Usar la Ecuación General de Valor Absoluto y la Calculadora Gráfica

En esta sección, aprenderás a graficar funciones más complicadas de valor absoluto y a usar la calculadora gráfica.

La señora Patel asigna la función de valor absoluto $y = -|x + 3| - 2$ . Les pide a sus alumnos encontrar el vértice.

"Es muy difícil", exclama George. "Necesitaré una calculadora."

"No, no lo es," dice Sarai. "Te puedo decir cuál es el vértice sin ni siquiera hacer un grafico a mano".

¿Quién está en lo correcto y cuál es el vértice?

Orientación

En el conjunto de problemas de la lección anterior, presentamos la ecuación general de la función de un valor absoluto. En esta sección se definirá formalmente.

Forma General de la Función de un Valor Absoluto: Para cualquier función de valor absoluto, la forma general es $y = a|x-h|+k$ , donde $a$ controla el ancho del "V" y $(h, k)$ es el vértice.

Probablemente hiciste estas conexiones en el conjunto de problemas de la sección anterior. Ahora, aplicaremos todo.

Ejemplo A

Grafica $y = |x|$ , $y = \frac{1}{2}|x|$ , e $y = 2|x|$ en el mismo conjunto de ejes. Compara las tres funciones.

Solución: Puedes hacer una tabla para las tres funciones. Sin embargo, ahora que sabemos más sobre las funciones de valor absoluto, usemos algunos modelos. Primero, mira el vértice. Nada se suma ni se resta, por lo que el vértice para las tres funciones será (0, 0). Segundo, mira la “ $a$ .” Para una función de valor absoluto, la podemos considerar como la pendiente. Volviendo a la definición de gráfico guía, cada función puede ser rescrita como:

$y = \begin{cases}x;x \ge 0\\\ -x;x < 0\end{cases} \ \text{(blue)}, \quad y = \begin{cases} \frac{1}{2}x;x \ge 0\\\ - \frac{1}{2}x;x < 0\end{cases} \text{(red), and} \ y = \begin{cases} 2x;x \ge 0\\\ -2x;x < 0\end{cases} \ \text{(green)}$

Comparando las tres, podemos ver que si la pendiente está entre 1 y 0, la apertura es más ancha que la del gráfico guía. Si la pendiente, o $a$ , es mayor que 1, entonces la apertura es más angosta. La cantidad de aperturas entre los dos lados de una función de valor absoluto (y de otras funciones) se conoce como la amplitud.

Ahora, además de dibujar una tabla, podemos usar la forma general de la ecuación de valor absoluto y el valor de $a$ para encontrar la forma de $V$ .

Ejemplo B

Sin hacer una tabla, haz un bosquejo del gráfico de $y = -|x-6|-2$ .

Solución: Primero, determina el vértice. De la forma general, sabemos que será (6, -2). Nota que el $x-$ signo opuesto de la variable lo que está en la ecuación; la variable $y-$ es la misma. Este es el punto de inicio. Entonces, tenemos un signo negativo en frente de un valor absoluto, Esto significa que la $V$ será abierta hacia abajo. Finalmente, no hay un término $a$ por lo que podemos asumir que es 1, Lo que significa que la pendiente de cada lado de la $V$ será 1 y -1.

Por último, podemos usar una calculadora gráfica para ayudarnos a graficar las ecuaciones de valor absoluto. Las direcciones dadas aquí pertenecen a la serie TI-83/84; sin embargo, todas las calculadoras graficas deben ser capaces de graficar funciones de valor absoluto.

Ejemplo C

Usa la calculadora gráfica y grafica $y = |4x+1|-2$ . Encuentra el vértice, el dominio y el rango.

Solución: Para la TI-83/84

1. Presiona el botón $Y=$ .

2. Borra cualquier función anterior (presiona CLEAR) y elimina cualquier trazado anterior (selecciona Plot 1 y presiona ENTER).

