Resolver Sistemas con Una Solución Usando Gráficos

En esta sección aprenderás a graficar rectas para identificar la única solución a un sistema de ecuaciones lineales.

Dos monedas uno más cuatro monedas dos son igual a 70 centavos. Una moneda uno más cinco monedas dos son igual a 50 centavos. ¿Cuál es el valor de cada moneda?

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James Sousa: Ex 1: Solve a System of Equations by Graphing

*Este video solo está disponible en inglés

Orientación

En esta lección usaremos diversas técnicas para graficar los pares de rectas en sistemas de ecuaciones lineales con el fin de identificar el punto de intersección o la solución al sistema. Es importante usar papel cuadriculado y una regla para trazar las rectas con precisión. Además, se recomienda revisar tus respuestas algebraicamente como se describió en la lección anterior.

Ejemplo A

Grafica y resuelve el siguiente sistema:

$y &= -x+1\\\y &= \frac{1}{2}x-2$

Solución:

Debido a que ambas ecuaciones están escritas en forma pendiente-intersección, podemos graficarlas fácilmente reemplazando el punto de intersección de $y-$ y usando la pendiente para ubicar los otros puntos en cada recta.

En la ecuación, $y=-x+1$ , graficada en ${\color{blue}\mathbf{blue}}$ , $y-$ intercepta en 1 y tiene una pendiente $- \frac{1}{1}$ .

En la ecuación, $y=\frac{1}{2}x-2$ , graficada en ${\color{red}\mathbf{red}}$ , $y-$ intercepta en -2 y tiene una pendiente $\frac{1}{2}$ .

Cuando ambas rectas han sido graficadas, se puede observar que la intersección es el punto (2, -1).

Revisa esta solución algebraicamente sustituyendo el punto en ambas ecuaciones.

Ecuación 1: $y=-x+1$ , la sustitución da como resultado: $(-1)=(-2)+1.$

Ecuación 2: $y=\frac{1}{2}x-2$ , la sustitución da como resultado: $-1=\frac{1}{2}(2)-2.$

(2, -1) es la solución al sistema.

Ejemplo B

Grafica y resuelve el siguiente sistema:

$3x+2y &= 6\\\y &= -\frac{1}{2}x-1$

Solución: Este ejemplo es bastante similar al primer ejemplo. La única diferencia es que la ecuación 1 no tiene la forma pendiente-intersección. Podemos despejar $y$ para darle la forma pendiente-intersección o podemos usar los interceptos para graficar la ecuación. Para revisar usando los interceptos para graficar rectas, usaremos el segundo método.

Recuerda que el intercepto en $x-$ se puede encontrar al reemplazar $y$ por cero y despejar $x$ :

$3x+2(0) &= 6\\\3x &= 6\\\x &=2$

De igual manera, el intercepto en $y-$ se puede encontrar al reemplazar $x$ por cero y despejar $y$ :

$3(0)+2y &= 6\\\2y &= 6\\\y &= 3$

Tenemos dos puntos, (2, 0) y (0, 3), para trazar y graficar esta recta La ecuación 2 se puede graficar usando el intercepto en $y-$ y la pendiente como se muestra en el Ejemplo A.

Cuando ambas rectas han sido graficadas, se puede observar que la intersección es el punto (4, -3).

Por último, revisa esta solución sustituyendo el punto en cada una de las ecuaciones.

Ecuación 1: $3x+2y =6; 3(4)+2(-3)=12-6=6$

Ecuación 2: $y = - \frac{1}{2}x-1; -3= - \frac{1}{2}(4)-1$

Ejemplo C

En este ejemplo usaremos un instrumento para resolver el sistema:

$2x-3y &=10\\\y &= - \frac{2}{3}x+4$

Este proceso puede variar dependiendo del instrumento que utilices. Todas las instrucciones dadas se pueden aplicar en las calculadoras TI-83 o 84 (plus, silver, etc).

Solución: El primer paso es graficar estas ecuaciones en la calculadora. Esta primera ecuación debe ser modificada a la forma pendiente-intersección para ingresarla en la calculadora.

$2x-3y &= 10\\\-3y &= -2x+10\\\y &=\frac{-2x+10}{-3}\\\y &=\frac{2}{3}x-\frac{10}{3}$

El grafico obtenido al usar la calculadora debería verse de la siguiente manera:

La primera ecuación, $y=\frac{2}{3}x-\frac{10}{3}$ , esta graficada en ${\color{blue}\mathbf{blue}}$ . La primera ecuación, $y=-\frac{2}{3}x+4$ , esta graficada en ${\color{red}\mathbf{red}}$ .

Esta solución no coincide con la cuadrícula, por lo que es difícil de observar. Con el instrumento podemos calcular el punto de intersección. Si tienes una calculadora TI-83 o 84, usa el menú CALC y selecciona INTERSECT. Luego selecciona cada recta al presionar ENTER en cada una. La calculadora entregará un aproximado. Presiona ENTER nuevamente y calculara la intersección de (5,5, 0,333…). Este punto también se puede escribir como $\left(\frac{11}{2},\frac{1}{3}\right)$ . Revisa la solución algebraicamente.

