Graficar Sistemas de Inecuaciones Lineales

En esta sección graficarás sistemas de inecuaciones lineales con dos o tres ecuaciones e identificarás el área que representa al conjunto de soluciones.

La Srta. Walochek les da a sus estudiantes el siguiente sistema de inecuaciones como tarea. Les pide a sus estudiantes que identifiquen el cuadrante(s) que contiene la solución.

$x \ge 0\\\y \le 1\\\\frac{1}{2}x - 3y < 2$

Caren dice que la solución se encuentra solamente en el primer cuadrante. Bahir dice que se encuentra en los cuadro cuadrantes. ¿Quién tiene razón?

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James Sousa: Ex 1: Graph a System of Linear Inequalities

*Este video solo está disponible en inglés

Orientación

En esta sección graficarás dos y tres inecuaciones lineales en el mismo plano e identificar donde se sobreponen las áreas sombreadas. Esta área de superposición es la solución al sistema. Nota: Si las áreas sombreadas no se sobreponen, significa que no hay soluciones, como se muestra en el Ejemplo B.

Ejemplo A

Grafica e identifica la solución al sistema:

$y &> 2x-3\\\y & \le 4x+1$

Solución:

Ya que ambas inecuaciones se presentan en su forma pendiente-intercepción, podemos usar el intercepto en $y-$ y la pendiente para trazar las rectas. Debido a que la primera inecuación tiene “ $y>$ la recta será discontinua para indicar que no es parte de la solución. El área sombreada corresponderá a la parte superior del eje $y$ Debido a que la segunda inecuación tiene “ $y \le$ ”, la recta será continua para indicar que es parte de la solución. El área sombreada corresponderá a la parte inferior del eje $y$ La inecuación 1 se grafica en ${\color{blue}\mathbf{blue}}$ y la inecuación 2 en ${\color{red}\mathbf{red}}$ . La superposición de las áreas sombreadas (sombreado ${\color{magenta}\mathbf{purple}}$ ) representa la solución.

Ejemplo B

Grafica e identifica la solución al sistema:

$y & \ge -\frac{2}{3}x+2\\\y & \le -\frac{2}{3}x-5$

Solución:

Debido a que la primera inecuación tiene “ $y \ge$ ”, la recta será continua para indicar que es parte de la solución. El área sombreada corresponderá a la parte superior del eje $y$ Debido a que la segunda inecuación tiene “ $y \le$ ” la recta será discontinua para indicar que no es parte de la solución. El área sombreada corresponderá a la parte inferior del eje $y$ La inecuación 1 se grafica en ${\color{blue}\mathbf{blue}}$ y la inecuación 2 en ${\color{red}\mathbf{red}}$ . En este caso las áreas sombreadas no se sobreponen. Esto indica que el sistema no tiene solución.

Ejemplo C

Grafica e identifica la solución al sistema:

$3x-y & <6\\\8x+5y & \le 40$

Solución: Para este ejemplo, vamos a usar una técnica para graficar distinta. Podemos identificar los interceptos de cada ecuación y trazar las rectas usando estos puntos:

Para $3x-y<6$ , los interceptos son (2, 0) y (0, -6).

Para $8x+5y \le 40$ , los interceptos son (5, 0) y (0, 8).

Para la primera inecuación el símbolo es < por ende la recta es discontinua. Ahora, probaremos uno de los puntos para determinar el área sombreada. $\Rightarrow 3(0)-(0)<6$ es un punto fácil de comprobar, (0, 0) es una solución a la inecuación y podemos sombrear el lado de la recta con (0, 0).

Para la segunda inecuación el símbolo es $\le$ por ende la recta es continua. Usando el mismo punto de prueba obtenemos, $(0, 0), \Rightarrow 8(0)+5(0) \le 40$ Esta es una afirmación cierta, por lo que (0, 0) es una solución a la inecuación y podemos sombrear el lado de la recta con (0, 0).

Nuevamente, la inecuación 1 se grafica en ${\color{blue}\mathbf{blue}}$ y la inecuación 2 en ${\color{red}\mathbf{red}}$ . La superposición de las áreas sombreadas (sombreado ${\color{magenta}\mathbf{purple}}$ ) representa la solución.

Ejemplo D

Grafica el sistema de inecuaciones lineales:

$y & < -\frac{2}{3}x+3\\\y & \ge 1\\\x & \ge -4$

Solución:

Al igual que el ejemplo anterior, debemos graficar las rectas, determinar si son discontinuas o continuas y establecer el área de sombreado.

$y<-\frac{2}{3}x+3 \Rightarrow$ Esta inecuación tiene un intercepto en $y-$ de 3 y una pendiente de $-\frac{2}{3}$ . Ya que la inecuación es <, debemos sombrear por debajo de la recta discontinua ${\color{blue}\mathbf{blue}}$ .

$y \ge 1 \Rightarrow$ Esta es una recta horizontal que pasa por el punto (0, 1). La recta será continua y el área sombreada irá por arriba de la recta ${\color{red}\mathbf{red}}$ .

$x \ge -4 \Rightarrow$ Esta es una recta vertical que pasa por el punto (-4, 0). La recta será continua y el área sombreada $({\color{yellow}\mathbf{yellow}})$ irá por arriba de la recta ${\color{green}\mathbf{green}}$ .

