Resolver Sistemas Multiplicando Ambas Ecuaciones para Cancelar una Variable

En esta sección aprenderás a resolver sistemas lineales usando combinación lineal en las que ambas ecuaciones deben ser multiplicadas por una constante para cancelar una variable.

Una libra de un mix de frutos secos con un 30% de castañas y un 70% se pistachos cuesta $6,25 . Una libra de un mix compuesto de un 80% de castañas y un 20% de pistachos cuesta $7,50 . ¿Cúanto costaría un mix compuesto de un 50% de cada fruto seco?

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Khan Academy: Solving Systems of Equations by Multiplication

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Orientación

En los sistemas lineales de esta lección, deberemos multiplicar ambas ecuaciones por una constante para obtener coeficientes opuestos en una de las variables. Para determinar por cual número se multiplicara, debemos encontrar el mínimo común múltiplo de los coeficientes dados. Recuerda que el mínimo común múltiplo de dos números es el número más pequeño con el que se puedan dividir ambos números. Por ejemplo, 12 es el mínimo común múltiplo de 4 y 6, ya que es el número más pequeño divisible por 4 y 6.

Ejemplo A

Resuelve el sistema usando combinación lineal:

$2x-5y &= 15\\\3x+7y &= 8$

Solución: En este problema no podemos multiplicar una ecuación por cualquier constante para obtener coeficientes opuestos. En este caso debemos identificar el mínimo común múltiplo de los coeficientes de una de las variables y usar ese valor para determinar el número con el cual se multiplicará cada ecuación. Si tomamos los coeficientes de $x$ , 2 y 3, el mínimo común múltiplo de estos números es 6. De manera que necesitamos que los coeficientes de $x$ sean 6 y -6 para cancelarlos al sumar las ecuaciones. Para obtener coeficientes 6 y -6 podemos multiplicar la primera ecuación por 3 y la segunda por -2 (no importa cual ecuación se convierta en negativa

$&\quad \ 3(2x-5y=15) \quad \Rightarrow \qquad \ \cancel{6x}-15y = 45\\\& -2(3x+7y=8) \qquad \quad \ + \ \underline{- \cancel{6x}-14y = -16 \; \; \; }\\\& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \quad -29y=29\\\& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \quad y=-1$

Ahora encuentra el valor de $x$ :

$2(x)-5(-1) &= 15\\\2x+5 &= 15\\\2x &= 10 \\\x &= 5$

Solución: (5, -1)

Revisa tu respuesta:

$2(5)-5(-1) &= 10 + 5 =15\\\3(5)+7(-1) &= 15-7=8$

$^*$ También se pueden eliminar las variables $y$ primero para resolver el problema. Para hacer esto, primero debes encontrar el mínimo común múltiplo de los coeficiente de $y$ , 5 y 7. El mínimo común múltiplo es 35, por ende debemos multiplicar la primera ecuación por 7 y la segunda por 5. Debido a que uno de los coeficientes ya es negativo, no necesitamos multiplicar por un valor negativo.

Ejemplo B

Resuelve el sistema usando combinación lineal:

$7x+20y &= -9\\\-2x-3y &= 8$

Solución: El primer paso es decidir que variable eliminar. Cualquiera de las dos puede ser eliminada, pero a veces es útil fijarse en el valor por el que se debe multiplicar para eliminar cada variable y determinar cuál es más sencilla de eliminar. Normalmente, es más fácil trabajar con números pequeños, así que es lógico eliminar $x$ primero. El Mínimo Común Múltiplo (MCM) de 7 y 2 es 14. Para obtener 14 como coeficiente, debemos multiplicar la primera ecuación por dos y la segunda por 7:

$& 2(7x+20y=-9) \quad \Rightarrow \quad \ \ \cancel{14x}+40y= -18 \\\& 7(-2x-3y=8) \qquad \qquad \ \underline{- \cancel{14x}-21y=56 \; \; \;}\\\& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ 19y = 38\\\& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ y=2$

Ahora encuentra el valor de $x$ :

$-2x-3(2) & = 8\\\-2x-6 &= 8\\\-2x &= 14\\\x &= -7$

Solución: (-7, 2)

Revisa tu respuesta:

$7(-7)+20(2) &= -49 + 40 = -9\\\-2(-7)-3(2) & =14-6=8$

Ejemplo C

Resuelve el sistema usando combinación lineal:

$14x-6y &= -3\\\16x-9y &= -7$

Solución: En este caso eliminaremos $y$ . Tenemos que encontrar el MCM de 6 y 9. El MCM es 18, así que multiplicaremos la primera ecuación por 3 y la segunda por -2. Nuevamente, no importa cual ecuación se vuelva negativa.

$& \quad 3(14x-6y=-3) \quad \Rightarrow \quad \ + 42x - \cancel{18y} = -9\\\& -2(16x-9y=-7) \qquad \quad \ \ \underline{-32x+ \cancel{18y} = 14 \; \; \; \; }\\\& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ 10x = 5\\\& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ x=2$

Ahora encuentra el valor de $y$ :

$14 \left(\frac{1}{2} \right)-6y &= -3\\\7-6y &= -3\\\-6y &= -10\\\y & = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$

Solución: $\left(\frac{1}{2}, \frac{5}{3}\right)$

Revisa tu respuesta:

$14 \left(\frac{1}{2}\right) - 6 \left(\frac{5}{3}\right) &= 7-10=-3\\\16 \left(\frac{1}{2}\right) - 9 \left(\frac{5}{3}\right) &= 8-15=-7$

