.

Nota que la recta es solida, no hay guiones ni quiebras, esto significa que es continua. Una función continua tiene valores para cada $x$ , o el dominio es todos los números reales. ¿Puedes reemplazar CUALQUIER valor para $x$ y obtener un valor $y-$ ? Si. Hay maneras de escribir esto.

Dominio : $x \in \mathbb{R}$ , $x \in (-\infty, \infty)$ , $x$ es todos los números reales.

En palabras, $x$ es un elemento en el conjunto de números reales.

La segunda opción, $(-\infty, \infty)$ , es un intervalo, no un punto. El paréntesis indica que la infinidad, $\infty$ , y la infinidad negativa, $-\infty$ , no están incluidas en el intervalo, pero si cada número entre estas. Para incluir un punto final en el intervalo, usa [ o ] .Esto se conoce como notación de intervalos.

El rango de esta función es también continuo. Por lo tanto, el rango es, además, el conjunto de todos los números reales. Podemos escribir el rango de la misma manera que escribimos el dominio, pero con $y$ en vez de $x$ .

Rango : $y \in \mathbb{R}$ o $y \in (-\infty, \infty)$

Ejemplo C

Encuentra el dominio y el rango de la siguiente función graficada.

Solución: Esta es una función, aunque no lo parezca. Este tipo de función se conoce como función seccionada porque reúne dos o más partes de otras funciones.

Para encontrar el dominio, mira los posibles valores $x-$ Nota que cuando $x$ está entre -2 y -1 no está definida o no hay valores $x-$ .

Matemáticamente, esta se escribiría: $x \in(-\infty, -2]\cup(-1, \infty)$ . El símbolo $\cup$ significa "unión." En palabras, el dominio es "todos los números reales excepto aquellos entre -2 y -1". Nota que -2 está incluido en el dominio porque el punto en -2 está cerrado. Para encontrar el rango, tenemos que mirar los posibles valores $y-$ Cambiando nuestro punto de vista para mirar el eje $y-$ a primera vista, parece que la función no está definida desde 1 a -3.

Sin embargo, si analizamos con mayor profundidad, la parte de la izquierda pasa a través de la zona amarilla, donde pensamos que la función no estaba definida. Esto significa que la función está definida entre 1 y -3; por lo tanto, por todos los números reales. Sin embargo, antes de -3, no hay valores $y-$ El rango es $y \in [-3, \infty)$ .

Revisión del problema introductorio La función representada por esta situación puede ser escrita como $y = 150 + 5x$ , donde x es el cantidad de ventas que haces. No puedes hacer una cantidad negativa de ventas, por lo que la cantidad mínima de ventas es cero. Para encontrar el número máximo de ventas antes de alcanzar el límite, debemos reemplazar $250 por y .

$250 = 150 + 5x\\\100 = 5x\\\x = 20$

Por lo tanto, el dominio de la función es $0 \le x \le 20$ .

Para encontrar el rango de la función, reemplaza los dos extremos del dominio en la ecuación. Donde x es igual a 0, y igual a 150 y donde x es igual a 20, y igual a 250.

Por lo tanto, el rango de la función es $150 \le y \le 250$ .

Vocabulario

Dominio: Entrada de una función.

Rango: Salida de una función.

Función Continua: Función sin cortes ni espacios.

Notación de Intervalos: Notación $[a, b)$ , donde una función está definida entre $a$ Y $b$ . Usa (o) para indicar que el valor final no está incluido y [o] para indicar que el valor final está incluido. La infinidad y la infinidad negativa nunca están incluidas en la notación de intervalos.

Función Seccionada: Función que reúne dos o más partes de otras funciones para crear una nueva función.

$\mathbb{R}:$ Conjunto de todos los números reales.

$\cup:$ Notación de unión. Esta notación se usa para unir partes de un dominio o rango.

$\in:$ Notación de elementos. En este texto, es usada para indicar que $x$ O $y$ es un "elemento" en el dominio o rango dado. Puede significar también que $x$ o $y$ están incluidas en el dominio o rango dado.

$\infty$ Y $-\infty:$ Los símbolos para infinidad e infinidad negativa, respectivamente.

Práctica Guiada

Encuentra el dominio y el rango de las siguientes funciones.

1. {(8, 3), (-4, 2), (-6, 1), (5, 7)}

2. $y = -\frac{1}{2}x + 4$

Respuestas

1. Dominio: $x \in \{8,-4,-6,5\}$ Rango: $y \in \{3,2,1,7\}$

2. Dominio: $x \in \mathbb{R}$ Rango: $y \in \mathbb{R}$

3. Esta es una función seccionada. Los valores $x-$ no están definidos desde -2 a 1. El rango parece no estar definido desde 1 a 7, pero las rectas continúan, llenando los espacios a medida que $x$ aumenta, positiva y negativamente.

Dominio: $x \in (-\infty,-2)\cup (1,\infty)$ Rango: $y \in \mathbb{R}$

4. Esta es una parábola, el grafica de una función cuadrática. Aunque pereciera que no, el final del gráfico continúa, infinitamente y $x$ sigue aumentando. En otras palabras, $x$ no está limitado a estar entre -9 y 5, es todos los números reales. El rango, sin embargo, parece empezar en -6 y ser todos los números reales que están sobre este valor.

Dominio: $x \in \mathbb{R}$ Rango: $y \in [-6,\infty)$

Práctica

Determina si los siguientes conjuntos de puntos son funciones. Si es así, indica el dominio y el rango.

{(5, 6), (-1, 5), (7, -3), (0, 9)}
{(9, 8), (-7, 8), (-7, 9), (8, 8)}
{(6, 2), (-5, 6), (-5, 2)}
{(-1, 2), (-6, 3), (10, 7), (8, 11)}
{(5, 7), (3, 7), (5, 8), (8, 1)}
{(-3, -4), (-5, -6), (1, 2), (2, -6)}