Resolver Sistemas sin Multiplicar

En esta sección aprenderás a resolver sistemas mediante la suma de las dos ecuaciones para eliminar una variable.

Tres veces un número más 5 es igual a dos veces otro número. $-4$ veces el mismo número menos dos es igual a $-2$ veces el otro número. ¿Qué números son?

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Khan Academy: Addition Elimination Method 1

*Este video solo está disponible en inglés

Orientación

En esta lección trabajaremos con sistemas en los que las dos ecuaciones contienen los coeficientes de una variable que son inversos aditivos (opuestos) el uno del otro.

Ejemplo A

SResuelve el sistema utilizando Combinación Lineal:

$2x-3y &= -9\\\5x +3y &= 30$

Solución: Los coeficientes de los términos $y$ son opuestos. Cuando sumamos las dos ecuaciones, estos términos serán eliminados porque su suma es $0y = 0$ .

$& \quad \ \ 2x- \cancel{3y} = -9\\\& \ + \underline{5x + \cancel{3y} = 30}\\\& \qquad \quad \ \ 7x = 21$

Ahora podemos encontrar el valor de $x$ :

$7x &= 21\\\x &= 3$

Reemplazamos el valor de $x$ , en cualquiera de las ecuaciones para encontrar el valor de $y$ :

$2(3)-3y &= -9 \qquad \qquad \quad 5(3)+3y =30\\\6-3y &= -9 \qquad \qquad \quad \quad 15+3y =30\\\-3y &= -15 \qquad or \qquad \qquad \ \ 3y = 15\\\y &=5 \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ y = 5$

Por ende la solución es: (3, 5).

Recuerda revisar tus respuestas:

$2(3)-3(5) &= 6-15 = -9\\\5(3)+3(5) &= 15+15= 30$

Ejemplo B

Resuelve el sistema utilizando Combinación Lineal:

$x+4y &= 2\\\-x-5y &= -3$

Solución: Los coeficientes de los términos $x$ son opuestos. Cuando sumamos las dos ecuaciones, estos términos serán eliminados porque su suma es $0x=0$ .

$& \quad \ \ \cancel{x}+4y = 2\\\& + \underline{- \cancel{x} - 5y = -3}\\\& \qquad \quad -y = -1$

Ahora podemos encontrar el valor de $y$ :

$-y &= -1\\\y &= 1$

Reemplazamos el valor de $y$ , en cualquiera de las ecuaciones para encontrar el valor de $x$ :

$& x+4(1) = 2 \qquad \quad \ \ \ -x-5(1) = -3\\\& \quad \ x+4 = 2 \qquad \qquad \quad \ -x-5 = -3\\\& \quad \quad \quad x = -2 \qquad or \qquad \quad \ -x=2\\\& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ x = -2$

Por ende la solución es: (-2, 1).

Recuerda revisar tus respuestas:

$-2+4(1) &= -2+4 =2\\\-(-2)-5(1) &= 2-5 =-3$

Ejemplo C

Resuelve el sistema utilizando Combinación Lineal:

$2x+y &= 2\\\-3x+y &= -18$

Solución: En este caso los coeficientes de los términos $y$ son iguales, no son opuestos. Una manera de resolver este sistema usando combinación lineal sería restando la segunda ecuación a la primera en vez de sumarla. Algunas veces la sustracción genera más errores, especialmente cuando se trata de números negativos. En vez de restar, multiplica la segunda ecuación por -1 y luego suma las dos ecuaciones.

$-1(-3x+y &= - 18)\\\3x-y &= 18$

De esta manera cambiamos todos los signos de los términos de esta ecuación.

Sumamos las dos ecuaciones y eliminamos $y$ :

$& \quad \ 2x + \cancel{y} = 2\\\& \ + \underline{3x-\cancel{y} = 18}\\\& \qquad \quad 5x=20$

Ahora podemos encontrar el valor de $x$ :

$5x &= 20\\\x &= 4$

Reemplazamos el valor de $x$ , en cualquiera de las ecuaciones para encontrar el valor de $y$ :

$2(4) + y &= 2 \qquad \quad -3(4)+y = -18\\\8+y &= 2 \quad \ \ or \quad \ -12+y = -18\\\y &= -6 \qquad \qquad \quad \ \quad \ y=-6$

Por ende la solución es: (4, -6).

