Graficar Funciones Básicas de Valor Absoluto

En esta sección, aprenderás acerca de las propiedades básicas de las funciones de valor absoluto.

Durante las vacaciones, vas a bucear. Comienzas a un nivel del mar desconocido de cero pies o mayor. Luego, te sumerges a una profundidad de 90 pies bajo el nivel del mar. ¿Cuál es el vértice de la función de valor absoluto que representa la distancia aproximada entre tú y el nivel de mar luego de sumergirte?

Mira esto

Haz clic en la imagen para más información (requiere conexión a internet)

James Sousa: Ex: Graph an Absolute Value Function Using a Table of Values

Orientación

En la lección "Resolver Ecuaciones de Valor Absoluto", aprendimos a resolver y definir ecuaciones de valor absoluto. Ahora, llevaremos está idea un paso más adelante y graficaremos ecuaciones de valor absoluto.

Estudio: Graficar el Gráfico Guía de una Función de Valor Absoluto

1. Grafica $y = |x|$ . Dibuja una tabla para $x$ e $y$ , con los valores de $x-$ que vayan desde -3 a 3.

$x$	$\|x\|$	$y$
$-3$	$\|-3\|$	$3$
$-2$	$\|-2\|$	$2$
$-1$	$\|-1\|$	$1$
$0$	$\|0\|$	$0$
$1$	$\|1\|$	$1$
$2$	$\|2\|$	$2$
$3$	$\|3\|$	$3$

2. Recuerda que el valor absoluto de un número siempre es positivo. Ahora que tienes 7 puntos, dibuja cada uno y grafica la función.

3. Nota que esta función es muy similar a la función lineal, $y = x$ . Dibuja esta recta en el gráfico con un color diferente o con una recta segmentada.

4. Ahora, dobla el gráfico en el eje $x-$ ¿Qué notas?

En el estudio, deberías descubrir que cuando doblas el gráfico en el eje $x-$ la recta $y = x$ se convierte en la ecuación de valor absoluto, $y = |x|$ . Eso es porque el valor absoluto de un número no puede jamás ser cero; por lo tanto, el rango será siempre positivo. Llamamos $y = |x|$ el gráfico guía porque es el gráfico más básico de todas las funciones de valor absoluto. También compararemos otras funciones de valor absoluto con este gráfico. Todas las funciones de valor absoluto lineal tienen forma de "V".

En general, podemos definir el gráfico de $y = |x|$ como $y= \begin{cases} x; & x \ge 0\\\-x; & x < 0\end{cases}$ . A partir de esto, vemos que cada lado es el reflejo del otro sobre una recta vertical a través del vértice.

Ejemplo A

Usa una tabla para graficar $y = |x-3|$ . Determina el dominio y el rango.

Solución: En general, cuando uses una tabla para graficar una función, utiliza algunos números positivos y otros negativos al igual que el cero. Usa la función para ayudarte a determinar qué valores de $x-$ usar. Estableciendo el valor absoluto como cero, sabemos que $x = 3$ . Escoge tres valores por sobre y debajo de $x = 3$ y luego grafica.

$x$	$\|x-3\|$	$y$
0	$\|-3\|$	3
1	$\|-2\|$	2
2	$\|-1\|$	1
3	$\|0\|$	0
4	$\|1\|$	1
5	$\|2\|$	2
6	$\|3\|$	3

Nota que esta grafica se desplaza 3 lugares a la derecha cuando la comparamos con el gráfico guía. El dominio serán todos los números reales, $x \in \mathbb{R}$ , y el rango serán todos los números enteros positivos, incluyendo el cero, $y \in [0, \infty)$ .

Ejemplo B

Utiliza una tabla para graficar $y = |x|-5$ . Determina el dominio y el rango.

Solución: ¡Ten cuidado! El menos 5 no se encuentra dentro del valor absoluto. Por lo tanto, primero toma el valor absoluto de $x-$ y luego réstale 5. En casos como estos, el rango puede incluir números negativos.

$x$	$\|x\|-5$	$y$
$-3$	$\|-3\| - 5$	$-2$
$-2$	$\|-2\| - 5$	$-3$
$-1$	$\|-1\| - 5$	$-4$
$0$	$\|0\| - 5$	$-5$
$1$	$\|1\| - 5$	$-4$
$2$	$\|2\| - 5$	$-3$
$3$	$\|3\| - 5$	$-2$

El grafico se desplaza y lugares hacia abajo cuando lo comparamos con el gráfico guía. El dominio será todos los números reales, $x \in \mathbb{R}$ , y el rango serán todos los número reales mayores o iguales a, $y \in [-5, \infty)$ .

En estos tres gráficos de valores absolutos, podrás haber notado que existe un punto mínimo Este punto se llama vértice. Por ejemplo, en el Ejemplo B, el vértice es (0, -5). El vértice también puede ser el punto máximo. Mira el siguiente ejemplo.

Ejemplo C

Usa una tabla para graficar $y = -|x-1|+2$ . Determina el vértice, el dominio y el rango.

