Resolver Sistemas Sin Solución o con Soluciones Infinitas Usando Gráficos

En una feria artesanal, Jamal compró dos figuritas de madera y un bordado por $21. En la misma feria, Kenia compró dos bordados y cuatro figuritas de madera por $28. ¿Compraron Jamal y Kenia los mismos productos? ¿Por qué? o ¿por qué no? Supón que no obtuvieron ningún tipo de descuento.

Orientación

Hasta el momento, hemos revisado sistemas de ecuaciones lineales en los que las rectas siempre intersecan en un solo punto. ¿Qué pasaría si intersecaran en más de un punto? ¿Cómo sería el gráfico? En los Ejemplo A y B veremos ambas opciones.

Ejemplo A

Grafica el sistema:

Solución:

En este ejemplo ambas rectas tienen la misma pendiente pero distintos interceptos en Al trazarlas, quedan como rectas paralelas y nunca se intersecan. Este sistema no tiene solución. Otra manera de expresarlo es decir que el sistema es inconsistente .

Ejemplo B

Grafica el sistema:

Solución:

En este ejemplo ambas rectas tienen la misma pendiente pero distintos interceptos en Esto se puede apreciar mejor cuando las ecuaciones estas escritas en su forma pendiente-intersección:

Cuando las graficamos, ambas , coinciden ,en la misma recta, es decir, todos sus puntos son iguales. Esto significa que existe un número infinito de soluciones a este sistema. Debido a que este sistema tiene al menos una solución es considerado como un sistema consistente .

Los sistemas consistentes son sistemas que tienen al menos una solución. Si el sistema tiene exactamente una solución, entonces se le considera independiente . Todos los sistemas que resolvimos en la sección anterior eran sistemas independientes. Si el sistema tiene soluciones infinitas, como el sistema del Ejemplo B, se le considera dependiente .

Ejemplo C

Clasifica los siguientes sistemas:

Solución:

Al reformular la primera ecuación a su forma pendiente-intersección obtenemos , que es exactamente igual a la segunda ecuación. Esto quiere decir que son la misma recta. Por consiguiente el sistema es consistente y dependiente.

Revisión del Problema Introductorio El sistema de ecuaciones lineales representado en esta situación es:

Si graficamos estas ecuaciones lineales en el mismo gráfico, no habrá ningún punto de intersección. Por lo tanto no hay solución, es decir, Jamal y Kenia no compraron los mismos productos.

Práctica Guiada

Clasifica los siguientes sistemas como consistentes, inconsistentes, independientes o dependientes. Puedes graficarlos si así lo deseas. En caso de que el sistema tenga una sola solución, no es necesario que la encuentres.

1.

2.

3.

Respuestas

1. El primer paso es reformular ambas ecuaciones a su forma pendiente-intercepción para poder compararlas.

Las pendientes no son iguales, así que las rectas no son paralelas ni coincidentes. Por lo tanto, las rectas deben intersecar en un punto. El sistema es consistente e independiente.

2. Nuevamente, reforma las ecuaciones a su forma pendiente-intersección:

En este caso, podemos observar que la pendiente y el intercepto en son el mismo y por ende las rectas son coincidentes. El sistema es consistente y dependiente.

3. Las ecuaciones pueden ser reformuladas de la siguiente manera:

En este sistema, las rectas tienen las misma pendiente, pero distintos interceptos en Esto las hace rectas paralelas. Por ende el sistema es inconsistente. No tiene solución.

Vocabulario

Paralelo/a

Dos o más rectas en el mismo plano que nunca intersecan. Tiene la misma pendiente y diferentes interceptos en .

Coincidente

Rectas con todos sus puntos en común. Son rectas que “coinciden” entre sí o son la misma recta.

Consistente

Describe un sistema con al menos una solución.

Inconsistente

Describe un sistema sin solución.

Dependiente

Describe un sistema consistente con soluciones infinitas.

Independiente

Describe un sistema consistente con solo una solución.

Práctica

Describe los sistemas graficados a continuación algebraicamente (consistente, inconsistente, dependiente, independiente) y geométricamente (rectas que intersecan, rectas paralelas, rectas coincidentes).

Clasifica los siguientes sistemas como consistentes, inconsistentes, independientes o dependientes. Puedes graficarlos si así lo deseas. En caso de que el sistema tenga una sola solución, no es necesario que la encuentres.

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

En los problemas 10 al 15 deberás escribir tus propios sistemas. Las ecuaciones deberán estar en su forma general, . Intenta que se vean distintas incluso si son la misma ecuación.

10. Escribe un sistema consistente e independiente.
11. Escribe un sistema consistente y dependiente.
12. Escribe un sistema inconsistente.
13. Escribe un sistema cuya solución sea (-1, 2), una recta es vertical y la otra es horizontal.
14. Escribe un sistema cuya solución sea (-1, 2), una recta es vertical u horizontal y la otra no es vertical ni horizontal.
15. Escribe un sistema cuya solución sea (-1, 2), ninguna de las rectas es vertical u horizontal.