Determina el Mejor Método para Resolver un Sistema Lineal

En esta sección aprenderás a resolver sistemas de ecuaciones lineales usando el método más eficiente.

Una empresa de alquiler de autos, Affordable Autos, cobra $30 por día más $0,51 por milla conducida. Otra empresa de alquiler de autos, Cheap Cars, cobra $25 por día más $0,57 por milla conducida. Para distancias cortas, Cheap Cars es más económico. ¿Después de cuantas millas conducidas en un día es más económico en Affordable Autos?

Orientación

Cualquiera de los métodos (gráficos, sustitución, combinación lineal) aprendidos en esta unidad puede ser utilizado para resolver un sistema de ecuaciones lineales. Sin embargo, en algunos casos es más eficiente usar un método en vez de otro según la forma de las ecuaciones. Por ejemplo

Si ambas ecuaciones están en su forma pendiente-intercepto $(y=mx+b)$ , tanto los gráficos como la sustitución son más eficientes que los otros métodos.
Si una ecuación está en su forma pendiente-intersección o resuelta en el valor de $x$ , entonces la sustitución podría ser más sencilla.
Si ambas ecuaciones están en su forma general $(Ax+By=C)$ , la combinación lineal suele ser la más eficiente.

Ejemplo A

Resuelve el siguiente sistema:

$y &= -x+5\\\y &= \frac{1}{2}x+2$

Solución: Debido a que ambas ecuaciones están en su forma pendiente-intersección, podemos graficar con facilidad las rectas. El problema es si la intersección de las rectas coincidirá con la cuadrícula o no (números enteros). Si no coincide, es muy difícil determinar una respuesta a partir de un gráfico. Una solución a este problema es usar una calculadora para graficar las rectas y encontrar su intersección

La primera ecuación tiene un intercepto en $y-$ de 5 y una pendiente de -1. Esta graficada en color ${\color{blue}\mathbf{blue}}$ .

La segunda ecuación tiene un intercepto en $y-$ de 2 y una pendiente de $\frac{1}{2}$ . Esta graficada en color ${\color{red}\mathbf{red}}$ .

Las dos rectas intersectan claramente en el punto (2, 3).

Método Alternativo : La sustitución puede ser método preferido por estuantes que prefieran resolver las ecuaciones algebraicamente. Ya que ambas ecuaciones son iguales a $y$ , podemos decir que ambos lados derechos son iguales entre sí y resolver para encontrar el valor de $x$ :

$& \quad -x+5 = \frac{1}{2}x+2\\\& \ 2\left(-x+5=\frac{1}{2}x+2\right) \ \leftarrow \text{Multiplying the equation by 2 eliminates the fraction}.\\\& -2x+10=x+4\\\& \qquad \quad \ \ 6=3x\\\& \qquad \quad \ \ x=2$

Ahora encuentra en valor de $y$ :

$y &= -(2)+5\\\y &=3$

Solución: (2, 3)

Revisa tu respuesta:

$3 &= -2+5\\\3 &= \frac{1}{2}2+2 \rightarrow 1 + 2$

Ejemplo B

Resuelve el sistema:

$15x+y &=24\\\y &= -4x+2$

Solución: En este caso, una de las ecuación ya está resuelta para $y$ . Es más fácil usar esta expresión y sustituirla en la otra ecuación:

$15x+(-4x+2) &=24\\\15x-4x+2 &=24\\\11x &= 22\\\x &= 2$

Ahora encuentra en valor de $y$ :

$y &= -4(2)+2\\\y &= -8+2\\\y &= -6$

Solución: (2, -6)

Revisa tu respuesta:

$15(2)+(-6) &= 30-6=24\\\-6 =-4(2)+2 & =-8+2=-6$

Ejemplo C

Resuelve el sistema:

$-6x+11y &= 86\\\9x-13y &= -115$

Solución: Ambas ecuaciones de este ejemplo están en su forma general, así que el método más fácil en este caso es la combinación lineal. Ya que el MCM de 6 y 9 es 18, multiplicaremos la primera ecuación por 3 y la segunda por 2 para eliminar a $x$ first:

$& 3(-6x+11y=86) \quad \Rightarrow \quad - \cancel{18x}+33y=258\\\& \ \ 2(9x-13y=-115) \qquad \quad \ \underline{\cancel{18x}-26y=-230 \; \; \;}\\\& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ 7y=28\\\& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad y=4$

Ahora encuentra en valor de $x$ :

$-6x+11(4)&=86\\\-6x+44 &=86\\\-6x &=42\\\x &= -7$

Solución: (-7, 4)

Revisa tu respuesta:

$-6(-7)+11(4) &= 42+44=86\\\9(-7)-13(4) &= -63-52=-115$

Revisión del Problema Introductorio Plantea ecuaciones para representar el costo total (de un día) en cada compañía:

Affordable Autos $\Rightarrow y=0.51x+30$

Cheap cars $\Rightarrow y=0.57x+25$

Es más sencillo usar sustitución. Al sustituir $y=0.51x+30$ en la segunda ecuación obtenemos:

$0.51x+30 = 0.57x+25\\\5 = 0.06x\\\x = 83.333$

Por lo tanto, Affordable Autos es más económico si deseamos conducir más de 83 millas o un tercio de millas en un día.

Práctica Guiada

Resuelve los siguientes sistemas utilizando en método más eficiente:

1. $y &= -3x+2\\\y &= 2x-3$

2. $4x + 5y &= -5\\\x &= 2y-11$

3. $4x-5y &= -24\\\-15x+7y &= -4$

Respuestas

1. Este se puede resolver mediante gráficos, gráficos con calculadora o sustitución. Usaremos sustitución. Ya que ambas ecuaciones están resueltas para $y$ , podemos igualarlas y resolver para $x$ :

$-3x+2 &= 2x-3\\\5 &= 5x\\\x &= 1$

podemos igualarlas y resolver para $y$ :

$y &= -3(1)+2\\\y &= -3+2\\\y &=-1$

Solución: (1, -1)

2. Ya que la segunda ecuación está resuelta para $x$ , es más sencillo utilizar sustitución:

$4(2y-11)+5y &= -5\\\8y-44+5y &= -5\\\13y &= 39\\\y &= 3$

Ahora encuentra en valor de $x$ :

$x &= 2(3)-11\\\x &= 6-11\\\x &= -5$

Solución: (-5, 3)

3. Ambas ecuaciones están en su forma general, por lo que es más lógico utilizar combinación lineal. Podemos eliminar $y$ al multiplicar la primera ecuación por 7 y la segunda por 5:

$& \quad \ 7(4x-5y=-24) \quad \Rightarrow \quad 28x-\cancel{35y}=-168\\\& 5(-15x+7y=-4) \qquad \quad \ \underline{-75x+\cancel{35y}=-20 \; \; \;}\\\& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ \ -47x = -188\\\& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ \ x=4$

Ahora, encuentra el valor de $y$ :

$4(4)-5y &= -24\\\16-5y &= -24\\\-5y &= -40\\\y &= 8$

Solución: (4, 8)

Práctica

Resuelve los siguientes sistemas utilizando combinación lineal.

$5x-2y &= -1\\\8x+4y &= 56$

$3x+y &= -16\\\-4x-y &= 21$

$7x+2y &= 4\\\y &= -4x+1$

$6x+5y &= 25\\\x &= 2y+24$

$-8x+10y &= -1\\\2x-6y &= 2$

$3x+y &= 18\\\-7x+3y &= -10$

$2x+15y &= -3\\\-3x-5y &= -6$

$15x-y &= 19\\\13x+2y &= 48$

$x &= -9y-2\\\-2x-15y &= 6$

$3x-4y &= 1\\\-2x+3y &= 1$

$x-y &= 2\\\3x-2y &= -7$

$3x+12y &= -18\\\y &= -\frac{1}{4}x-\frac{3}{2}$

$-2x-8y &= -2\\\x &= \frac{1}{2}y+10$

$14x+y &= 3\\\-21x-3y &= -3$

$y &= \frac{4}{5}x+7\\\8x-10y &= 2$

Plantear y resuelve un sistema de ecuaciones lineales para resolver los siguientes problemas escritos.

Jack y James compran por separado peces pequeños para sus nuevos acuarios. Jack compra 10 peces payaso y 7 peces dorados por $28,25 . James compra 5 peces payaso y 6 peces dorados por $17,25 . ¿Cuánto cuesta cada tipo de pez?
La suma de dos números es 35. El número más grande es un número menos que tres veces en número pequeño. ¿Qué números son?
Rachel se ofrece a salir a comprar capuchinos y cafés latte para sus compañeros de trabajo. Compró un total de nueve bebestibles por $35,75 . Si cada capuchino cuesta $3,75 y los café late $4,25, ¿Cuántos compró de cada uno?

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