Trazar un Diagrama de Dispersión y Encontrar la Ecuación más Apropiada

En esta sección, aprenderás a encontrar la ecuación lineal más apropiada a un conjunto de datos o puntos.

Los requerimientos calóricos para los hombres se muestran en la siguiente tabla. ¿Cuál tipo de correlación se desprende de la información?

Requerimientos Calóricos (Hombres), 1-59 años

Variable	Valores
Rango de Edad, $x$	1-3	4-6	7-10	11-14	15-18	19-59
Calorías necesarias, $y$	1230	1715	1970	2220	2755	2550

La edad es medida en años. Fuente: www.fatfreekitchen.com

Orientación

Un diagrama de dispersión es un conjunto de puntos que representan información. Graficamos estos puntos y tratamos de encontrar ecuaciones que mejor se aproximen a su relación. Debido a que la información no es siempre perfecta, no todos los puntos servirán para la recta. La recta más apropiada es la recta más cercana a todos los puntos de la información. Puede ser usada para aproximar datos dentro del conjunto o fuera de este. Los diagramas de dispersión casi siempre representan una situación de la vida real.

Los diagramas de dispersión pueden tener correlación positiva si los valores de $x$ y $y$ tienden a aumentar juntos. Pueden tener correlación negativa si $y$ tiende a disminuir mientras que tiende a aumentar. Y si los puntos no tienen ningún tipo de modelo lineal, entonces la información no tendrá correlación. Piensa en los tipos de correlaciones relacionadas con la pendiente de la recta más apropiada para los datos.

Ejemplo A

Describe el tipo de correlación mostrada en el diagrama de dispersión. Fundamenta tu respuesta.

Fuente: money.cnn.com

Solución: Esta es una correlación negativa. A medida que pasan los años, las ventas disminuyen. Esta situación podría deberse a la rápida expansión de la música online/digital y pirata.

Ejemplo B

Encuentra la ecuación lineal más apropiada para el conjunto de datos anterior.

Solución: Primero, puede ser muy difícil determinar la ecuación "apropiada" para un conjunto de puntos. En general, puedes usar los siguientes pasos para ayudarte.

Dibuja el diagrama de dispersión en un gráfico.
Dibuja la recta que se encuentre más cercana a los datos. Intenta tener la misma cantidad de puntos por encima y por debajo de la recta.
Escoge dos puntos en la recta y estima sus coordenadas. Estos puntos no deben ser parte del conjunto original de datos.
Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos del Paso 3.

Utilicemos estos pasos en el siguiente gráfico. Ya tenemos dibujado el diagrama de dispersión, por lo tanto, tracemos un par de rectas para encontrar la más apropiada para el conjunto de datos.

De las rectas en el gráfico, pareciera que la morada podría ser la mejor opción. La recta roja nos sirve desde 2006 hasta 2009, pero al inicio de esta todos los datos se encuentran sobre ella. La recta verde también se encuentra muy abajo de los primeros datos. Solo la recta morada atraviesa los primeros datos y luego separa los últimos años. Recuerda, es muy importante tener el mismo número de puntos por debajo y por sobre la recta.

Usando la recta morada, necesitamos encontrar dos puntos en ella. El segundo punto está situado perfectamente sobre la recta (2000, 14). Ten cuidado! Nuestro gráfico comienza en el año 1999, por lo tanto, este año será considerado como cero. Luego, (2000, 14) es realmente (1, 14). La recta también cruza perfectamente el punto (2007, 10) o (8, 10). Ahora, encontremos la pendiente y la intersección con el eje $y-$ .

$m = \frac{14-10}{1-8} = - \frac{4}{7}$

$y &= - \frac{4}{7}x+b\\\14 &= - \frac{4}{7}(1)+b \\\14 &= -0.57+b\\\14.57 &= b$

La ecuación más apropiada es $y = - \frac{4}{7}x+14.57$ .

Sin embargo, la ecuación anterior asume que $x$ comienza en el cero. En realidad, comenzamos con 1999, por lo tanto, nuestra ecuación final es $y = - \frac{4}{7}(x-1999)+14.57$ .

Ejemplo C

Utilizando la recta más apropiada del ejercicio anterior, ¿Cómo se espera que sean las ventas para el año 2010?

