Resolver Sistemas Lineales con Tres Variables

En esta sección aprenderás a identificar soluciones y resolver sistemas lineales con tres variables.

Quieres hacer una ensalada de fruta para un picnic de verano. Tres libras de frutillas más cinco libras de uvas más una libra de melón tienen un costo de $20 . Tres libras de frutillas más dos libras de uvas más dos libras de melón tienen un costo de $21 . Cuatro libras de frutillas más tres libras de uvas más tres libras de melón tienen un costo de $30 . ¿Cuánto cuesta cada fruta?

Orientación

Una ecuación con tres variables, como $2x-3y+4z=10$ , es una ecuación de un plano en tres dimensiones. En otras palabras, esta ecuación representa la relación entre las tres coordenadas de cada punto en un plano. La solución a un sistema de tres ecuaciones con tres variables es un punto en el espacio que satisface las tres ecuaciones. Cuando agregamos una tercera dimensión, se usa la variable , $z$ , para la tercera coordenada. Por ejemplo, el punto (3, -2, 5) sería $x = 3, y = -2$ y $z = 5$ . Una solución se puede verificar al sustituir los valores de $x, y,$ e $z$ en las ecuaciones para comprobar su validez.

Un sistema de tres ecuaciones con tres variables consta de tres planos en el espacio. Estos planos se pueden intersecar o no como se muestra en los siguientes diagramas.

En el primer diagrama, los tres planos se intersecan en un solo punto y por ende existe solo una solución que puede ser encontrada.
El segundo diagrama demuestra cómo tres planos pueden convivir en un mismo espacio, pero no existe una solución al sistema. También es posible tener tres planos paralelos o dos paralelos y uno que los intersecte. En cualquiera de esos casos, no hay un punto que esté presente en los tres planos.
El tercer diagrama muestra tres planos que intersecan en una recta. Cada punto de esta recta es una solución al sistema y por ende existen soluciones infinitas.

Para resolver un sistema de tres ecuaciones con tres variables, usaremos el método de combinación lineal. En esta oportunidad, trabajaremos con dos ecuaciones al mismo tiempo para eliminar una variable. El resultado lo sustituiremos en dos variables para eliminar una segunda variable y resolver para la tercera. Esto es solo una extensión del método de combinación lineal que se usa para resolver sistemas con dos ecuaciones de dos variables.

Ejemplo A

Determina si el punto, (6, -2, 5), es una solución al sistema:

$x-y+z &= 13\\\2x+5y-3z &= -13\\\4x-y-6z &= -4$

Solución: Para que el punto sea una solución al sistema, debe satisfacer las tres ecuaciones.

Primera Ecuación: $(6)-(-2)+(5)=6+2+5=13$

Segunda Ecuación: $2(6)+5(-2)-3(5)=12-10-15=-13$

Tercera Ecuación: $4(6)-(-2)-6(5)=24+2-30=-4$

El punto , (6, -2, 5), satisface las tres ecuaciones. Por lo tanto, es una solución al sistema.

Ejemplo B

Resuelve el sistema usando combinación lineal:

$2x+4y-3z &= -7\\\3x-y+z &= 20\\\x+2y-z &= -2$

Solución: Podemos tomar dos ecuaciones al mismo tiempo y eliminar la misma variable. Podemos tomar las primeras dos ecuaciones y eliminar $z$ , luego tomar la segunda y tercera ecuación y también eliminar $z$ .

$& 2x+4y-3z=-7 \qquad \Rightarrow \quad 2x+4y-\cancel{3z}=-7\\\& 3(3x-y+z=20) \qquad \qquad \ \underline{9x-3y+\cancel{3z}=60}\\\& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 11x+y=53$

El resultado de las ecuaciones 1 y 2 es: $11x+y=53$

$& 3x-y+\cancel{z} = 20\\\& \underline{x+2y-\cancel{z} = -2}\\\& \quad \ \ 4x+y=18$

El resultado de las ecuaciones 2 y 3 es: $4x+y=18$

Ahora que hemos reducido el sistema a dos ecuaciones con dos variables. Podemos eliminar $y$ con mayor facilidad y resolver para $x$ .

$& \quad \ 11x+y=53 \quad \Rightarrow \quad \ 11x+\cancel{y}=53\\\& -1(4x+y=18) \qquad \quad \ \underline{-4x-\cancel{y}=-18}\\\& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad 7x=35\\\& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ x=5$

Luego usamos este valor para encontrar el valor de $y$ :

$4(5)+y &= 18\\\20+y &= 18\\\y &= -2$

Por último, volvemos a una de las ecuaciones originales y reemplazamos los valores de $x$ e $y$ para encontrar el valor de $z$ .

