Revisar una Solución para un Sistema Lineal

En esta sección aprenderás a determinar si un par ordenado es la solución de un sistema de ecuaciones lineales dado.

El Club de Excursionismo está comprando frutos secos para hacer un surtido para una recaudación de fondos. Tres libras de almendras y dos libras de castañas tienen un costo total de 36 . Tres libras de castañas y dos libras de almendras tienen un costo total de 39 . ¿Es ( a , c ) = ($6, $9) la solución a este sistema?

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James Sousa: Ex: Identify the Solution to a System of Equations Given a Graph, Then Verify

*Este video solo está disponible en inglés

Orientación

Un sistema de ecuaciones lineales consta de ecuaciones de dos rectas. La solución a estos sistemas es la intersección de ambas rectas. En otras palabras, la solución es la intersección de ambas rectas. Para verificar si un punto es la solución a un sistema, debemos determinar si la intersección es la solución (Ejemplo A) o si el punto se encuentra en ambas rectas algebraicamente (Ejemplo B).

Ejemplo A

¿Es el punto (5, -2) la solución del sistema de ecuaciones lineales que se presenta en el siguiente gráfico?

Solución: Sí, las rectas intersecan en el punto (5, -2), por ende el punto es la solución del sistema.

Ejemplo B

¿Es el punto (-3, 4) la solución al sistema dado a continuación?

$2x-3y &= -18\\\x+2y &= 6$

Solución: No, (-3, 4) no es la solución. Si reemplazamos $x$ e $y$ en cada ecuación con -3 y 4 respectivamente, solo la primera ecuación es cierta. El punto no está en la segunda recta; por lo tanto, no es la solución del sistema.

Ejemplo C

Encuentra la solución del siguiente sistema.

$x &= 5 \\\3x-2y &= 25$

Solución: Debido a que la primera recta del sistema es vertical, ya conocemos el valor de x en la solución, $x=5$ . Reemplazando x en la segunda ecuación, podemos obtener el valor de y .

$3(5)-2y &= 25 \\\15-2y &= 25 \\\-2y &= 10 \\\y &= -5$

La solución es (5, -5). Revisa tu solución para asegurar que este correcta.

$3(5)-2(-5) &= 25 \\\15 + 10 &= 25$

También puedes resolver sistemas con una recta horizontal de la siguiente manera.

Revisión del Problema Introductorio El sistema de ecuaciones lineales representado en esta situación es:

$3a + 2c &= 36\\\3c + 2a &= 39$

Si reemplazamos a por $6 y c por $9, ambas ecuaciones son ciertas. Por lo tanto ($6, $9) es la solución al sistema.

Práctica Guiada

1. ¿Es el punto (-2, 1) la solución al sistema dado a continuación?

2. Verifica algebraicamente si (6, -1) es la solución al siguiente sistema.

$3x-4y &= 22\\\2x+5y &= 7$

3. Explica por qué el punto (3, 7) es la solución al sistema:

$y &= 7\\\x &= 3$

Respuestas

1. No, (-2, 1) no es la solución. La solución es la intersección de las dos rectas. En este caso, es el punto (-3, 1).

2. Al reemplazar $x$ e $y$ en ambas ecuaciones con 6 y -1 respectivamente, podemos verificar que el punto (6, -1) satisface ambas ecuaciones y por lo tanto se encuentra en ambas rectas.

$3(6)-4(-1) &= 18+4=22\\\2(6)+5(-1) &= 12-5=7$

3. La recta horizontal es la recta que contiene todo los puntos en los que $y-$ corresponde a la coordenada 7. La recta vertical es la recta que contiene todos los puntos en los que $x-$ corresponde a la coordenada 3. Por lo tanto, el punto (3, 7) se encuentra en ambas rectas y es la solución al sistema.

Práctica

Elije la solución correcta a los sistemas dados.

(1, 2)

(2, 1)

(-1, 2)

(-1, -2)

Determina si cada par ordenado representa la solución al sistema dado.

$4x+3y &= 12\\\5x+2y &= 1; \ (-3, 8)$

$3x-y &= 17\\\2x+3y &= 5; \ (5, -2)$

$7x-9y &= 7\\\x+y &= 1; \ (1, 0)$

$x+y &= -4\\\x-y &= 4; \ (5, -9)$

$x &= 11\\\y &= 10; \ (11, 10)$

$x+3y &= 0\\\y &= -5; \ (15, -5)$

Encuentra la solución para cada uno de los siguientes sistemas.

$x &= -2\\\y &= 4$

$y &= -1\\\4x - y &= 13$

$x &= 7\\\y &= 6$

$x &= 2\\\8x+3y &= -11$

Describe la solución de un sistema de ecuaciones lineales.
¿Se te ocurre por qué un sistema lineal de dos ecuaciones no tendría una solución única?