Sumar y Restar Matrices

En esta sección, aprenderás a sumar y restar matrices con iguales dimensiones.

Usando el mismo ejemplo del cine de la lección anterior, ¿cómo podríamos determinar la diferencia en precios de las funciones matiné y nocturna?

Recuerda que los precios de una película de matiné son los siguientes:

Niños: $5, Adultos: $8, Adultos Mayores: $6

Para misma película pero nocturna, el cine tiene los siguientes precios:

Niños: $5, Adultos: $8, Adultos Mayores: $8

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James Sousa: Matrix Addition, Subtraction, and Scalar Multiplication

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Orientación

Si dos matrices tienen las mismas dimensiones, estas se pueden sumar o restar. Para ello, se deben sumar o restar los elementos de las matrices como se muestra a continuación.

Suma:

$\begin{bmatrix}a & b\\\c & d\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}e & f\\\g & h\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a+e & b+f\\\c+g & d+h\end{bmatrix}$

Resta:

$\begin{bmatrix}a & b\\\c & d\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}e & f\\\g & h\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a-e & b-f\\\c-g & d-h\end{bmatrix}$

No es necesario que las matrices sean matrices cuadradas. Sí es necesario que ambas tengan las mismas dimensiones. En otras palabras, se pueden sumar dos matrices del tipo $2 \times 3$ , pero no una de $2 \times 2$ con otra de $3 \times 2$ Antes de intentar sumar dos matrices, debes comprobar que tengan las mismas dimensiones.

Estudio: Propiedades Conmutativa y Asociativa de la Suma

La propiedad conmutativa de la suma establece que $a + b = b + a$ para los números reales, $a$ y $b$ . ¿Se mantiene esta propiedad en las matrices? La propiedad asociativa de la suma establece que $a + (b + c) = (a + b) + c$ para los números reales, $a, b$ y $c$ . ¿Se mantiene esta propiedad en las matrices? Considera las siguientes matrices:

$A = \begin{bmatrix}-3 & 7\\\4 & -1 \end{bmatrix} \qquad B = \begin{bmatrix}5 & 1\\\-8 & -2 \end{bmatrix} \qquad C = \begin{bmatrix}-6 & -10\\\5 & 3 \end{bmatrix}$

1. Calcula $A + B \Rightarrow \begin{bmatrix}-3 & 7\\\4 & -1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}5 & 1\\\-8 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 & 8\\\-4 & -3 \end{bmatrix}$

2. Calcula $B + A \Rightarrow \begin{bmatrix}5 & 1\\\-8 & -2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}-3 & 7\\\4 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 & 8\\\-4 & -3 \end{bmatrix}$

Ya que $A + B = B + A$ , podemos asumir que la suma de la matriz es conmutativa.

3. Calcula $(A + B) + C \Rightarrow \left( \begin{bmatrix}-3 & 7\\\4 & -1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}5 & 1\\\-8 & -2 \end{bmatrix} \right) + \begin{bmatrix}-6 & -10\\\5 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 & 8\\\-4 & -3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}-6 & -10\\\5 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-4 & -2\\\1 & 0 \end{bmatrix}$

4. Calcula $A + (B + C) \Rightarrow \begin{bmatrix}-3 & 7\\\4 & -1 \end{bmatrix} + \left( \begin{bmatrix}5 & 1\\\-8 & -2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}-6 & -10\\\5 & 3 \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix}-3 & 7\\\4 & -1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}-1 & -9\\\-3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-4 & -2\\\1 & 0 \end{bmatrix}$

Ya que $(A + B) + C = A + (B + C)$ , podemos asumir que la propiedad asociativa también se aplica en matrices.

Propiedades de la Suma de Matrices

Propiedad Conmutativa: $A + B = B + A$

Propiedad Asociativa: $(A + B) + C = A + (B + C)$

$^*$ Estas propiedades no se aplican a restas con números reales. Por ejemplo: $7 -5 \ne 5 - 7$ . Ya que no se aplican a restas con números reales, tampoco sirven en restas de matrices.