$2(5)+4(-2)-3z &= -7\\\10-8-3z &= -7\\\2-3z &= -7\\\-3z &= -9\\\z &= 3$

Por ende la solución es (5, -2, 3).

No olvides revisar tus respuestas. Sustituye el punto en cada ecuación.

Ecuación 1: $2(5)+4(-2)-3(3)=10-8-9=-7$

Ecuación 2: $3(5)-(-2)+(3)=15+2+3=20$

Ecuación 3: $(5)+2(-2)-(3)=5-4-3=-2$

Ejemplo C

Resuelve el sistema usando combinación lineal:

$x+y+z &= 5\\\5x+5y+5z &= 20\\\2x+3y-z &= 8$

Solución: Junta las ecuaciones 1 y 2 y multiplica la primera ecuación por -5.

$& -5(x+y+z=5) \quad \Rightarrow \quad -5x-5y-5z=-25\\\& \ \ 5x+5y+5z =20 \qquad \quad \underline{\;\; 5x+5y+5z=20 \;\;}\\\& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ 0=-5$

Debido a que el resultado es una ecuación que nunca será cierta, no existe solución a este sistema. Si el resultado es 0 = 0, significa que existen soluciones infinitas.

Revisión del Problema Introductorio El sistema de ecuaciones lineales representado en esta situación es:

$2s + 5g + m = 20\\\3s + 2g + 2m = 21\\\4s + 3g + 3m = 30$

La manera más sencilla de resolver este sistema es resolver $2s + 5g + m = 20$ para m . primero. Esto nos dará como resultado:

$m = 20 - 2s - 5g$

Ahora podemos sustituir el valor de m en las otras dos ecuaciones. Obtendremos como resultado un nuevo sistema de ecuaciones lineales:

$3s + 2g + 2(20 - 2s - 5g) = 21\\\4s + 3g + 3(20 - 2s - 5g) = 30$

Al simplificar ambas ecuaciones obtenemos:

$-s - 8g = -19\\\-2s - 12g = -30$

Si multiplicamos la primera ecuación por –2, obtendremos un nuevo sistema de ecuaciones:

$2s + 16g = 38\\\-2s - 12g = -30$

Ahora podemos sumar estas ecuaciones y eliminar la variable s Esto nos dará como resultado g = 2.

Luego, podemos sustituir el valor de g en cualquiera de las dos ecuaciones para obtener el valor de s :

$-2s - 12(2) = -30$ da como resultado s = 3.

Por último, sustituimos los valores de g y s en una de las ecuaciones originales.

$2(3) + 5(2) + m = 20$ da como resultado m = 4

Por lo tanto, las frutillas tienen un costo de $3 la libra, las uvas $2 y el melón $4.

Práctica Guiada

1. Determina si el punto , (-3, 2, 1), es una solución al sistema:

$x+y+z &= 0\\\4x+5y+z &= -1?\\\3x+2y-4z &=-8$

2. Resuelve el siguiente sistema usando combinación lineal:

$5x-3y+z &= -1\\\x+6y-4z &=-17\\\8x-y+5z &= 12$

3. Resuelve el siguiente sistema usando combinación lineal:

$2x+y-z &= 3\\\x-2y+z &= 5\\\6x+3y-3z &= 6$

Respuestas

1. Verifica si el punto satisface las tres ecuaciones.

Ecuación 1: $(-3)+(2)+(1)=-3+2+1=0$

Ecuación 2: $4(-3)+5(2)+(1)=-12+10+1=-1$

Ecuación 3: $3(-3)+2(2)-4(1)=-9+4-4=-9 \neq -8$

El punto no es una solución al sistema, ya que no satisface la tercera ecuación.

2. Junta las dos primeras ecuaciones para eliminar $z$ . Luego, junta la primera y tercera ecuación para eliminar $z$ .

$& 4(5x-3y+z=-1) \quad \Rightarrow \quad 20x-12y+\cancel{4z}=-4\\\& \quad x+6y-4z=-17 \qquad \quad \ \ \underline{\;\;\;\; x+6y-\cancel{4z}=-17}\\\& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ 21x-6y=-21$

El resultado de las ecuaciones 1 y 2 es: $21x-6y=-21$

$& -5(5x-3y+z=-1) \quad \Rightarrow \quad \ -25x+15y-\cancel{5z}=5\\\& \quad \quad 8x-y+5z=12 \qquad \qquad \ \ \underline{\qquad 8x-y+\cancel{5z}=12}\\\& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad -17x+14y=17$

El resultado de las ecuaciones 1 y 3 es: $-17x+14y=17$

Ahora que hemos reducido el sistema a dos ecuaciones con dos variables. Podemos eliminar $y$ con mayor facilidad y resolver para $x$ .