Solución: En este ejemplo, usamos la recta más apropiada para estimar datos. Reemplaza la $x$ y encuentra el valor de $y$ .

$y &= - \frac{4}{7}(2010-1999)+14.57\\\y &= - \frac{4}{7}(11)+14.57\\\y &=8.3$

Se estima que la industria de la música ganará $8.3 billones en ventas de música el año 2010.

Revisión del Problema Introductorio Si dibujas el diagrama de dispersión de los datos, verás que los valores de x e y tienden a aumentar juntos. Por lo tanto, los datos muestran una correlación positiva. Esto significa que mientras los años aumentan, también lo hacen los requerimientos calóricos.

Vocabulario

Diagrama de Precisión: Conjunto de datos que son dibujados en un gráfico para ver si existe alguna relación entre ellos.

Recta más Apropiada: Ecuación lineal que mejor se aproxima al diagrama de dispersión.

Práctica Guiada

Usa la siguiente tabla para responder las siguientes preguntas.

Sueño Requerido, 0-3 años

Edad, $x$	1	3	6	9	12	18	24	36
Sueño, $y$	16	15	14.25	14	13.75	13.5	13	12

La edad se mide en meses y el sueño se mide en horas. Fuente: www.babycenter.com

1. Dibuja un diagrama de dispersión con la edad a través del eje $x-$ y las horas de sueño a lo largo del eje $y-$ Cuenta de 3 en 3 para los valores de $x-$ de 2 en 2 para los valores de $y-$ .

2. Usando los pasos del Ejemplo B, encuentra la recta más apropiada.

3. Determina la cantidad de sueño necesario para un niño de $2 \frac{1}{2}$ años y para uno de 5 años.

Respuestas

1. Diagrama de dispersión.

2. Dos puntos que parecieran estar sobre la recta roja son (3, 15) y (24, 13).

$m &= \frac{15-13}{3-24} = - \frac{2}{21}\\\15 &= - \frac{2}{21}(3)+b\\\15 &= -0.29+b\\\15.29 &= b$

La ecuación de la recta es $y = - \frac{2}{21}x+15.29$ .

3. Primero, necesitas convertir la edad a meses para que concuerden con las unidades usadas en el gráfico. Un niño de 2.5 años, 30 meses, necesita dormir $y = - \frac{2}{21}(30)+15.29 \approx 12.4$ horas. Un niño de 5 años, 60 meses, necesita dormir $y = - \frac{2}{21}(60)+15.29 \approx 9.6$ horas.

Práctica

Determina si el siguiente diagrama de dispersión tiene correlación positiva, negativa o no tiene ninguna correlación.

Grafica cada diagrama de dispersión y luego determina la recta más apropiada.

$x$	1	2	3	5	7	8
$y$	1	3	4	3	6	7

$x$	10	9	7	6	5	2
$y$	5	6	4	3	3	2

Usa los siguientes datos para responder las preguntas desde la 6 a la 8.

El precio del stock de Apple entre Oct 2009 - Sept 2011 Fuente: Yahoo! Finance

10/09	11/09	12/09	1/10	2/10	3/10	4/10	5/10	6/10	7/10	8/10	9/10
$181	$189	$198	$214	$195	$208	$236	$249	$266	$248	$261	$258
10/10	11/10	12/10	1/11	2/11	3/11	4/11	5/11	6/11	7/11	8/11	9/11
$282	$309	$316	$331	$345	$352	$344	$349	$346	$349	$389	$379

Dibuja el diagrama de dispersión para la tabla anterior. Utiliza el eje $x-$ para los meses y el eje $y-$ para el precio.
Encuentra la ecuación de la recta más apropiada.
De acuerdo con tu ecuación, ¿Cuál sería el precio estimado del stock para Enero del año 2012?

Usa los siguientes datos para responder las preguntas de la 9 a la 11.

Cantidad total de jonrones realizados en la Major League Baseball, 2000-2010 Fuente: www.baseball-almanac.com

2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008	2009	2010
5693	5458	5059	5207	5451	5017	5386	4957	4878	4655	4613

Dibuja el diagrama de dispersión para la tabla anterior. Utiliza el eje $x-$ para los años y el eje $y-$ para el número de jonrones.
Encuentra ecuación lineal más apropiada.
De acuerdo a tu ecuación, ¿Cuántos jonrones en total se deberían hacer el año 2011?

Prev Next