Resolver Sistemas Multiplicando Una Ecuación para Cancelar una Variable

En esta sección aprenderás a resolver sistemas usando combinación lineal al multiplicar una ecuación por una constante para eliminar una variable.

Mattie quiere plantar flores en su jardín. Tiene espacio para 15 plantas. Compró pensamientos y margaritas en una florería del centro. Los pensamientos costaron $2,75 cada uno y las margaritas costaron $2,00 cada una. ¿Cuántas plantas de cada una compró si en total gasto $35.25?

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Khan Academy: Solving systems by elimination 2

*Este video solo está disponible en inglés

Orientación

Los coeficientes de una variable en un sistema de ecuaciones lineales no siempre son iguales u opuestos. Cuando no son iguales u opuestos, podemos multiplicar una de las ecuaciones por una constante. De esta manera obtenernos coeficientes opuestos de una variable y podemos resolver el sistema como lo hemos hecho anteriormente.

Ejemplo A

Resuelve el sistema usando combinación lineal:

$4x+y &= 0\\\x- 3y &= 26$

Solución: En este sistema, tenemos coeficientes de $y$ con signos opuestos (uno es positivo y el otro es negativo). Podemos obtener valores opuestos al multiplicar la primera ecuación por 3. Recuerda multiplicar la ecuación entera, incluidas las contantes, por 3:

$3(4x+y &= 0)\\\12x+3y &= 0$

Ahora podemos usar esta nueva ecuación en el sistema para eliminar $y$ y resolver para $x$ :

$& \quad \ 12x+\cancel{3y}=0\\\& + \ \underline{\;\;\; x-\cancel{3y}=26}\\\& \qquad \quad \ 13x = 26\\\& \qquad \quad \quad \ x=2$

Ahora, encuentra el valor de $y$ :

$4(2)+y &= 0\\\8+y &= 0\\\y &= -8$

Solución: (2, -8)

Revisa tu respuesta:

$4(2)+(-8) &= 8-8=0\\\(2)-3(-8) &= 2+24=26$

$^*$ De igual manera, podríamos haber usado la otra ecuación para encontrar el valor de $y$ en el último paso.

$^{**}$ Desde el principio, podríamos haber multiplicado la segunda ecuación por -4 en vez de cancelar la variable $x$ .

Ejemplo B

Resuelve el sistema usando combinación lineal:

$2x+5y &=1\\\y &= -3x+21$

Solución: En este sistema, debemos reescribir la segunda ecuación primero a su forma general para poder comparar los coeficientes. Si sumamos $3x$ en ambos lados de la ecuación obtenemos:

$2x+5y &=1\\\3x+y &=21$

Si multiplicamos la segunda ecuación por -5, los coeficientes de $y$ serán opuestos.

$& \qquad \qquad 2x+\cancel{5y}=1\\\& \quad + \ \ \underline{-15x-\cancel{5y}=-105}\\\& \qquad \qquad \ -13x = -104\\\& \qquad \qquad \qquad \ x = 8$

Ahora, encuentra el valor de $y$ :

$y &= -3(8)+21\\\y &= -24+21\\\ y &= -3$

Solución: (8, -3)

Revisa tu respuesta:

$2(8)+5(-3) &= 16-15 = 1\\\-3=-3(8)+21 &= -24+21=-3$

Ejemplo C

Resuelve el sistema usando combinación lineal:

$4x-6y &= -12\\\y &= \frac{2}{3}x+2$

Solución: Nuevamente, debemos reformular la segunda ecuación del sistema a su forma general. Una manera de hacerlo es restar $\frac{2}{3}x$ en ambos lados para obtener el siguiente sistema:

$4x-6y &= -12\\\- \frac{2}{3}x+y &= 2$

Multiplica la segunda ecuación por 6 para eliminar $y$ :

$& \quad 6\left(- \frac{2}{3}x+y =2\right)\\\& \quad \ \ -4x+6y = 12$

Y suma el resultado con la primera ecuación.

$& \qquad \quad 4x-\cancel{6y}= -12\\\& \ \ + \ \underline{-4x+\cancel{6y}=12\;\;\;}\\\& \qquad \qquad \quad 0x=0\\\& \qquad \qquad \quad \ 0=0$

Ambas variables fueron eliminadas y el resultado es 0 = 0. Recuerda que este resultado implica que la ecuación siempre es cierta y por ende tiene soluciones infinitas.