3. Presiona el botón MATH, busca NUM y marca 1:abs (Presiona ENTER)

4. Escribe en la parte restante de la función. Así:

5. Presiona GRAPH. I la pantalla está apagada, presiona ZOOM, baja hasta 6:ZStandard , y presiona ENTER.

El gráfico luce como a continuación:

Como puedes ver, a partir del gráfico, el vértice no es (-1, -2). La coordenada $y-$ es -2, pero el 4 dentro del valor absoluto afecta la coordenada $x-$ Establece lo que está dentro del valor absoluto igual a cero para resolver la coordenada $x-$ del vértice.

$4x+1 &= 0\\\4x &= -1\\\x &= -\frac{1}{4}$

El vértice es $\left( -\frac{1}{4}, -2\right)$ . A partir de la lección anterior, sabemos que el dominio es todos los números reales. El rango será cualquier número mayor que incluido -2. En esta función, el término “ $a$ ” estaba dentro del valor absoluto. Cuando esto sucede, este siempre afectara la coordinada $x-$ del vértice.

Revisión del Problema Introductorio Sarai está en lo correcto. La función de un valor absoluto se escribe en la forma general, por lo que no se necesita una calculadora. El vértice es (-3, -2).

Vocabulario

Forma General de la Función de un Valor Absoluto: Para cualquier función de valor absoluto, la forma general es $y = a|x-h|+k$ , donde $a$ controla el ancho de la " $V$ ” and $(h, k)$ es el vértice.

Amplitud: El ancho o angostura de una función con dos lados simétricos.

Práctica Guiada

1. Grafica $y = 3|x+4|-5$ sin una calculadora gráfica o hacer una tabla. Encuentra el vértice, dominio y el rango de la función.

2. Grafica $y = -2|x-5|+1$ usando una calculadora gráfica.

Respuestas

1. Primero, usa la forma general del vértice, (-4, -5). Luego, usa $a$ para determinar la amplitud de la función. $a = 3$ , así nos moveremos hacia arriba 3 y sobre 1 en ambas direcciones para encontrar los puntos en cualquier lado del vértice.

El dominio es todos los números reales y el rango es todos los números reales mayores que incluido -5.

Dominio: $x \in \mathbb{R}$

Rango: $y \in [-5, \infty)$

2. Usando los pasos del Ejemplo C, la función luce así:

Práctica

Grafica $y = 3|x|$ , $y = -3|x|$ , e $y = |-3x|$ en el mismo conjunto de ejes. Compara los gráficos.
Grafica $y = \frac{1}{4}|x+1|$ , e $y = \frac{1}{4}|x|+1$ en el mismo conjunto de ejes. Compara los gráficos.
Sin graficar, ¿crees que $y = 2|x|,y = |2x|,$ e $y = |-2x|$ tendrán el mismo gráfico? ¿Por qué si o por qué no?
Sabemos que el dominio de todas las funciones de valor absoluto es todos los números reales. ¿Cuál sería la regla general para el rango?

Usa la forma general y el modelo de reconocimiento para graficar las siguientes funciones. Determina el vértice, el dominio y el rango. ¡Sin usar calculadoras gráficas!

$y = |x-2|+5$
$y = -2|x+3|$
$y = \frac{1}{3}|x|+4$
$y = 2|x+1|-2$
$y = - \frac{1}{2}|x-7|$
$y = -|x-8|+6$

Usa una calculadora gráfica para graficar las siguientes funciones. Haz un bosquejo del gráfico en tu cuaderno. Identifica el vértice, el dominio y el rango.

$y = -4|2x+1|$
$y = \frac{2}{3}|x-4|+ \frac{1}{2}$
$y = \frac{4}{3}|2x-3|- \frac{7}{2}$

Calculadora Gráfica Usa tu calculadora gráfica para responder las preguntas 14-16.

Gráfica $y = x^2 -4$ en tu calculadora. Haz un bosquejo del gráfico y determina el dominio y el rango.
Gráfica $y = |x^2 -4|$ en tu calculadora. Haz un bosquejo del gráfico y determina el dominio y el rango.
¿Cómo se comparan los dos gráficos? ¿Cómo se diferencian? ¿Qué le puedes hacer al primer gráfico para obtener el segundo?

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