Multiplicar Matrices por un Escalar

En esta sección, aprenderás a multiplicar una matriz por un escalar.

Un grupo de 8 niños, uno de 8 adultos y uno de 8 adultos mayores van al cine.

Para una película matiné, el cine tiene los siguientes precios:

Niños: $5, Adultos: $8, Adultos Mayores: $6

Para misma película pero nocturna, el cine tiene los siguientes precios:

Niños: $7, Adultos: $10, Adultos Mayores: $8

¿Cómo podemos determinar cuánto pagará cada grupo en los diferentes horarios?

Orientación

Una matriz puede ser multiplicada por un escalar. Un escalar es un número real en el algebra de matrices, no es una matriz. Para multiplicar una matriz por un escalar, cada elemento de la matriz debe ser multiplicado por el escalar como se muestra a continuación:

$\ k \begin{bmatrix}a & b\\\c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}ka & kb\\\kc & kd \end{bmatrix}, \ \text{where} \ k \ \text{is a scalar}.$

Estudio: Propiedad Distributiva de la Multiplicación Escalar

Veamos que sucede cuando distribuimos la multiplicación de un escalar en una suma de matrices. Considera la siguiente expresión: $3 \left( \begin{bmatrix}2\\\-5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}-3\\\6 \end{bmatrix} \right)$

Método 1: Realiza la suma dentro del paréntesis primero y luego multiplica por el escalar:

$3\left( \begin{bmatrix}2\\\-5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}-3\\\6 \end{bmatrix} \right) = 3\begin{bmatrix}-1\\\1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-3\\\3 \end{bmatrix}$

Método 2: Distribuye el escalar en ambas ecuaciones y luego suma:

$3 \left( \begin{bmatrix}2\\\-5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}-3\\\6 \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix}6\\-15 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}-9\\18 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-3\\3 \end{bmatrix}$

Los resultados son equivalentes, por lo que podemos suponer que la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma es cierta para multiplicaciones escalares de matrices. Esta propiedad también puede ser aplicada en restas.

Propiedades de la Multiplicación Escalar

Propiedad Distributiva de la Suma: $k(A+B) = kA+kB$

Propiedad Distributiva de la Resta: $k(A-B) = kA-KB$

Ejemplo A

Realiza una multiplicación escalar: $2\begin{bmatrix}-4 & \frac{1}{2}\\\-1 & 3 \end{bmatrix}$

Solución: En este caso, solo debemos multiplicar cada elemento de la matriz por 2.

$\begin{bmatrix}2(-4) & 2\left( \frac{1}{2} \right)\\\2(-1) & 2(3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-8 & 1\\\-2 & 6 \end{bmatrix}$

Ejemplo B

Realiza la operación indicada: $3\left( \begin{bmatrix}2\\\-1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}\frac{2}{3}\\\4 \end{bmatrix} \right)$

Solución: En este caso, debemos decidir si queremos distribuir el 3 en el paréntesis y luego sumar o sumar primero y luego multiplicar por 3. Ambas opciones son correctas. Sin embargo, si nos fijamos bien notaremos que hay una fracción dentro de la segunda matriz. Al distribuir 3 primero, podemos eliminar la fracción y facilitar la suma, como se muestra a continuación.

$\left( 3\begin{bmatrix}2\\\-1 \end{bmatrix} + 3\begin{bmatrix}\frac{2}{3}\\\4 \end{bmatrix} \right) = \left( \begin{bmatrix}6\\\-3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}2\\\12 \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix}8\\\9 \end{bmatrix}$

Ejemplo C

Realiza la operación indicada: $\frac{1}{2} \left( \begin{bmatrix}7 & -1\\\2 & 8 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}-3 & 5\\\2 & 0 \end{bmatrix} \right)$

Solución: Nuevamente, debemos elegir entre multiplicar o sumar primero. Al parecer, es más sencillo sumar primero y luego multiplicar.

$\frac{1}{2} \begin{bmatrix}7+-3 & -1+5\\\2+2 & 8+0 \end{bmatrix} = \frac{1}{2}\begin{bmatrix}4 & 4\\\4 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 & 2\\\2 & 4 \end{bmatrix}$

De esta manera, evitamos las fracciones.

Revisión del Problema Inicial Podemos organizar los datos en una matriz y luego multiplicar por el escalar 8.