Revisión del Problema Introductorio El sistema de ecuaciones lineales representado en esta situación es:

$p + d &= 15\\\2.75p + 2d &= 35.25$

Si multiplicamos la primera ecuación por $-2$ , obtendremos un nuevo sistema de ecuaciones lineales:

$-2p - 2d &= -30\\\2.75p + 2d &= 35.25$

Ahora podemos sumar estas ecuaciones y eliminar la variable d Esto nos dará como resultado:

$0.75p = 5.25$ or $p = 7$

Por último, podemos sustituir $p = 7$ en cualquiera de las ecuaciones originales para obtener el valor de d .

$7 + d = 15$ or $d = 8$

Por lo tanto, Mattie compró 7 pensamientos y 8 margaritas.

Práctica Guiada

Resuelve los siguientes sistemas usando combinación lineal.

1. $3x+12y &= -3\\\-x-5y &= 0$

2. $0.75x+5y &= 0\\\0.25x-9y &= 0$

3. $x-3y &= 5\\\y &= \frac{1}{3}x+8$

Respuestas

1. In this problem we can just multiply the second equation by 3 to get coefficients of $x$ un coeficiente opuesto: $3(-x-5y=0)\Rightarrow -3x-15y =0$

$&\ \ \cancel{3x}+12y=-3\\\&\underline{-\cancel{3x}-15y=0\;\;\;}\\\& \qquad \ -3y=-3\\\& \qquad \qquad y=1$

Ahora podemos encontrar el valor de $x$ :

$3x+12(1) &= -3\\\3x+12 &= -3\\\3x &= -15\\\x &= -5$

Solución: (-5, 1)

2. En este problema debemos multiplicar la segunda ecuación por -3 para darle a $x$ un coeficiente opuesto: $-3(0.25x-9y=0) \Rightarrow -0.75x+27y=0$

$& \quad \cancel{0.75x}+5y=0\\\& - \underline{\cancel{0.75x}-9y=0}\\\& \qquad \quad \ -4y=0\\\& \qquad \qquad \quad y=0$

Ahora podemos encontrar el valor de $x$ :

$0.75x+5(0) &= 0\\\0.75x &= 0\\\x &= 0$

Solución: (0, 0)

3. En este caso debemos reescribir la segunda ecuación a su forma general:

$x-3y &= 5\\\- \frac{1}{3}x+y &= 8.$

Luego, multiplicamos la segunda ecuación por 3 para darle coeficientes opuestos a $x$ :

$3 \left(-\frac{1}{3}x+y=8\right) \Rightarrow -x+3y=24$ , El sistema queda de la siguiente manera:

$x-3y &= 5\\\-x+3y &= 24$

Al sumar estas ecuaciones, ambas variables se eliminan y el resultado es 0 = 29, lo cual es un resultado contradictorio. Por lo tanto, este sistema no tiene solución.

Práctica

Resuelve los siguientes sistemas usando combinación lineal.

$x-7y &= 27\\\2x+y &= 9$

$x+3y &= 31\\\3x-5y &= -5$

$10x+y &= -6\\\-7x-5y &= -13$

$2x+4y &= 18\\\x-5y &= 9$

$2x+6y &= 8\\\3x+2y &= -23$

$12x-y &= 2\\\2x+5y &= 21$

$2x+4y &= 24\\\-3x-2y &= -26$

$3x+2y &= 19\\\5x+4y &= 23$

$3x-9y &= 13\\\x-3y &= 7$

$8x+2y &= -4\\\3y &= -16x+2$

$3x+2y &= -3\\\-6x-5y &= 4$

$10x+6y &= -24\\\y &= - \frac{5}{3}x-4$

$\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}y &= -8\\\\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}y &= 12$

$6x-10y &= -8\\\y &= - \frac{3}{5}x$

$4x-14y &= -52\\\y &= \frac{2}{7}x+3$

Plantear y resuelve un sistema de ecuaciones lineales para cada uno de los siguientes problemas escritos.

Lia tiene que hacer una mezcla de cloro y agua en su clase de ciencias. Necesita hacer 13 ml de una solución de cloro al 60% con una solución de cloro al 35% y otra al 75%. ¿Cuántos mililitros de cada solución debe usar?
Chelsea y Roberto venden productos horneados para la recaudación de fondos de su club. Chelsea vendió 13 galletas y 7 brownies y recolectó un total de $11,75. Roberto vendió 10 galletas y 14 brownies y recolectó un total de $15,50. ¿Cúanto cobraron por cada galleta y brownie?

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