Probar Soluciones para Inecuaciones Lineales con Dos Variables

En esta sección, aprenderás a determinar si un par ordenado es una solución para una inecuación lineal con dos variables.

Un taxi cobra $2 por milla mas $0.20 por cada minute detenido en el tráfico. Si la boleta del taxi da como total menos de $10 pero más de $5, ¿cuál de las siguientes opciones pudo haber ocurrido en el viaje?

A. Recorriste 5 millas y estuviste en el tráfico por 3 minutos. B. Recorriste 2 millas y estuviste en el tráfico por 2 minutos. C. Recorriste 4 millas y estuviste 6 minutos en el tráfico.

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James Sousa: Ex: Determine if Ordered Pairs Satisfy a Linear Inequality

Orientación

Una inecuación lineal es muy similar a la ecuación de una recta, pero con un signo de desigualdad. Estas pueden ser escritas de una las siguientes formas:

$Ax + By < C && Ax + By > C && Ax + By \le C && Ax + By \ge C$

Nota que estas desigualdades son similares a la forma estándar de una recta. También podemos escribir una inecuación lineal en la forma pendiente-intersección.

$y < mx + b && y > mx + b && y \le mx + b && y \ge mx + b$

En todas estas formas generales $A, B, C, m$ , y $b$ representan exactamente lo mismo que para las rectas.

Un par ordenado, o punto, es una solución para una inecuación lineal si esta hace que la inecuación sea cierta cuando los valores son reemplazados por $x$ y $y$ .

Ejemplo A

¿Qué par ordenado es una solución para $4x - y > -12$ ?

a) (6, -5)

b) (-3, 0)

c) (-5, 4)

Solución: Reemplaza cada punto para comprobar si hace que la inecuación sea cierta.

$4(6) - (-5) & >-12\\\24 + 5 & > -12\\\29 & > -12$

$4(-3)-0 & >-12\\\-12 & \ \cancel{>} - 12$

$4(-5) - 4 & > -12\\\-20 -4 & > -12\\\-24 & \ \cancel{>} -12$

De los tres puntos, a) es la única en que la inecuación de mantiene cierta. b) no es cierta porque el signo de desigualdad es solo "mayor que" no "mayor que o igual a".

Ejemplo B

¿Es el punto (-9, 1) una solución para $y < 5x + 1$

Solución: Sustituye los valores del punto por x e y y comprueba si la inecuación se mantiene cierta.

$1<5 \cdot -9 +1 \\\1<-45+1 \\\1<-44$

Es falsa. Por lo tanto, (-9, 1) no es una solución.

Ejemplo C

Determina 3 soluciones para la inecuación $2x-7y > -12$

Solución: Selecciona los valores para x e y que hagan que la inecuación sea cierta. Si $x=2$ e $y=-2$ , la inecuación es cierta, $4+14 > -12$ . Otro punto fácil sería el origen. Probándolo, tenemos $0>-12$ . Por último, podemos seleccionar un punto en que y es cero y el valor de x es positivo. Por ejemplo, los puntos (1, 0), (2, 0), (3, 0), etc. funcionarían todos. Existe una infinidad de soluciones.

Revisión del Problema Introductorio Para resolver el problema del taxi; primero, debemos establecer la inecuación para representar la situación.

$5 < 2x + 0.2y < 10$ , donde x es equivalente a las millas recorridas e y equivalente al número de minutos atascado en el tráfico.

Ahora, probemos cada una de las posibilidades para comprobar si funcionan para la inecuación.

A: $2(5) + 0.2(3) = 10 + 0.6 = 10.6 > 10$ por lo tanto, esta posibilidad no pudo haber ocurrido. B: $2(2) + 0.2(2) = 4 + 0.4 = 4.4 <5$ por lo tanto, esta posibilidad no pudo haber ocurrido. C: $2(4) + 0.2(6) = 8 + 1.2 = 9.2$ ; $5 < 9.2 < 10$ por lo que, esta posibilidad pudo haber ocurrido.

Vocabulario

Inecuación lineal: Inecuación, generalmente con dos variables, de la forma $Ax +By < C, Ax + By > C, Ax +By \le C$ , o $Ax + By \ge C$ .

Solución: Par ordenado que funciona para no una inecuación dada.

Práctica Guiada

1. ¿De qué inecuación (-7, 1) es una solución?

a) $y < 2x - 1$

b) $4x -3y \ge 9$

c) $y > -4$

2. Haz una lista de tres posibles soluciones para $5x - y \le 3$ .

Respuestas

1. Reemplaza (-7, 1) para cada ecuación. Para la c), usa solo el valor $y-$ .

$1 &< 2(-7) -1\\\1 & \ \bcancel{<} - 15$

$4(-7) -3(1) &\ge 9\\\-28 -3 &\ge 9\\\-31 & \ \cancel{\ge} \ 9$

$1 > -4$

(-7, 1) es una solución para $y > -4$ .

2. Para encontrar una posible solución, reemplaza los valores para la inecuación. Hay una infinidad de soluciones. Aquí hay tres: (-1, 0), (-4, 3), y (1, 6).

$5(-1) -0 & \le 3 && 5(-4) -3 \le 3 && 5(1) -6 \le 3\\\-5 & \le 3 && \qquad -17 \le 3 && \quad \ \ -1 \le 3$

Práctica

Usando las siguientes inecuaciones, determina qué punto es una solución para cada una. Puede haber más de una solución correcta. Si ninguna es la solución, escribe ninguna se aplica .

A) $y \le \frac{2}{3}x - 5$

B) $5x +4y > 20$

C) $x - y \ge -5$

D) $y > -4x + 1$

(9, -1)
(0, 0)
(-1, 6)
(-3, -10)

Determina qué punto es una solución para la inecuación. Puede haber más de una repuesta correcta. Si ninguna es la solución, escribe ninguna se aplica. .

A) (-5, 1)

B) (4, 2)

C) (-12, -7)

D) (8, -9)

$2x -3y > 8$
$y \le -x -4$
$y \ge 6x + 7$
$8x +3y < -3$
¿Es (-6, -8) una solución para $y < \frac{1}{2}x -6$ ?
¿Es (10, 1) una solución para $y \ge -7x + 1$ ?

Para los problemas 11-15, encuentra tres soluciones para cada inecuación.

$5x -y >12$
$y \le -2x + 9$
$y \ge -4$
$3x + 4y < -5$
$x \le 7$

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