Definir y Comparar Matrices

En esta sección, aprenderás a reconocer que datos quedan mejor organizados y presentados en una matriz, a entender cómo definir una matriz y a comparar matrices.

Para una película matiné, un cine tiene los siguientes precios:

Niños: $5, Adultos: $8, Adultos Mayores: $6

Para misma película pero en la noche, el cine tiene los siguientes precios:

Niños: $7, Adultos: $10, Adultos Mayores: $8

¿Cómo podemos ordenar estos datos para poder comparar los precios con mayor facilidad?

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Khan Academy: Introduction to matrices

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Orientación

Una matriz consta de datos organizados en filas y columnas que forman un rectángulo. Por ejemplo, podríamos organizar los datos recopilados en un puesto de comida de un cine durante una matiné en la siguiente matriz:

$& \quad S \quad M \quad L\\\\begin{matrix}\text{popcorn \ }\\\\text{ \quad soda \ }\end{matrix} & \begin{bmatrix}20 & 46 & 32\\\15 & 53 & 29\end{bmatrix}$

Ahora podemos comparar con mayor facilidad las cantidades vendidas en cada tamaño de palomitas. Estos valores en la matriz se llamas elementos.

Esta matriz en particular tiene dos filas y tres columnas. Las matrices suelen ser descritas por sus dimensiones (filas y columnas). Esta matriz es una matriz del tipo $2 \times 3$ (se lee como 2 por 3).

Las variables $m$ (filas) y $n$ (columnas) se usan para representar dimensiones desconocidas. Las matrices con igual número de filas y columnas $(m=n)$ se llaman matrices cuadradas .

Las matrices que tienen las mismas dimensiones y todos los elementos correspondientes iguales se conocen como matrices iguales .

Ejemplo A

Usando la matriz anterior, ¿cuál es el valor del elemento situado en la segunda fila, segunda columna?

Solución:

$& \qquad \qquad \qquad \qquad {\color{red}{\text{Column 2}}}\\\& \qquad \qquad \quad \qquad \qquad \ \ \downarrow\\\& \quad \qquad \qquad \qquad \quad S \quad M \quad L\\\& \begin{matrix}\text{\qquad \ \ popcorn \ }\\\{\color{red}{\text{Row 2}}} \rightarrow \text{soda \ }\end{matrix}\begin{bmatrix}20 & 46 & 32\\\15 & \boxed{53} & 29 \end{bmatrix}$

Debemos buscar donde se sobrepone la segunda fila con la segunda columna e identificar el elemento en ese punto. En este caso, es 53.

Ejemplo B

Determina las dimensiones $(m \times n)$ de las siguientes matrices.

a) $\begin{bmatrix}3 & 2\\\-1 & 0\end{bmatrix}$

b) $\begin{bmatrix}4 & -3 & 2 & 7\\\3 & 5 & -4 & 6\\\9 & 1 & 0 & -2\end{bmatrix}$

c) $\begin{bmatrix}2\\\-3\\\1\end{bmatrix}$

Solución:

a) Esta matriz tiene 2 filas y 2 columnas. Por lo tanto, es una matriz de $2 \times 2$ .

b) Esta matriz tiene 3 filas y 4 columnas. Por lo tanto, es una matriz de $3 \times 4$ .

c) Esta matriz tiene 3 filas y 1 columnas. Por lo tanto, es una matriz de $3 \times 1$ .

Ejemplo C

¿Cuáles matrices son iguales entre sí? Justifica tu respuesta.

$A = \begin{bmatrix}1 & -5\\\-2 & 4\\\8 & 3\end{bmatrix} \qquad B = \begin{bmatrix}-5 & 4 & 3\\\1 & -2 & 8\end{bmatrix} \qquad C = \begin{bmatrix}1 & -5\\\-2 & 4\\\8 & 3\end{bmatrix}$

Solución:

Las matrices $A$ y $C$ son matrices iguales. Ambas son matrices de $3 \times 2$ y tienen los mismos elementos. La matriz $B$ es de $2 \times 3$ Tiene los mismos elementos, pero está organizada de manera distinta, lo que le impide ser igual a las otras dos.

