Limitaciones de la Multiplicación de Matrices

En esta sección, conocerás y aplicarás las limitaciones de la multiplicación de matrices.

El Sr. Hwan escribe la siguiente matriz en la pizarra y le pide a sus alumnos que escriban una matriz que puedan multiplicar por la que él escribió.

$\begin{bmatrix}-3 & 1\\\2 & 0\\\4 & -3 \end{bmatrix}$

Wanda escribe la matriz $\begin{bmatrix}-1 & 2\\\5 & 3\\\0 & -2 \end{bmatrix}$ .

Xavier escribe la matriz $\begin{bmatrix}2 & -3\\\7 & 1 \end{bmatrix}$ .

Zach escribe la matriz $\begin{bmatrix}-4 & 1 & 0\\\8 & 5 & -3 \end{bmatrix}$ .

“Uno de ustedes cometió un error”, les dice el Sr. Hwan. ¿Quién se equivoco?

Orientación

La multiplicación de matrices tiene ciertas limitaciones que conocerás en el siguiente estudio.

La multiplicación de matrices tiene ciertas limitaciones que conocerás en el siguiente estudio

Parte 1:

Presta atención a las dimensiones de las siguientes matrices. Intenta multiplicar las matrices. ¿Notas algo?

1. $\begin{bmatrix}-2 & 3\\\1 & -5 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}1 & -4\end{bmatrix}$

2. $\begin{bmatrix}-2\\\3\\\5\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}4\\\-1\\\0\end{bmatrix}$

3. $\begin{bmatrix}5\\\-1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-3 & 1\\\4 & 3\end{bmatrix}$

1. Estas matrices son de $2 \times 2$ y $1 \times 2$ . Al intentar multiplicarlas, no hay elementos para multiplicar en la segunda columna, como se muestra a continuación:

$\begin{bmatrix}-2 & 3\\\1 & -5\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}1 & -4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-2(1)+3(?) & -2(-4)+3(?)\\\1(1)+-5(?) & 1(-4)+-5(?)\end{bmatrix}$

2. Estas matrices son de $3 \times 1$ . Mira lo que sucede cuando intentamos multiplicarlas:

$\begin{bmatrix}-2\\\3\\\5\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}4\\\-1\\\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-2(4)+?(-1)+?(0) & \ \\\\\\\end{bmatrix}$

Se puede observar con claridad que hay un problema.

3. En este caso las matrices son de $2 \times 1$ y $2 \times 2$ Nuevamente, tenemos un problema para multiplicar:

$\begin{bmatrix}5\\\-1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-3 & 1\\\4 & 2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5(-3)+?(4) & \\\\\\\end{bmatrix}$

Requisitos: Para multiplicar dos matrices, $A$ y $B$ , el número de columnas en la matriz $A$ debe ser igual al número de filas en la matriz B.

Ahora, revisemos algunos de los problemas de la sección anterior, Multiplicar Matrices . ¿Qué notas en las dimensiones de dos matrices cuando es posible multiplicarlas? ¿Puedes hacer una suposición sobre los requisitos de las dimensiones de las matrices?

Mira este ejemplo: $\begin{bmatrix}-2 & 3\\\1 & 5\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}4\\\-1\end{bmatrix}.$ En este caso tenemos $2 \times {\color{red}2} \cdot {\color{red}2} \times 1$ . Los dos números en el centro son los mismos (es decir, el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de las segunda matriz). Los números de los extremos son 2 y 1. Por ende, la matriz resultante tendrá estas dimensiones: $2 \times 1$ .

Dimensiones del Producto: El producto de dos matrices, $A$ y $B$ , tendrá las siguientes dimensiones: el número de filas de la matriz $A$ y el número de columnas de la matriz $B$ .