Recuerda revisar tus respuestas:

$2(4)+(-6) &= 8-6 = 2\\\-3(4) + (-6) &= -12 -6 = -18$

Revisión del Problema Introductorio El sistema de ecuaciones lineales representado en esta situación es:

$3x + 5 &= 2y\\\-4x - 2 = -2y$

Al sumar estas dos ecuaciones obtenemos:

$-x + 3 = 0$ or $x = 3$

Ahora podemos sustituir $x = 3$ en cualquiera de las ecuaciones originales y obtendremos que $y = 7$ .

Práctica Guiada

Resuelve los siguientes sistemas utilizando Combinación lineal:

1. $4x+5y &= 8\\\-2x-5y &= 6$

2. $2x+3y &= 3\\\2x-y &= 23$

3. $2x+3y &= -6\\\y &= 2x-2$

Respuestas

1. Primero podemos sumar las dos ecuaciones para eliminar $y$ y despejar $x$ :

$& \qquad \qquad 4x+\cancel{5y}= 8\\\& \qquad \ + \underline{-2x-\cancel{5y} = 6}\\\& \qquad \qquad \quad \quad \ 2x= 14\\\& \qquad \qquad \qquad \ \ x=7$

Sustituye $x$ en una ecuación para despejar $y$ :

$4(7)+5y &= 8\\\28 + 5y &= 8\\\5y &= -20\\\y &= -4$

Solución: (7, -4)

2. En este caso, primero debemos multiplicar la segunda ecuación por -1 para obtener $-2x+y=-23$ . Ahora podemos sumar las dos ecuaciones para eliminar $x$ y resolver para $y$ :

$& \qquad \ \cancel{2x}+3y= 3\\\& \quad + \underline{- \cancel{2x}+y = -23}\\\& \qquad \qquad \ \ 4y= -20\\\& \qquad \qquad \quad y=-5$

Sustituye $y$ en cualquier ecuación para encontrar el valor de $x$ :

$2x+(3-5) &= 3\\\2x-15 &= 3\\\2x &= 18\\\x &= 9$

Solución: (9, -5)

3. En este ejemplo la segunda ecuación no está escrita en forma general. Por lo que debemos reformularla para que las variables se alienen al sumar las ecuaciones. Luego de restar $2x$ en ambos lado de la segunda ecuación obtenemos $-2x+y=-2$ Ahora podemos sumar las dos ecuaciones para eliminar $x$ y resolver para $y$ :

$& \quad \quad \cancel{2x}+3y = -6 \\\& + \ \ \underline{-\cancel{2x}+y = -2}\\\& \qquad \qquad \ 4y = -8\\\& \qquad \qquad \ \ y= -2$

Sustituye $y$ en cualquier ecuación para encontrar el valor de $x$ :

$2x+3(-2) &= -6\\\2x-6 &= -6\\\2x &= 0\\\x &= 0$

Solución: (0, -2)

Vocabulario

Inverso Aditivo (Opuesto): El inverso aditivo de un número es el número multiplicado por -1. Cuando se suma un número con su inverso aditivo el resultado es cero (como la identidad en la suma). Ejemplos de números opuestos: 2 y -2, -3 y 3, 15 y -15, $\frac{1}{2}$ y $- \frac{1}{2}$ .

Práctica

Resuelve los siguientes sistemas usando combinación lineal.

$4x+2y &= -6\\\-5x-2y &= 4$

$-3x+5y &= -34\\\3x-y &= 14$

$x+y &= -1\\\x-y &= 21$

$2x+8y &= -4\\\-2x+3y &= 15$

$8x-12y &= 24\\\-3x+12y &= 21$

$x+3y &= -2\\\-x-2y &= 4$

$5x+7y &= 2\\\5x+3y &= 38$

$12x-2y &= 2\\\5x-2y &= -5$

$2x+y &= 25\\\x+y &=5$

$\frac{1}{2}x+3y &= -3\\\y &= \frac{1}{2}x-5$

$3x+5y &= 10\\\y &= -3x-10$

$6x+3y &= -3\\\3y &= -7x+1$

$4x-2y &= 5\\\-4x+2y &= 11$

$9x+2y &= 0\\\-9x-3y &= 0$

$11x+7y &= 12\\\-11x &= 7y -12$

Plantear y resuelve un sistema de ecuaciones lineales para responder a cada uno de los siguientes problemas escritos.

16. La suma de dos números es 15 y la resta es 3. Encuentra los dos números.
17. Jessica y Maria fueron al supermercado a comprar fruta. Jessica compró 5 manzanas y 6 naranjas por $3,05. María compró 7 manzanas y 6 naranjas por $3,55. ¿Cúanto vale cada fruta? Pista: Usa $x$ para el precio de una manzana e $y$ para el precio de una naranja .

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