Revisión al Problema Inicial Escribe un sistema de ecuaciones lineales que represente la información dada $x=$ al costo de las castañas por libra e $y=$ el costo de los pistachos por libra. Ahora podemos escribir dos ecuaciones que representen dos tipos de frutos secos distintos:

$0.3x+0.7y &= 6.25\\\0.8x+0.2y &= 7.50$

Resuelve este sistema para determinar el costo de cada tipo de fruto por libra. Si eliminamos $y$ , necesitaremos multiplicar la primera ecuación por 2 y la segunda por -7:

$& \quad 2(0.3x-0.7y=6.25) \quad \Rightarrow \quad +0.6x - \cancel{1.4y} = 12.5\\\& -7(0.8x+0.2y=7.50) \qquad \quad \ \underline{-5.6x+ \cancel{1.4y} = -52.5 \; \; \;}\\\& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ -5x = -40\\\& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad x=8$

Ahora encuentra el valor de $y$ :

$0.3(8)+0.7y &= 6.25\\\2.4+0.7y &= 6.25\\\0.7y &= 3.85\\\y &= 5.5$

Por lo tanto, determinamos que el costo de las castañas por libra es de $8 y el costo de pistachos es de $5,50 por libra. Ahora podemos determinar el costo de un mix de frutos secos con un 50% de cada fruto:

$0.5(8.00)+0.5(5.50)=4.00+2.75=6.75$ Por ende, el nuevo mix cuesta $6.75.

Práctica Guiada

Resuelve los siguientes sistemas usando combinación lineal:

1. $6x+5y &= 3\\\-4x-2y &= -14$

2. $9x-7y &= -19\\\5x-3y &= -15$

3. $15x-21y &= -63\\\7y &= 5x+21$

Respuestas

1. Podemos eliminar cualquiera de las variables. Para eliminar $x$ , podemos eliminar la primera ecuación por 2 y la segunda por 3 para obtener 12, el MCM de 6 y 4.

$& \ \ 2(6x+5y=3) \quad \ \Rightarrow \quad \ +\cancel{12x} +10y = 6\\\& 3(-4x-2y=-14) \qquad \quad \quad \underline{ - \cancel{12x}-6y = -42 \; }\\\& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad 4y = -36\\\& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ y=-9$

Ahora, encuentra el valor de $x$ :

$6x+5(-9) &= 3\\\6x-45 &= 3\\\6x &= 48\\\x &= 8$

Solución: (8, -9)

2. Nuevamente, podemos eliminar cualquiera de las variables. Para eliminar $y$ , podemos multiplicar la primera ecuación por 3 y la segunda por -7:

$& \quad \ 3(9x-7y=-19) \quad \Rightarrow \ \ \quad +27x - \cancel{21y} = -57\\\& -7(5x-3y=-15) \qquad \quad + \ \underline{-35x+\cancel{21y} = 105 \;}\\\& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ \ -8x = 48\\\& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ x=-6$

Ahora, encuentra el valor de $y$ :

$5(-6)-3y &= -15\\\-30-3y &= -15\\\-3y &= 15\\\y &= -5$

Solución: (-6, -5)

3. Antes de comenzar, debemos reformular la segunda ecuación a su forma general. El resultado es el siguiente:

$15x-21y &= -63\\\-5x+7y &= 21$

En este caso, solo debemos multiplicar la segunda ecuación por 3 para eliminar $x$ :

$& \ \ 15x-21y=-63 \quad \Rightarrow \quad + \cancel{15x} - 21y = -63\\\& 3(-5x+7y=21) \qquad \ + \ \underline{- \cancel{15x}+21y = -63 \; }\\\& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ 0y = 0\\\& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ \ 0=0$

Solución: Existen soluciones infinitas.

Práctica

Resuelve los sistemas usando combinación lineal:

$17x-5y &= 4\\\2x+7y &= 46$

$9x+2y &= -13\\\11x+5y &= 2$

$3x+4y &= -16\\\5x+5y &= -5$

$2x-8y &= -8\\\3x+7y &= 45$

$5x-10y &= 60\\\6x+3y &= -33$

$3x+10y &= -50\\\-5x-7y &= 6$

$11x+6y &= 30\\\13x-5y &= -25$

$15x+2y &= 23\\\18x-9y &= -18$

$12x+8y &= 64\\\17x-12y &= 9$

$11x-3y &= 12\\\33x-36 &= 9y$

$4x+3y &= 0\\\6x-13y &= 35$

$18x+2y &= -2\\\-12x-3y &= -7$

$-6x+11y &= -109\\\8x-15y &= 149$

$8x &= -5y-1\\\-32x+20y &= 8$

$10x-16y &= -12\\\-15x+14y &= -27$

Plantea y resuelve un sistema de ecuaciones para resolver las siguientes preguntas.

Un mix de 35% almendras y 65% maní cuesta $5,70. Un mix de 75% almendras y 25% maní cuesta $6,50 . ¿Cúanto costaría un mix de 60% almendras y 40% maní?
Un mix de 35% almendras y 65% maní cuesta $5,70. Un mix de 75% almendras y 25% maní cuesta $6,50 . ¿Cúanto costaría un mix de 60% almendras y 40% maní?
Una compañía de celulares cobra extra cuando los clientes exceden sus minutos y mensajes de textos establecidos. Un cliente pagó $3,24 extra al hablar 240 minutos extra y enviar 12 mensajes de texto adicionales. Otro cliente habló 120 minutos extra y envió 150 mensajes de texto adicionales y le cobraron $4,50 extra. ¿Cuánto más pagaría un cliente si habla 140 minutos extras y envía 200 mensajes de texto adicionales?

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