$& \quad K \quad A \quad S\\\\begin{matrix}\text{Matinee \ }\\\\text{ \quad Night \ }\end{matrix} & 8\begin{bmatrix}5 & 8 & 6\\\7 & 10 & 8\end{bmatrix} =$ $& \quad K \quad A \quad S\\\\begin{matrix}\text{Matinee \ }\\\\text{ \quad Night \ }\end{matrix} & \begin{bmatrix}40 & 64 & 48\\\56 & 80 & 64\end{bmatrix}$

Ahora podemos observar con facilidad que la función matiné al grupo de adultos le costaría $64, la función nocturna al grupo de niños le costaría $56, etc.

Práctica Guiada

Realiza las operaciones indicadas en cada uno de los siguientes problemas.

1. $\frac{2}{3} \begin{bmatrix}0\\\6\\\9 \end{bmatrix}$

2. $-\frac{2}{3} \left( \begin{bmatrix}2 & -3 & 5 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix}-1 & 0 & 2 \end{bmatrix} \right)$

3. $12\left( \begin{bmatrix}\frac{3}{4} & -\frac{2}{3}\\\\frac{1}{6} & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}1 & \frac{5}{6}\\\\frac{2}{3} & \frac{5}{4} \end{bmatrix} \right)$

Respuestas

1. Multiplica cada elemento dentro de la matriz por $\frac{2}{3}$ :

$\begin{bmatrix}\frac{2}{3}(0)\\\\frac{2}{3}(6)\\\\frac{2}{3}(9) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\\4\\\6 \end{bmatrix}$

2. Si restamos el interior del paréntesis primero, podemos evitar fracciones:

$- \frac{2}{3} \left( \begin{bmatrix}2-(-1) & -3-0 & 5-2 \end{bmatrix} \right) = - \frac{2}{3} \begin{bmatrix}3 & -3 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-2 & 2 & -2 \end{bmatrix}$

3. Si distribuimos primero, podemos evitar fracciones:

$\left( 12\begin{bmatrix}\frac{3}{4} & -\frac{2}{3}\\\\frac{1}{6} & 2 \end{bmatrix} + 12\begin{bmatrix}1 & \frac{5}{6}\\\\frac{2}{3} & \frac{5}{4} \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix}9 & -8\\\2 & 24 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}12 & 10\\\8 & 15 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}21 & 2\\\10 & 39 \end{bmatrix}$

Práctica

Realiza la operación indicada, si es posible.

$3\begin{bmatrix}2 & -1\\\8 & 0 \end{bmatrix}$

$-2\begin{bmatrix}-6 & 8\\\5 & -2 \end{bmatrix}$

$\frac{2}{3}\begin{bmatrix}12\\\6 \end{bmatrix}$

$-\frac{3}{2}\begin{bmatrix}8 & 0 & -4\\\-6 & 2 & 10 \end{bmatrix}$

$5\begin{bmatrix}-3 & 1 & 2 \end{bmatrix}$

$-1 \begin{bmatrix}2 & -3\\\5 & 1\\\-8 & -10 \end{bmatrix}$

$2 \begin{bmatrix}1 & 2\\\4 & -1\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}4 & -2\\\-3 & -7 \end{bmatrix}$

$3 \begin{bmatrix}4 & -5 & -1 \end{bmatrix} + 4\begin{bmatrix}8 & -1 & 5\end{bmatrix}$

$-2 \begin{bmatrix}2 & -3 & 0 \\\-1 & -4 & 3 \\\-1 & -1 & 4 \end{bmatrix} - (-1)\begin{bmatrix}3 & 3 & -2\\\-4 & -10 & 8\end{bmatrix}$

$-2 \left( \begin{bmatrix}\frac{1}{2} & \frac{5}{2} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix}3 & -1 \end{bmatrix} \right)$

$-\frac{1}{3} \left( \begin{bmatrix}5\\\-2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix}2\\\4 \end{bmatrix} \right)$

$3\begin{bmatrix}8 & -2\\\\frac{1}{3} & 5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}2 & 4\\\-6 & -1 \end{bmatrix}$

$2\begin{bmatrix}\frac{3}{7}\\\\frac{3}{4} \end{bmatrix}$

$-6\left( \begin{bmatrix}\frac{1}{3} & 0\\\2 & - \frac{2}{3} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}5 & 1\\\- \frac{1}{6} & 2 \end{bmatrix} \right)$

$\begin{bmatrix}-2\\\3\\\8 \end{bmatrix} -5\left( \begin{bmatrix}\frac{1}{5}\\\- \frac{2}{5}\\\\frac{11}{5} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}-2\\\\frac{1}{5}\\\- \frac{3}{5} \end{bmatrix} \right)$

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