La solución de este sistema es la región sombreada (triangular) del centro donde las tres regiones sombreadas se sobreponen. Esta región puede ser difícil de apreciar en un gráfico, por lo que es normal borrar el sombreado que no es parte de la solución para poder distinguir la solución con facilidad.

Revisión del Problema Introductorio Si graficamos las tres inecuaciones en el mismo plano, notarán que gran parte del área de superposición se encuentra en el primer cuadrante y solo una parte pequeña en el cuarto cuadrante. Por lo tanto, ni Caren ni Bahir está en lo correcto.

Práctica Guiada

Grafica e identifica la solución a los sistemas.

1. $y & \le \frac{1}{3} x+5\\\y & > \frac{5}{4}x-2$

2. $4x+y & > 8\\\3x-5y & \le 15$

3. $7x+2y & \le 14\\\3x-9y & \ge 18$

4. $y & \ge 2x-3\\\2x+y &>-8\\\y &>-3$

Respuestas

En cada solución que se presenta a continuación, la primera inecuación del sistema se presenta en ${\color{blue}\mathbf{blue}}$ y la segunda en ${\color{red}\mathbf{red}}$ . El conjunto solución se presenta como el área sombreada superpuesta de color ${\color{magenta}\mathbf{purple}}$ . Cuando en un sistema de tres inecuaciones, solo se muestra el área de solución para evitar la confusión.

Las inecuaciones de este sistema ya se encuentran en su forma pendiente-intercepción por lo que podemos usar la pendiente e intercepto en $y-$ de cada recta para graficarlas y sombrear como se muestra.

$y \le \frac{1}{3}x+5 \Rightarrow$ recta continua y sombreado por abajo

$y>\frac{5}{4}x-2 \Rightarrow$ recta continua y sombreado por arriba

En estas inecuaciones es más simple graficar usando los interceptos en $x$ e $y$ Una vez que hemos graficado las rectas podemos utilizar un punto de prueba para determinar qué lado debe ser sombreado.

$4x+y>8 \Rightarrow$ Los interceptos son (2, 0) y (0, 8) y las rectas deben ser discontinuas. Si probamos el punto (0, 0), la inecuación no es cierta y debemos sombrear el lado de la recta que no contenga (0, 0).

$3x-5y \le 15 \Rightarrow$ Los interceptos son (5, 0) y (0, -3) y las rectas deben ser continuas. Si probamos el punto (0, 0) la inecuación es cierta y debemos sombrear el lado de la recta que incluya (0, 0).

Nuevamente, es más simple graficar usando los interceptos en $x$ e $y$ Una vez que hemos graficado las rectas podemos utilizar un punto de prueba para determinar qué lado debe ser sombreado

$7x+2y \le 14 \Rightarrow$ Los interceptos son (2, 0) y (0, 7) y la recta debe ser continua. Si probamos el punto (0, 0), a inecuación es cierta y debemos sombrear el lado de la recta que contenga (0, 0).

$3x-9y \ge 18 \Rightarrow$ Los interceptos son (6, 0) y (0, -2) y la recta debe ser continua. Si probamos el punto (0, 0) la inecuación no es cierta y debemos sombrear el lado de la recta que no incluya (0, 0).

La inecuación 1 puede ser grafica usando la pendiente y el intercepto en $y-$ Esta recta es continua y el sombreado va por sobre la recta.

Las inecuación 2 puede ser graficada usando los interceptos. La recta es discontinua y podemos usar un punto de prueba para determinar qué área se debe sombrear

La inecuación 3 es una recta horizontal y discontinua. El área de sombreado irá por sobre la recta

La intersección de estas tres áreas se muestra en ${\color{magenta}\mathbf{purple}}$ .

Práctica

Grafica los siguientes sistemas de inecuaciones lineales.

$y & > \frac{1}{2} x-2\\\4x+6y & \le 24$

$y & >-\frac{3}{4}x-1\\\y & > 3x+5$

$y & \le -\frac{2}{3}x+2\\\y & \ge - \frac{5}{3}x-1$

$y & \ge -x-3\\\y & < \frac{1}{5}x+1$

$5x-2y &>-10\\\y & \le - \frac{1}{3}x+2$

$y & > - \frac{4}{5}x-3\\\y & >x$

$y & \le \frac{1}{2}x+4\\\x-2y & \le 2$

$7x-3y &>-21\\\x-4y &<8$

$6x+5y &\le 5\\\2x-3y & \le 12$

$x &<3\\\y & \ge 2x+1$

$y &<2\\\y & \ge -2$

$2x-y & \le 4\\\5x+2y &> 10$

$y & \le -2x+4\\\y & \ge 5x+4\\\y &>\frac{1}{2}x-1$

$x+y & \le 3\\\x & \le 3\\\y & < 3$

$x & > -2\\\y & > -3\\\2x+y & \le 2$

$x & > -2\\\x & \le 4\\\3x+5y & > 15$

$2x+3y &>6\\\5x-2y &<-10\\\x-3y & >3$

$y & \le x\\\y & \ge -x\\\x & < 5$

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