Revisión del Problema Introductorio Para facilitar la comparación de los precios, podemos organizar la información en una matriz como se muestra abajo:

$& \quad K \quad A \quad S\\\\begin{matrix}\text{Matinee \ }\\\\text{ \quad Night \ }\end{matrix} & \begin{bmatrix}5 & 8 & 6\\\7 & 10 & 8\end{bmatrix}$

Práctica Guiada

1. ¿Cuáles son las dimensiones de la matriz: $[ 3 \quad -5 \quad 1 \quad 0]$ ?

2. En la matriz, $\begin{bmatrix}8 & -5 & 4\\\-2 & 6 & -3\\\3 & 0 & -7\\\1 & 3 & 9\end{bmatrix},$ ¿cuál es el elemento de la segunda fila, tercera columna?

3. ¿Son las matrices $A = [-1 \quad 4 \quad 9]$ y $B = \begin{bmatrix}-1\\\4\\\9\end{bmatrix}$ iguales?

Respuestas

1. Las dimensiones son $1 \times 4$ .

2. El elemento es -3, como se muestra abajo:

$& \qquad \qquad \qquad \qquad {\color{red}{\text{Column \ 3}}}\\\& \qquad \quad \qquad \qquad \qquad \ \downarrow\\\& \begin{matrix}{\color{red}{\text{Row 2 }}} \rightarrow\end{matrix}\begin{bmatrix}\\\8 & -5 & 4\\\-2 & 6 & \boxed{-3}\\\3 & 0 & -7\\\1 & 3 & 9\end{bmatrix}$

3. No, $A$ y $B$ no son matrices iguales. Tienen los mismos elementos, pero las dimensiones son distintas.

Vocabulario

Matriz: Una disposición rectangular de elementos de datos que se presentan en filas y columnas.

Elementos: Los valores (números) de una matriz.

Dimensiones: El número de filas, $m$ , y columnas, $n$ , de una matriz.

Matrices cuadradas: Matrices con igual número de filas y columnas $m=n$ .

Matrices iguales: Matrices con el mismo número de dimensiones y elementos.

Práctica

Usa las siguientes matrices para responder las preguntas:

$A = \begin{bmatrix}2 & 3 & 1\\\-5 & -8 & 4\end{bmatrix} \qquad B = \begin{bmatrix}2 & 1\\\-3 & 5\end{bmatrix} \qquad C = \begin{bmatrix}-5 & 1 & 3\\\8 & -2 & 6\\\4 & 9 & 7\end{bmatrix}$

$D = \begin{bmatrix}2 & 1\\\-3 & 5\end{bmatrix} \qquad E = \begin{bmatrix}-5 & 2\\\-8 & 3\\\4 & 1\end{bmatrix} \qquad F = \begin{bmatrix}5 & -1 & 8\\\-2 & 6 & -3\\\\end{bmatrix}$

¿Cuáles son las dimensiones de la matriz
1. Matriz $B$ ?
2. Matriz $E$ ?
3. Matriz $F$ ?
¿Cuáles matrices tienen las mismas dimensiones?
¿Cuáles matrices son cuadradas?
¿Cuáles matrices son iguales?
¿Cuál es el elemento en la fila 1, columna 2 de la Matriz $C$ ?
¿Cuál es el elemento en la fila 3, columna 1 de la Matriz $E$ ?
¿Cuál es el elemento en la fila 1, columna 1 de la Matriz $D$ ?
Escribe una matriz con dimensiones $3 \times 4$ .
Escribe una matriz con dimensiones $7 \times 2$ .

Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

Las dimensiones $3x2$ y $2x3$ son iguales.
Dos matrices son iguales si cada elemento de ambas matrices son iguales.
Una matriz es una forma de organizar datos.
13. El elemento en la fila 2, columna 2 de la matriz $F$ es -1.
El elemento en la fila 2, columna 2 de la matriz $F$ es 6.
15. Organiza los siguientes datos en una matriz: Una profesora de matemática programó tres pruebas durante el semestre. En la primera prueba hubo 10 notas 7, 8 notas 6, 12 notas 5, 4 notas 4 y 1 nota 3. En la segunda prueba, 8 notas 7, 11 notas 6, 14 notas 5, 2 notas 4 y 0 nota 3. En la tercera prueba, 13 notas 7, 7 notas 6, 8 notas 5, 4 notas 4 y 3 notas 3.

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