Solución: Determina que número hace la ecuación de valor absoluta igual a cero, $x =1$ . Luego, para hacer tu tabla de valores, elige un par de valores por sobre y debajo de $x = 1$ .

$x$	$-\|x-1\|+2$	$y$
-2	$-\|-2 - 1\| + 2$	-1
-1	$-\|-1 - 1\| + 2$	0
0	$-\|0 - 1\| + 2$	1
1	$-\|1 - 1\| + 2$	2
2	$-\|2 - 1\| + 2$	1
3	$-\|3 - 1\| + 2$	0
4	$-\|4 - 1\| + 2$	-1

El vértice es (1, 2) y en este caso, es el valor máximo. El dominio es $x \in \mathbb{R}$ , y el rango es $y \in (-\infty, 2]$ .

Revisión del Problema Introductorio La función de valor absoluto que representa esta situación es $y = |x-90|$ , donde x es tu nivel del mar antes de sumergirte. Graficando esta función, puedes ver que el vértice está en el punto (90, 0).

Vocabulario

Valor Absoluto: La distancia que existe desde cero hasta un número. El valor absoluto siempre es positivo.

Gráfico Guía: La forma más simple de un tipo de función en particular, todas las demás funciones de este tipo son, usualmente, comparadas con la gráfica guía.

Vértice: El punto más alto o más bajo de un gráfica.

Mínimo: El punto más bajo de una gráfica. El punto mínimo dará como resultado el valor más pequeño del rango.

Máximo: El punto más alto de una gráfica. El punto máximo dará como resultado el valor más grande del rango.

Práctica Guiada

Grafica las siguientes funciones usando una tabla. Determina el vértice, el dominio y el rango para cada función.

1. $y = -|x-5|$

2. $y = |x+4|-2$

Respuestas

1. Determina que número hace la ecuación de valor absoluta igual a cero, $x =5$ . Luego, para hacer tu tabla de valores, elige un par de valores por sobre y debajo de $x = 5$ .

$x$	$-\|x-5\|$	$y$
2	$-\|2 - 5\|$	-3
3	$-\|3 - 5\|$	-2
-4	$-\|4 - 5\|$	-1
5	$-\|5 - 5\|$	0
6	$-\|6 - 5\|$	-1
7	$-\|7 - 5\|$	-2
8	$-\|8 - 5\|$	-3

El vértice es (5, 0) en este caso, es el valor máximo. El dominio es $x \in \mathbb{R}$ , y el rango es $y \in (-\infty, 0]$ .

2. Determina que hace que el valor dentro de la ecuación de valor absoluto sea cero, $x =-4$ . Luego, para hacer la tabla de valores, escoge un par de valores en cualquier lado de $x = -4$ .

$x$	$\|x+4\|-2$	$y$
$-1$	$\|-1 + 4\| - 2$	1
-2	$\|-2 + 4\| - 2$	0
-3	$\|-3 + 4\| - 2$	-1
-4	$\|-4 + 4\| - 2$	-2
-5	$\|-5 + 4\| - 2$	-1
-6	$\|-6 + 4\| - 2$	0
-7	$\|-7 + 4\| - 2$	1

El vértice es (-4, -2) y en este caso, es el calor mínimo. El dominio es $x \in \mathbb{R}$ , y el rango es $y \in [-2, \infty)$ .

Práctica

Grafica las siguientes funciones usando una tabla. Determina el vértice, el dominio y el rango para cada una de ellas.

$y = |x+6|$
$y = |x-4|$
$y = -|x|+3$
$y = |x|-2$
$y = -|x+3|+7$
$y = |x-1|-6$
$y = 2|x|$
$y = -3|x|$
$y = \frac{1}{3}|x|$

Utiliza los ejercicios del 1 al 9 para completar los espacios en blanco.

Si hay un signo negativo en frente del valor absoluto, el gráfico es ________________ (Cuando lo comparamos con el gráfico guía).
Si la ecuación es $y = |x-h|+k$ , el vértice será ___________________.
El dominio de una función de valor absoluto es siempre ____________________________.
Para $y = a|x|$ , si $a > 1$ , entonces el gráfico será ___________________ que el grafico guía.
Para $y = a|x|$ , si $0 < a < 1$ , entonces el gráfico será ___________________ que el grafico guía.
Sin hacer una tabla, ¿cuál es el vértice de $y = |x-9|+7$ ?

Prev Next

$x$	$\|x-3\|$	$y$
0	$\|-3\|$	3
1	$\|-2\|$	2
2	$\|-1\|$	1
3	$\|0\|$	0
4	$\|1\|$	1
5	$\|2\|$	2
6	$\|3\|$	3

$x$	$-\|x-1\|+2$	$y$
-2	$-\|-2 - 1\| + 2$	-1
-1	$-\|-1 - 1\| + 2$	0
0	$-\|0 - 1\| + 2$	1
1	$-\|1 - 1\| + 2$	2
2	$-\|2 - 1\| + 2$	1
3	$-\|3 - 1\| + 2$	0
4	$-\|4 - 1\| + 2$	-1