Graficar Inecuaciones con dos Variables

En esta sección, aprenderás a graficar una inecuación lineal en la plano x-y .

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Khan Academy: Graphing linear inequalities in two variables 2

Orientación

Graficar inecuaciones es muy similar a graficar rectas. Primero, debes cambiar la inecuación a la forma pendiente-intersección. En este punto, tendremos un par de diferencias. Si la inecuación está en la forma $y < mx + b$ o $y > mx + b$ , la recta será punteada o cortada porque no es parte de la solución. Si la recta está en la forma $y \le mx + b$ o $y \ge mx + b$ , la recta será sólida para indicar que está incluida en la solución.

La segunda diferencia es el sombreado. Debido a que estas son inecuaciones, no solo la recta es la solución. Dependiendo del signo, el sombreado será sobre o bajo la recta. Si la inecuación está en la forma $y < mx + b$ o $y \le mx + b$ , el sombreado estará bajo la recta, en referencia al eje $y-$ .

Si la inecuación está en la forma $y > mx + b$ o $y \ge mx + b$ , el sombreado será sobre la recta.

Ejemplo A

Grafica $4x -2y < 10$ .

Solución: Primero, cambia la inecuación a la forma pendiente-intersección. Recuerda que si tienes que dividir o multiplicar por un número negativo, debes invertir el signo de desigualdad.

Ahora, grafica la inecuación como si fuera una recta. Traza $y = 2x - 5$ como en la sección Graficar Rectas en la Forma Pendiente-Intersección Sin embargo, la recta será cortada por el signo "mayor que".

Ahora, tenemos que determinar el sombreado. Puedes usar uno de dos métodos para hacer esto. La primera forma es usar los gráficos y formas anteriores. La ecuación, en la forma pendiente-intersección, concuerda con la recta cortada y el sombreado. Por lo tanto, debemos sombrear sobre la recta cortada azul.

TEl método alternativo sería probar un par de puntos para comprobar si funcionan. Si un punto es cierto, entonces el sombreado será sobre ese lado de la recta. Si tomamos (-5, 0), la inecuación se divide $-20 < 10$ , el cual nos demuestra que el sombreado es correcto.

Ejemplo B

Grafica $y \le - \frac{2}{3}x + 6$ .

Solución: Esta inecuación ya está en la forma pendiente-intersección. Así que, grafica la recta, la cual será solida, y determina el sombreado. Al mirar los ejemplos anteriores de gráficos, esta inecuación debería lucir como la inecuación roja, por lo que debes sombrear bajo la recta.

Prueba un punto para asegurarte de que el sombreado este correcto. Un punto fácil en la zona sombreada es (0, 0). Reemplazándolo en la inecuación, sabemos que $0 \le 6$ , lo cual es cierto.

Ejemplo C

Determina la inecuación lineal que se grafica a continuación.

Solución: Encuentra la ecuación de la parte de la recta como lo hiciste en la lección Graficar la ecuación de una recta en la Forma Pendiente-intersección . Los puntos dados en la recta son (0, 8) y (6, 2) (a partir de los puntos dibujados en el gráfico). Esto significa que la intersección en $y-$ es (0, 8). Entonces, usando triángulos, caemos 6 y corremos 6 para obtener (6, 2). Esto significa que la pendiente es $\frac{-6}{6}$ o -1. Debido a que la recta punteada y el sombreado esta encima, nuestro signo será >. Juntando todo, la ecuación de la inecuación lineal es $y > -x + 8$ .

$^*$ Cuando buscamos la ecuación de una inecuación, como lo hicimos anteriormente, es más fácil hacerlo en la forma pendiente-intersección. Para determinar que signo de desigualdad usaremos, mira el sombreado en el eje $y-$ Si los valores sombreados en $y-$ aumentan, la recta será en la forma o $y > mx + b$ o $y \ge mx + b$ . Si disminuyen, la recta será en la forma $y < mx + b$ o $y \le mx + b$ .

Revisión del Problema Introductorio Para resolver el problema del taxi; primero, tenemos que establecer la inecuación para representar la situación.

$1.5x - 0.25y \le 10$

No puedes viajar un número negativo de millas o detenerte en el trafico una cantidad de minutes negativos. Por lo tanto, ambas x e y deben ser cero o valores positivos. Cuando ambas x e y son positivas, la gráfica se realiza en el mismo cuadrante. Grafica la función para comprobar la respuesta.

Práctica Guiada

1. Grafica $3x - 4y > 20$ .

2. Grafica $x < -1$ .

3. ¿Cuál es la ecuación de la inecuación lineal?

Respuestas

1. Primero, cambia la inecuación a la forma pendiente-intersección.

$3x -4y & > 20\\\-4y & > -3x + 20\\\y & < \frac{3}{4}x -5$

Ahora, tenemos que determinar el tipo de recta y el sombreado. Debido a que el signo es"<", la="" recta="" será="" cortada="" y="" tendremos="" que="" sombrear="" debajo="" de="" ésta.="">

Prueba un punto en la zona sombreada para asegurarte que estas en lo correcto. Si probamos (6, -6) en la inecuación original sabemos que $42 > 20$ , lo cual es cierto.

2. Para graficar esta recta en el plano $x-y$ recuerda que todas las rectas verticales tienen la forma $x = a$ . Por lo tanto, tendremos una recta vertical cortada en -1. Entonces, el sombreado estará a la izquierda de la recta cortada porque es ahí donde $x$ será menor que el valor de la recta.

3. Mirando la recta, la intersección en $y-$ es (0, 1). Usando un triangulo, para contar hasta el siguiente punto, caeremos 4, y retrocederemos 1. Esto significa que la pendiente es $\frac{-4}{-1} = 4$ . La recta es solida y el sombreado está encima, por lo que usaremos el signo $\ge$ La inecuación es $y \ge 4x + 1$ .

Práctica

Grafica las siguientes inecuaciones.

$y > x -5$
$3x -2y \ge 4$
$y < -3x + 8$
$x +4y \le 16$
$y < -2$
$y < - \frac{1}{2}x - 3$
$x \ge 6$
$8x +4y \ge -20$
$-4x + y \le 7$
$5x -3y \ge -24$
$y > 5x$
$y \le 0$

Determina la ecuación de las siguientes inecuaciones lineales.

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