Resolver Sistemas Sin Solución o con Soluciones Infinitas Usando Sustitución.

La compañía de teléfonos celulares de Paran cobra una tarifa fija de $25 por mes más $0,25 por mensaje de texto. La compañía de teléfonos celulares de Marcel cobra una tarifa fija de $100 por mes más $1 por mensaje de texto. La cuenta telefónica mensual de Marcel es cuatro veces más que la de Paran. Si ambos enviaron la misma cantidad de mensajes de texto, ¿cuántos mensajes de texto envió cada uno?

Orientación

Si intentamos encontrar una solución única mediante el método algebraico, como la sustitución, en un sistema que no tiene solución o tiene soluciones infinitas, las variables se cancelarán y obtendremos una ecuación formada meramente por constantes. Si la ecuación no es cierta, como se muestra en el Ejemplo A, el sistema no tiene solución. Si la ecuación siempre es verdadera, como se muestra en el Ejemplo B, el sistema tiene soluciones infinitas.

Ejemplo A

Resuelve el sistema usando sustitución:

Solución: Ya que la segunda ecuación ya está resuelta para , podemos usar ese valor en la primera ecuación para encontrar el valor de :

Este sistema no tiene solución, ya que la sustitución resultó en la eliminación de la variable, , y en una ecuación falsa compuesta de constantes. Las rectas son paralelas y el sistema es inconsistente.

Ejemplo B

Resuelve el sistema usando sustitución:

Solución: Podemos despejar en la primera ecuación de la siguiente manera:

Luego, sustituimos esta expresión en la segunda ecuación y despejamos :

Al resolver la ecuación , la variable se cancela y quedan solo constantes. Podemos parar en el paso donde 4 = 4 o continuar y restar 4 en cada lado para obtener 0 = 0. De cualquier manera, esta es una declaración verdadera. Como resultado, podemos concluir que este sistema tiene soluciones infinitas. Las rectas son coincidentes y los sistemas son consistentes y dependientes.

Ejemplo C

Resuelve los siguientes sistemas utilizando sustitución.

Solución: Antes de comenzar, noten que la segunda ecuación es múltiplo de la primera. Cada término esta multiplicado por 3. Por lo tanto, sabemos que son la misma ecuación y que van a coincidir. Este sistema tiene soluciones infinitas.

Revisión del Problema Introductorio El sistema de ecuaciones lineales representado en esta situación es:

Al usar sustitución, obtenemos:

Hay soluciones infinitas, así que no podemos determinar con exactitud cuántos mensajes de texto enviaron Paran y Marcel.

Práctica Guiada

Resuelve los siguientes sistemas utilizando el método de sustitución. Si no tiene una sola solución, deberás determinar si tiene soluciones infinitas o no tiene solución.

1.

2.

3.

Respuestas

1. Sustituye la primera ecuación en la segunda ecuación y despeja :

Ya que el resultado es una ecuación que siempre será cierta, el sistema tiene soluciones infinitas.

2. Resuelve la primera ecuación para obtener el valor de obtenemos: . Luego, sustituimos esta expresión en la segunda ecuación y despejamos :

Ya que el resultado de la ecuación es contradictorio, el sistema no tiene soluciones.

3. Al resolver la segunda ecuación para obtenemos: . Podemos sustituir este resultado en la primera ecuación y despejar :

Luego usamos el valor de para encontrar el valor de :

Por lo tanto, la solución de este sistema es el punto (0, 0). Luego de resolver sistemas con resultado 0 = 0, es fácil confundirlo con un resultado de variables cero. Es perfectamente normal que la intersección de dos rectas sea en el punto (0, 0).

Práctica

Resuelve los siguientes sistemas utilizando el método de sustitución.

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