Ecuación 1: $2x-3y=10; 2\left(\frac{11}{2}\right)-3\left(\frac{1}{3}\right)=11-1=10$

Ecuación 2: $y=- \frac{2}{3}x+4; - \frac{2}{3}\left(\frac{11}{2}\right)+4=-\frac{11}{3}+\frac{12}{3}=\frac{1}{3}$

Si no tienes una TI-83 o 84, las instruciones pueden ser diferentes. Revisa con tu profesor.

Revisión del Problema Introductorio El sistema de ecuaciones lineales representado en esta situación es:

$2c1 + 4c2 &= 70\\\c1 + 5c2 &= 50$

Si trazas ambas ecuaciones lineales en el mismo gráfico, descubrirás que el punto de intersección es (25, 5). Por lo tanto, la moneda uno tiene un valor de 25 centavos y la moneda dos tiene un valor de 5 centavos.

Práctica Guiada

Resuelve los siguientes sistemas mediante representación gráfica. Usa un instrumento para el problema 3.

1. $y &= 3x-4\\\y &=2$

2. $2x-y &= -4\\\2x+3y &=-12$

3. $5x+y &= 10\\\y &=\frac{2}{3}x-7$

Respuestas

La primera recta esta en forma pendiente-intersección y puede ser graficada como tal.

La segunda recta es una recta horizontal de (0, 2).

El gráfico de las dos ecuaciones se muestra a continuación. Según este gráfico la solución parece ser (2, 2).

Al revisar esta solución en ambas ecuaciones se comprueba que está correcta.

Ecuación 1: $2=3(2)-4$

Ecuación 2: $2=2$

Ninguna de estas ecuaciones está en forma pendiente-intercepción. La manera más fácil de graficarlas es encontrar sus interceptos como se muestra en el Ejemplo B.

Ecuación 1: Reemplaza $y=0$ para encontrar el intercepto de $x-$ .

$2x-y &= -4\\\2x-0 &= -4\\\x &= -2$

Ahora reemplaza $x=0$ , para encontrar el intercepto de $y-$ .

$2x-y &= -4\\\2(0)-y &= -4\\\y &= 4$

Entonces podemos usar (-2, 0) y (0, 4) para graficar las rectas como se muestra en el diagrama. Utilizando el mismo proceso, los interceptos de la segunda recta son (-6, 0) y (0, -4).

La solución del sistema parece ser (-3, -2). Esta solución puede ser verificada algebraicamente como se muestra en el primer problema.

La primera ecuación debe ser reescrita de la siguiente manera $y=-5x+10$ antes de ingresarla en la calculadora. La segunda ecuación puede ser ingresada tal cual.

Usando la calculadora la solución obtenida es (3, -5).

Recuerda verificar esta solución algebraicamente, de esta forma puedes comprobar tu trabajo.

Práctica

Elige el gráfico correspondiente a cada ecuación lineal y resuélvela. .

Resuelve los siguientes sistemas mediante representación gráfica. Usa papel cuadriculado y una regla para mayor precisión. Recomendamos verificar tus respuestas algebraicamente.

$y &= - \frac{2}{5}x+1\\\y &= \frac{3}{5}x-4$

$y &= - \frac{2}{3}x+4\\\y &= 3x-7$

$y &= - 2x+1\\\x-y &=-4$

$3x+4y &= 12\\\x-4y &=4$

$7x -2y &= -4\\\y &=-5$

$x-2y &= -8\\\x &=-3$

Resuelve los siguientes sistemas lineales mediante representación gráfica y usando calculadora. Las soluciones deben ser redondeadas a la centésima más cercana si es necesario.

$y &= \frac{3}{7}x+11\\\y &= - \frac{13}{2}x-5$

$y &= 0.95x -8.3\\\2x+9y &= 23$

$15x-y &= 22\\\3x+8y &= 15$

Usa la siguiente información para resolver los ejercicios 14 al 17.

Clara y su hermano, Carl, fueron a la playa durante sus vacaciones. Quieren arrendar bicicletas para pasear por la costa. Una tienda de alquiler, Bargain Bikes, cobra $5 más $1,50 por hora. Otra tienda, Frugal Wheels, cobra $6 más 1,25 la hora.

¿Cuánto cuesta arrendar una bicicleta por una hora en cada tienda? ¿Cuánto costaría por 10 horas?
Escribe ecuaciones que representen el costo de arrendar una bicicleta en cada tienda. $x$ representará el número de horas y $y$ el costo total.
Resuelve el sistema para descubrir cuantas horas deben arrendar para que el precio sea el mismo en ambas tiendas.
Carla y Carl quieren arrendar bicicletas por 3 horas. ¿Qué tienda deben elegir?

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