$& \quad \ 7(21x-6y=-21) \quad \Rightarrow \quad \ \ 147x-\cancel{42y}=-147\\\& 3(-17x+14y=17) \qquad \qquad \ \ \underline{ -51x+\cancel{42y}=51 \;\;\;}\\\& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ 96x=-96\\\& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ x=-1$

Ahora, encuentra el valor de $y$ :

$21(-1)-6y &= -21\\\-21-6y &= -21\\\-6y &= 0\\\y &= 0$

Por último, volvemos a una de las ecuaciones originales y reemplazamos los valores de $y$ y $z$ para encontrar el valor de $x$ .

$5(-1)-3(0) + z & = -1\\\-5 + z & = -1\\\z & = 4$

Por lo tanto la solución es (-1, 0, 4).

No olvides revisar tus respuestas. Sustituye el punto en cada ecuación.

Ecuación 1: $5(-1)-3(0)+(4)=-5+4=-1$

Ecuación 2: $(-1)+6(0)-4(4)=-1-16=-17$

Ecuación 3: $8(-1)-(0)+5(4)=-8+20=12$

3. Junta las primeras dos ecuaciones para eliminar $z$ . Luego, junta la segunda y tercera ecuación para eliminar $z$ .

$& 2x+y-\cancel{z}=3\\\& \underline{x-2y+\cancel{z}=5}\\\& \quad \ \ 3x-y=8$

El resultado de las ecuaciones 1 y 2 es: $3x-y=8$

$& 3(x-2y+z=5) \quad \Rightarrow \quad 3x-6y+\cancel{3z}=15\\\& 6x+3y-3z=6 \qquad \qquad \underline{6x+3y-\cancel{3z}=6\;}\\\& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad 9x-3y=21$

El resultado de las ecuaciones 2 y 3 es: $9x-3y=21$

Ahora que hemos reducido el sistema a dos ecuaciones con dos variables, Podemos juntar las ecuaciones e intentar eliminar otra variable.

$& -3(3x-y=8) \quad \Rightarrow \ \quad -9x+3y=-24\\\& \quad \ 9x-3y=21 \qquad \qquad \underline{\;\;\; 9x-2y=21 \;\;}\\\& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ \ 0= -3$

Debido a que el resultado es una ecuación que nunca será cierta, no existe solución a este sistema.

Práctica

Determina si el punto , (2, -3, 5), es una solución al sistema:

$2x+5y-z &= -16\\\5x-y-3z &= -2\\\3x+2y+4z &= 20$

Determina si el punto , (-1, 3, 8), es una solución al sistema:

$8x+10y-z &= 14\\\11x+4y-3z &=-23\\\2x+3y+z &= 10$

Determina si el punto, (0, 3, 5), es una solución al sistema:

$5x-3y+2z &= 1\\\7x+2y-z &= 1\\\x+4y-3z &= -3$

Determina si el punto , (1, -1, 1), es una solución al sistema:

$x-2y+2z &= 5\\\6x+y-4z &= 1\\\4x-3y+z &= 8$

Resuelve los siguientes sistemas con tres variables utilizando combinación lineal.

$3x-2y+z &= 0\\\4x+y-3z &= -9\\\9x-2y+2z &= 20$

$11x+15y+5z &= 1\\\3x+4y+z &= -2\\\7x+13y+3z &= 3$

$2x+y+7z &= 5\\\3x-2y-z &= -1\\\4x-y+3z &= 5$

$x+3y-4z &= -3\\\2x+5y-3z &= 3\\\-x-3y+z &= -3$

$3x+2y-5z &= -8\\\3x+2y+5z &= -8\\\6x+4y-10z &= -16$

$x+2y-z &= -1\\\2x+4y+z &= 10\\\3x-y+8z &= 6$

$x+y+z &= -3\\\2x-y-z &= 6\\\4x+y+z &= 0$

$4x+y+3z &= 8\\\8x+2y+6z &= 15\\\3x-3y-z &= 5$

$2x+3y-z &= -1\\\x-2y+3z &= -4\\\-x+y-2z &= 3$

$x-3y+4z & = 14\\\-x+2y-5z & = -13\\\2x+5y-3z & =-5$

$x+y+z &= 3\\\x+y-z &= 3\\\2x+2y+z &= 6$