Ejemplo A

Suma las siguientes matrices: $\begin{bmatrix}4 & -5 & 6\\\-3 & 7 & 9 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}-1 & 4 & 8\\\0 & -3 & 12 \end{bmatrix} =$

Solución:

Al sumar los elementos en el orden correspondiente obtenemos:

$\begin{bmatrix}4 & -5 & 6\\\-3 & 7 & 9 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}-1 & 4 & 8\\\0 & -3 & 12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}4+-1 & -5+4 & 6+8\\-3+0 & 7+-3 & 9+12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3 & -1 & 14\\-3 & 4 & 21 \end{bmatrix}$

Ejemplo B

Resta las siguientes matrices: $\begin{bmatrix}-7\\\6\\\-9\\\10 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix}-3\\\-2\\\8\\\15 \end{bmatrix} =$

Solución:

Al restar los elementos en el orden correspondiente obtenemos:

$\begin{bmatrix}-7\\\6\\\-9\\\10 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix}-3\\\-2\\\8\\\15 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-7-(-3)\\6-(-2)\\-9-8\\10-15 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-4\\8\\-17\\-5 \end{bmatrix}$

Ejemplo C

Realiza la operación indicada: $\begin{bmatrix}-4 & 2\\\5 & -3\\\13 & 8 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}7 & -1 & 0\\\-5 & 2 & 6 \end{bmatrix}$

Solución:

En este caso, la primera matriz es de $3 \times 2$ y la segunda de $2 \times 3$ . Debido a que tienen diferentes dimensiones, no se pueden sumar.

Revisión del Problema Introductorio Podemos organizar los datos en dos matrices separadas y restarlas.

$\begin{bmatrix}7 & 10 & 8\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}5 & 8 & 6\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 & 2 & 2\end{bmatrix}$

Ahora podemos observar con facilidad que el cine cobra $2 más por cada tipo de entrada en funciones nocturnas.

Práctica Guiada

Realiza la operación indicada.

1. $\begin{bmatrix}3 & -7\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}-1 & 8\end{bmatrix}$

2. $\begin{bmatrix}1\\\-5 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix}3 & -3\\\4 & 1 \end{bmatrix}$

3. $\begin{bmatrix}6 & -7\\\-11 & 5 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix}-2 & 4\\\-3 & 9 \end{bmatrix}$

Respuestas

1. $\begin{bmatrix}3 & -7 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}-1 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3+(-1) & -7+8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 & 1 \end{bmatrix}$

2. Estas matrices no pueden ser restadas porque tienen diferentes dimensiones.

3. $\begin{bmatrix}6 & -7\\\-11 & 5 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix}-2 & 4\\\-3 & 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}6-(-2) & -7-4\\-11-(-3) & 5-9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}8 & -11\\-8 & -4 \end{bmatrix}$

Práctica

Realiza la operación indicada (si es posible).

$\begin{bmatrix}2 & -1\\\5 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}-6 & 0\\\3 & -4 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}3 & -2\\\-5 & 1\\\10 & 9 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix}-2 & 7\\\10 & -8\\\7 & 5 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}4 \\\-2\\\12\\\7 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}-1 \\\9 \\\-2 \\\0 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}-1 & -4 & -1 & 12\\\2 & 6 & 14 & 5\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}-3 & 1\\\7 & -6 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}4 & -1\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0 & 5\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}-12 & 3 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}3 & 5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}-2 & -1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}2\\\7 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}-3 & 5 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}11 & 7 & -3\\\9 & 15 & 8 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}20 & -4 & 7\\\1 & 11 & -13 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}25\\\19\\\-5 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix}11\\\20\\\-3 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}2 & -5 & 3\\\9 & 15 & 8\\\-1 & -4 & 6 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}-3 & 8 & -3\\\11 & -6 & -7\\\0 & 8 & 5 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}-3 & 2\\\4 & -1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix}6 & -11 & 13\\\17 & 8 & 10 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}-5 & 2\\\9 & -3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}-3 & -5\\\8 & 12 \end{bmatrix}$

$\left( \begin{bmatrix}5 & -2\\\-3 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}-8 & 5\\\6 & 13 \end{bmatrix} \right) - \begin{bmatrix}-10 & 8\\\9 & 1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}-5 & 2\\\11 & 3 \end{bmatrix} - \left( \begin{bmatrix}8 & -2\\\3 & 5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}-12 & 3\\\-6 & 15 \end{bmatrix} \right)$

$\left( \begin{bmatrix}22 & -7\\\5 & 3\\\11 & -8 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix}-8 & 9\\\15 & 12\\\10 & -1 \end{bmatrix} \right) + \begin{bmatrix}5 & 11\\\17 & -3\\\-9 & 4 \end{bmatrix}$

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