Parte 2:

Usa las siguientes matrices para este ejercicio:

$A = \begin{bmatrix}-2 & 5\\\1 & 3\end{bmatrix}, \ B = \begin{bmatrix}1 & 3\\\0 & -5\end{bmatrix}$

1. Encuentra el valor de $AB$ : $\begin{bmatrix}-2 & 5\\\1 & 3\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}1 & 3\\\0 & -5\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-2+0 & -6-25\\\1+0 & 3-15\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-2 & -31\\\1 & -12\end{bmatrix}$

2. Encuentra el valor de $BA$ : $\begin{bmatrix}1 & 3\\\0 & -5\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-2 & 5\\\1 & 3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-2+3 & 5+9\\\0-5 & 0-15\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 14\\\-5 & -15\end{bmatrix}$

De este ejercicio podemos ver que $AB \ne BA$ . Solo necesitamos de un ejemplo para demostrar que la propiedad conmutativa no se aplica en la multiplicación de fracciones.

La multiplicación de matrices NO es conmutativa.

Ejemplo A

¿Cuál de las siguientes matrices pueden ser multiplicadas? ¿Cuáles son las dimensiones del producto?

(a) $\begin{bmatrix}5\\\-2\\\1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}0 & -7 & 3\end{bmatrix}$

(b) $\begin{bmatrix}4 & -1\\\2 & 3\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-8\\\0\end{bmatrix}$

Solución:

(a) Sí, se pueden multiplicar. Las dimensiones de las matrices son $3 \times {\color{red}1} \ {\color{red}\text{and}} \ {\color{red}1} \times 3$ , por lo que el resultado será una matriz de $3 \times 3$ .

(b) Sí, se pueden multiplicar. Las dimensiones de las matrices son $2 \times {\color{red}2} \ {\color{red}\text{and}} \ {\color{red}2} \times 1$ , por lo que el resultado será una matriz de $2 \times 1$ .

Ejemplo B

¿Cuál las siguientes matrices pueden ser multiplicadas? ¿Cuáles son las dimensiones del producto?

(a) $\begin{bmatrix}1 & -3\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}4\\\-1\end{bmatrix}$

(b) $\begin{bmatrix}2 & -5\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-3 & 1\end{bmatrix}$

Solución:

(a) Sí, se pueden multiplicar. Las dimensiones de las matrices son $1 \times {\color{red}2} \ {\color{red}\text{and}} \ {\color{red}2}\times 1$ , por lo que el resultado será una matriz de $1 \times 1$ .

(b) No se pueden multiplicar. Las dimensiones de las matrices son $1 \times {\color{red}2} \ {\color{red}\text{and}} \ {\color{red}1} \times 2$ , el número de columnas en la primera matriz no coincide con el número de filas de la segunda.

Ejemplo C

Dadas las siguientes matrices: $A = \begin{bmatrix}2 & -1 & 8\\\3 & 0 & -5\end{bmatrix}$ y $B = \begin{bmatrix}-1 & 0\\\2 & 4\\\5 & 6\end{bmatrix},$ encuentra el valor de $AB$ y $BA$ . ¿Notas algo?

Solución:

$AB = \begin{bmatrix}2 & -1 & 8\\\3 & 0 & -5\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-1 & 0\\\2 & 4\\\5 & 6\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}2(-1)+(-1)(2)+8(5) & 2(0)+(-1)(4)+8(6)\\\3(-1)+(0)(2)+(-5)(5) & 3(0)+(0)(4)+(-5)(6)\end{bmatrix}\\\&= \begin{bmatrix}-2-2+40 & 0-4+48\\\-3+0-25 & 0+0-30\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}36 & 44\\\-28 & -30\end{bmatrix}$

$BA = \begin{bmatrix}-1 & 0\\\2 & 4\\\5 & 6\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}2 & -1 & 8\\\3 & 0 & -5\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}-1(2)+0(3) & -1(-1)+0(0) & -1(8)+0(-5)\\\2(2)+4(3) & 2(-1)+4(0) & 2(8)+4(-5)\\\5(2)+6(3) & 5(-1)+6(0) & 5(8)+6(-5)\end{bmatrix}\\\&= \begin{bmatrix}-2+0 & 1+0 & -8-0\\\4+12 & -2+0 & 16-20\\\10+18 & -5+0 & 40-30\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-2 & 1 & -8\\\16 & -2 & -4\\\28 & -5 & 10\end{bmatrix}$

Las dimensiones de los productos varían dependiendo del orden en que se multipliquen las matrices. Claramente, los resultados son diferentes y podemos afirmar que la propiedad conmutativa no se aplica en la multiplicación de matrices.

