Multiplicar Dos Matrices

En esta sección, aprenderás a multiplicar matrices.

El Sr. Hwan escribe las siguientes matrices en la pizarra y le pide a sus alumnos que las multipliquen.

$\begin{bmatrix}-3 & 1\\\2 & 0 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}4\\\-1 \end{bmatrix}$

Cuando terminaron de multiplicar, les pregunta lo siguiente, “¿Cuál es el elemento de la primera fila, segunda columna según sus respuestas?”

Wanda dice que las matrices no se pueden multiplicar, ya que no tienen las mismas dimensiones. Por lo tanto, no hay respuesta.

Xavier dice que el producto es una matriz de 2 x1, así que no hay segunda fila, ni elemento.

Zach dice que el elemento es 8.

¿Quién tiene razón?

Orientación

Para multiplicar matrices, debemos multiplicar cada elemento de cada fila de la primera matriz por cada elemento de cada columna de la segunda matriz. Cada producto será sumado para obtener el resultado de las filas y columnas por separado, como se muestra a continuación.

$\begin{bmatrix}\color{red}{a} & \color{red}{b}\\\c & d \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}\color{red}{e} & f\\\\color{red}{g} & h \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\color{red}{ae}+\color{red}{bg} & af+bh\\\ce+dg & cf+dh \end{bmatrix}$

Ejemplo A

Multiplica las matrices: $\begin{bmatrix}2 & 3\\\-1 & 5 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-6 & 0\\\4 & 1 \end{bmatrix}$

Solución:

Al seguir la regla presentada arriba, obtenemos:

$\begin{bmatrix}2(-6)+3(4) & 2(0)+3(1)\\\-1(-6)+5(4) & -1(0)+5(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-12+12 & 0+3\\\6+20 & 0+5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 & 3\\\26 & 5 \end{bmatrix}$

Ejemplo B

Multiplica las matrices: $\begin{bmatrix}-1 & 3\\\7 & 0\\\4 & -2 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}5 & 8\\\-1 & 2 \end{bmatrix}$

Solution:

Para multiplicar estas matrices debemos ampliar el patrón dado anteriormente para una matriz de $3\times2$ con una de $2\times2$ No es necesario que las matrices tengan las mismas dimensiones para multiplicarlas. Sin embargo, hay limitaciones que se analizarán en la siguiente sección. Todas las multiplicaciones de matrices en esta sección son posibles.

Entonces, multipliquemos cada fila de la primera matriz por cada columna de la segunda:

$\begin{bmatrix}-1 & 3\\\7 & 0\\\4 & -2 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}5 & 8\\\-1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-1(5)+3(-1) & -1(8)+3(2)\\7(5)+0(-1) & 7(8)+0(2)\\4(5)+-2(-1) & 4(8)+-2(2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-5-3 & -8+6\\35+0 & 56+0\\20+2 & 32-4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-8 & -2\\35 & 56\\22 & 28 \end{bmatrix}$

Ejemplo C

Multiplica las matrices: $\begin{bmatrix}3 & -7 & 1\\\2 & 8 & -5 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}2\\\0\\\9 \end{bmatrix}$

Solución:

En algunos casos, no solo las dimensiones de las matrices son diferentes, la dimensión del resultado es distinta de cualquiera de las matrices multiplicadas, como se muestra en este ejemplo. Multiplica las matrices:

$\begin{bmatrix}3 & -7 & 1\\\2 & 8 & -5\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}2\\\0\\\9\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3(2)+-7(0)+1(9) & 2(2)+8(0)+-5(9)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}6+0+9 & 4+0-45\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}15 & -41\end{bmatrix}$

Revisión del Problema Introductorio Al multiplicar las matrices se obtiene el siguiente resultado:

$\begin{bmatrix}-7\\\8 \end{bmatrix}$

Las matrices pueden ser multiplicadas, pero no hay primera fila, segunda columna en la nueva matriz. El elemento 8 se encuentra en la segunda fila, primera columna. Por lo tanto Xavier tiene razón.

Práctica Guiada

Multiplica las matrices.

1. $\begin{bmatrix}-4 & 1\\\5 & -3 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}2\\\-1 \end{bmatrix}$

2. $\begin{bmatrix}-3\\\2\\\5 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-2 & -1 & 4 \end{bmatrix}$

3. $\begin{bmatrix}5 & -2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}1 & 4\\\-3 & -7 \end{bmatrix}$

Respuestas

1. $\begin{bmatrix}-4 & 1\\\5 & -3 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}2\\\-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-4(2)+1(-1)\\5(2)+-3(-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-8-1\\10+3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-9\\13 \end{bmatrix}$

2. $\begin{bmatrix}-3\\\2\\\5 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-2 & -1 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-3(-2) & -3(-1) & -3(4)\\2(-2) & 2(-1) & 2(4)\\5(-2) & 5(-1) & 5(4) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}6 & 3 & -12\\-4 & -2 & 8\\-10 & -5 & 20 \end{bmatrix}$

3. $\begin{bmatrix}5 & -2 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}1 & 4\\\-3 & -7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5(1)+-2(-3) & 5(4)+-2(-7) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5+6 & 20+14 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}11 & 34 \end{bmatrix}$

Práctica

Multiplica las matrices.

$\begin{bmatrix}2 & -1\\\0 & 3 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-4 & 3\\\2 & 5 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}-2 & 7 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}1 & -4\\\5 & 3 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}-3 & 2\\\5 & -4\\\-1 & 6 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-1 & 3\\\4 & -2 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}-8 & 1\\\3 & 5 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-4\\\7 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}-1\\\4\\\8 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}2 & -3 & 6 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}-5 & 1 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-9 & 3 & 0\\\2 & -1 & 6 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}4 & -1\\\5 & 3 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}2\\\6 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}-2 & 4 & 7 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}3\\\-1\\\5 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}-1 & 2 & -4\\\5 & 3 & 1\\\-5 & 2 & -1 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}2 & -3 & 5\\\6 & 2 & 1\\\-4 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}1 & -2 & 4 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-3 & 1 & 2\\\5 & -1 & 6\\\1 & 2 & -7 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}6 & 11\\\1 & 2 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}2 & -11\\\-1 & 6 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}-4 & 5 & 7\\\1 & 2 & -3\\\9 & -6 & 8 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}1\\\2\\\-1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}-2 & -1 & 3\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-4\\\5\\\-8 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}-10 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}15\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}2 & 4 \\\-1 & -2 \\\7 & -12 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}5\\\-3\end{bmatrix}$

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