Resolver Sistemas con Una Solución Usando Sustitución
En esta sección aprenderás a resolver sistemas consistentes e independientes usando el método de sustitución.
Rex y Carl están mezclando soluciones en la clase de ciencias. Necesitan tener 12 onzas de una solución salina al 60%. Para hacer esta solución deben usar una solución salina al 20% y una al 80%. ¿Cuántas onzas de cada una necesitan para crear la mezcla correcta?
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James Sousa: Ex 1: Solve a System of Equations Using Substitution
*Este video solo está disponible en inglés
Orientación
Con el método de sustitución tomaremos dos tipos de ecuaciones y decidiremos cual variable es más fácil de resolver para que podamos escribir una de las ecuaciones como
o
. Luego reemplazaremos
or
como corresponda en la
otra
otra ecuación. El resultado será una ecuación con una sola variable por resolver.
Ejemplo A
Resuelve el sistema usando sustitución:
Solución:
El primer paso es encontrar una variable que sea fácil de separar. En otras palabras, hay que tomar la variable que tenga coeficiente 1. En este caso sería la variable
de la primera ecuación. Entonces, comienza por separar or resolver la variable
:
Esta expresión puede ser usada para reemplazar
en la otra ecuación y resolver
:
Ahora que encontramos el valor de
, podemos usarlo en la expresión para encontrar el valor de
:
Recuerda que la solución a un sistema lineal es un punto en el plano cartesiano donde dos rectas intersecan. Por lo tanto, nuestra respuesta debe ser escrita como un punto: (7, -2). Puedes revisar tu respuesta al sustituir este punto en ambas ecuaciones:
Ejemplo B
Resuelve el sistema usando sustitución:
Solución:
En el ejemplo anterior,
era la variable más simple de separar. ¿Pasa lo mismo en este sistema? No, en este caso,
es la variable con un coeficiente de 1. Es común acostumbrarse a separar siempre
ya que es lo que se hace al reformular ecuaciones a su forma pendiente-intersección. Intenta evitarlo y ve cada sistema antes de escoger la variable más fácil de separar. De esta manera se trabaja menos.
Al resolver la segunda ecuación para
obtenemos:
.
Esta expression usarse para reemplazar a
en la otra ecuación y resolver para
:
Ahora que encontramos el valor de
, podemos usarlo en la expresión para encontrar el valor de
:
Entonces, la solución a este sistema es (11, -3). No olvides revisar tu respuesta:
Ejemplo C
Resuelve el sistema usando sustitución:
Solución:
En este caso, ninguna de las variables tiene un coeficiente 1. Así que solo debemos elegir una. Tomemos
de la primera ecuación y resolvamos:
Esta expresión puede ser usada para reemplazar
en la otra ecuación y resolver para
:
Ahora que encontramos el valor de
, podemos usarlo en la expresión para encontrar el valor de
:
La solución es
. Revisa tu respuesta:
Revisión del Problema Introductorio Organizaremos la información del problema en una ecuación “imagen” como se muestra a continuación:
En esta imagen, podemos ver que hay que mezclar
onzas de una solución al 20% con
onzas de una solución al 80% para obtener 12 onzas de una solución al 60%. Al escribirlo como ecuación, queda lo siguiente:
Resuelve el sistema usando sustitución: Resuelve para
en la segunda ecuación y obtendrás:
.
Sustituye y resuelve la segunda ecuación:
Ahora podemos despejar
:
Por lo tanto, Rex y Carl necesitan 4 onzas de la solución salina al 20% y 8 onzas de la solución salina al 80% para crear la mezcla correcta.
Práctica Guiada
Resuelve los siguientes sistemas utilizando el método de sustitución.
1.
2.
3.
Respuestas
1. En este problema, la segunda ecuación ya está resuelta para
así que podemos usar ese valor en la primera ecuación para encontrar el valor de
:
Ahora podemos encontrar
:
Por ende la solución es (5, -7).
2. En este sistema es más fácil despejar
en la segunda ecuación:
. Reemplacemos esto en la primera ecuación para encontrar el valor de
:
Ahora podemos encontrar
:
Por ende la solución es (-3, 9).
3. En este caso, ambas ecuaciones son iguales a
. Ya que
, según la Propiedad Reflexiva de la Igualdad, también podemos poner el resto de ambas ecuaciones como iguales. Este sigue siendo un problema de sustitución; solo se ve un poco diferente.
Ahora podemos encontrar
:
Por ende la solución es (12, -15).
Práctica
Resuelve los siguientes sistemas utilizando el método de sustitución. Recuerda revisar tus respuestas.
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Plantear y resuelve un sistema de ecuaciones lineales para responder a cada uno de los siguientes problemas escritos.
- Alicia y Sarah están en el supermercado. Alicia quiere comprar maní a granel y Sarah quiere comprar almendras. Las almendras cuestas $6,50 por libra y el maní cuesta $3,50 por libra. En total compraron 1,5 libras de frutos secos. Si el costo total fue de $6,75 ¿cuántas libras compro cada una? Plantea un sistema para resolver usando sustitución:
- Marcus entra a una tienda para comprar ropa nueva. Al entrar ve una oferta de poleras ($5,25) y pantalones cortos ($7,50). Marcus compra siete prendas por un total de $43,50. ¿Cuántas poleras y pantalones compró?
- Jillian está vendiendo entradas para la obra de teatro del colegio. Las entradas para estudiante cuesta $3 y para adulto, $5. Si 830 personas comprar entradas y el total de ingresos es de $3104, ¿cuántos estudiantes asistieron a la obra?