Revisión del Problema Inicial Las matriz propuesta por el Sr. Hwan es de 3 x 2. Para multiplicarla por otra matriz, la otra matriz debe ser de 2 x ? donde ? puede ser cualquier número.

La matriz de Wanda es 3 x 2, por lo que su matriz es incorrecta.

La matriz de Xavier es de 2 x 2, por lo que su matriz es correcta.

La matriz de Zach es de 2 x 3, por lo que su matriz es correcta.

Práctica Guiada

Dadas las matrices: $A = \begin{bmatrix}1 & -3\\\5 & -14\end{bmatrix}, \qquad B = \begin{bmatrix}-2\\\1\end{bmatrix}, \qquad C = \begin{bmatrix}-14 & 3\\\-5 & 1\end{bmatrix},$ encuentra sus productos, si es posible.

1. $AB$

2. $BA$

3. $AC$

4. $CA$

Respuestas

1. $AB = \begin{bmatrix}1 & -3\\\5 & -14\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-2\\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1(-2)+-3(1)\\\5(-2)+-14(1)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-2-3\\\-10-14\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-5\\\-24\end{bmatrix}$

2. $BA = \begin{bmatrix}-2\\\1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}1 & -3\\\5 & -14\end{bmatrix}$ no es posible.

3. $AC = \begin{bmatrix}1 & -3\\\5 & -14\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-14 & 3\\\-5 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1(-14)+(-3)(-5) & 1(3)+(-3)(1)\\\5(-14)+(-14)(-5) & 5(3)+(-14)(1)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-14+15 & 3-3\\\-70+70 & 15-14\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 0\\\0 & 1\end{bmatrix}$

4. $CA = \begin{bmatrix}-14 & 3\\\-5 & 1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}1 & -3\\\5 & -14\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-14(1)+3(5) & -14(-3)+3(-14)\\\-5(1)+1(5) & -5(-3)+1(-14)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-14+15 & 52-52\\\-5+5 & 15-14\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 0\\\0 & 1\end{bmatrix}$

$^{**}$ Nota: Cuando el producto es $\begin{bmatrix}1 & 0\\\0 & 1\end{bmatrix},$ la matriz identidad de una matriz de $2 \times 2$ este se puede encontrar multiplicando las matrices en cualquier orden como se ilustra en las preguntas 3 y 4. Si el producto de dos matrices es la matriz inversa, entonces las matrices son inversas multiplicativas. Estos conceptos se analizan con mayor detalle en otras secciones.

Práctica

Usa las siguientes matrices para responder las pregunta 1-10.

$A = \begin{bmatrix}2 & -1 & 4\end{bmatrix} \qquad B = \begin{bmatrix}-3\\\5\\\0\end{bmatrix} \qquad C = \begin{bmatrix}4 & -1\\\2 & 5\end{bmatrix} \qquad D = \begin{bmatrix}3 & -2\end{bmatrix}$

$E = \begin{bmatrix}8 & -1 & 0\\\2 & 5 & 1\\\3 & 4 & -3\end{bmatrix} \qquad F = \begin{bmatrix}5 & 0 & -11\\\-1 & 8 & 9\end{bmatrix}$

Para cada producto, determina las dimensiones de las matrices resultantes o escribe “no se puede determinar“. No multipliques las matrices.

$AB$
$BA$
$CD$
$DC$
$EA$
$EB$
$CF$
$FC$
$DF$
$BD$

Multiplica las siguientes matrices. Si no es posible multiplicarlas, escribe “no se puede determinar”.

$\begin{bmatrix}2 & -1\\\-4 & 8\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}5\\\-3\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}5 & -2\\\3 & 7\\\-4 & 1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}5 & -2 & 3\\\7 & -4 & 1\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}5 & -3\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-4 & 2\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}5 & -1 & 3\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-4\\\7\\\11\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}5 & 2\\\-3 & 1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}4 & -7\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}2 & -5\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}1 & 0\\\-3 & 4\end{bmatrix}$

Problemas
1. