Buscar Soluciones para un Sistema de Inecuaciones Lineales

En esta sección aprenderás a determinar si un punto dado es o no la solución a un sistema de inecuaciones lineales.

Tres veces la edad de Aubrey menos dos veces la edad de Dakar es menos o igual a 25. Cuatro veces la edad de Aubrey más tres veces la edad de Dakar es mayor o igual a 90. ¿Cuántos años tienen?

A. Aubrey tiene 10 años y Dakar tiene 15 años. B. Aubrey tiene 16 años y Dakar tiene 8 años. C. Aubrey tiene 17 años y Dakar tiene 13 años.

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Khan Academy: Testing Solutions for a System of Inequalities

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Orientación

Un sistema de inecuaciones lineales tiene infinitas soluciones. Recuerda que al graficar una inecuación lineal, el resultado es una región sombreada en el gráfico que contiene todas las soluciones posibles a la inecuación. En un sistema, hay dos inecuaciones lineales. La solución al sistema son todos los puntos que satisfagan ambas inecuaciones o la región en la que las sombras se superponen.

Ejemplo A

Determina que puntos son soluciones al sistema de inecuaciones lineales que se muestra a continuación.

a) (0, -1)

b) (2, 3)

c) (-2, -1)

d) (3, 5)

Solución:

a) El punto (0, -1) no es una solución al sistema de inecuaciones lineales. Es una solución para $y \le \frac{2}{3}x+3$ (graficada en ${\color{blue}\mathbf{blue}}$ ), pero pasa por la recta $y=-\frac{4}{5}x-1$ la cual no está incluida en la solución para $y>-\frac{4}{5}x-1$ (graficada en ${\color{red}\mathbf{red}}$ ). El punto debe satisfacer ambas inecuaciones para ser una solución al sistema.

b) El punto (2, 3) se encuentra en la región sombreada, donde se sobreponen, y por ende es una solución al sistema.

c) The point (-2, -1) se encuentra fuera de la región sombreada, donde se sobreponen, y por ende no es una solución al sistema.

d) El punto (3, 5) se encuentra en la recta $y=\frac{2}{3}x+3$ , que está incluida en la solución para $y \le \frac{2}{3}x+3$ . Ya que esta parte de la recta esta incluida en la solución para $y>-\frac{4}{5}x-1$ , el punto (3, 5) es una solución al sistema.

Ejemplo B

Determina si los siguientes puntos son soluciones al sistema de inecuaciones lineales:

$3x+2y & \ge 4\\\x+5y &< 11$

a) (3, 1)

b) (1, 2)

c) (5, 2)

d) (-3, 1)

Solución: En esta ocasión no tenemos un gráfico con el cual trabajar. En cambio, reemplazaremos los puntos en las ecuaciones para determinar si satisfacen o no las inecuaciones lineales. Un punto debe satisfacer ambas inecuaciones para ser una solución al sistema.

a) Sí, $3(3)+2(1) \ge 4$ y $(3)+5(1)<11$ son inecuaciones validas. Por ende, (3, 1) es una solución al sistema.

b) No, $3(1)+2(2) \ge 4$ es cierta, pero $(1)+5(2)=11$ , así que el punto no es correcto en la segunda inecuación.

c) No, $3(5)+2(2) \ge 4$ es cierta, pero $(5)+5(2)>11$ , así que el punto no es correcto en la segunda inecuación.

d) No, $3(-3)+2(1)=-9+2=-7<4$ , así que el punto no es cierto en la primera inecuación. No es necesario verificar el punto en la segunda inecuación ya que debe satisfaces ambas inecuaciones para ser una solución.

Ejemplo C

¿Es (-9, 0) una solución al sistema que se muestra a continuación?

$y &> 3x -11 \\\x + 2y \le 4$

Solución: Sustituye el punto en cada ecuación y comprueba si la inecuación es cierta.

$0 &> 3(-9) -11 \\\0 &> 38$

La primera inecuación es cierta, probemos con la segunda.

$-9 + 2(0) \le 4 \\\-9 \le 4$

Esta inecuación también es cierta, por ende (-9, 0) es una solución.

Revisión del Problema Introductorio No tenemos un gráfico con el cual trabajar así que debemos reemplazar las edades en los sistemas para verificar si satisfacen las inecuaciones o no. El sistema de inecuaciones lineales representado en esta situación es:

$3A - 2D \le 25\\\4A + 3D \ge 90$

Ahora probemos cada una de las posibilidades.

Para A = 10 y D = 15: $3(10) - 2(15) \le 25$ es cierta. $4(10) + 3(15) \ge 90$ no es cierta.

Para B = 16 y D = 8: $3(16) - 2(8) \le 25$ no es cierta y no es necesario seguir.

Para B = 17 y D = 13: $3(17) - 2(13) \le 25$ es cierta. $4(17) + 3(13) \ge 90$ es cierta.

Por lo tanto, de las opciones dadas solo C puede representar las edades de Aubrey y Dakar.

Práctica Guiada

1. Determina si los puntos son soluciones a los sistemas del gráfico:

a) (-3, 3)

b) (4, 2)

c) (3, 2)

d) (-4, 4)

2. Determina si los siguientes puntos son soluciones al sistema:

$y &< 11x-5\\\7x-4y & \ge 1$

a) (4, 0)

b) (0, -5)

c) (7, 12)

d) (-1, -3)

Respuestas

1. a) El punto (-3, 3) se encuentra en la región sombreada, donde se sobreponen, y por ende es una solución al sistema.

b) El punto (4, 2) no es una solución al sistema. Solo es una solución de la inecuación representada en rojo.

c) El punto (3, 2) no es una solución al sistema porque se encuentra en la recta azul discontinua y por ende no satisface la inecuación.

d) El punto (-4, 4) se encuentra en la recta roja que limita con la región sombreada sobrepuesta y por ende es una solución al sistema.

2. a) Sí, $0<11(4)-5$ , y $7(4)-4(0) \ge 1$ .

b) No, $-5=11(0)-5$ no satisface la primera inecuación.

c) Sí, $12<11(7)-5$ , y $7(7)-4(12) \ge 1$ .

d) No, $-3>11(-1)-5$ no satisface la primera inecuación.

Práctica

Une el punto con el sistema o sistemas del cual sea solución.

(0, 3)
(2, -1)
(4, 3)
(2, -1)
(-3, 0)
(4, -1)
(-1, -2)
(2, 1)
(2, 5)
(0, 0)

Une el punto con el sistema o sistemas del cual sea solución.

A. $5x+2y & \le 10\\\3x-4y &> -12$

B. $5x+2y &< 10\\\3x-4y & \le -12$

C. $5x+2y &> 10\\\3x-4y &< -12$

D. $5x+2y & \ge 10\\\3x-4y & \ge -12$

(0, 0)
(4, 6)
(0, 5)
(-3, 4)
(4, 3)
(0, 3)
(-8, -3)
(1, 6)
(4, -5)
(4, -2)

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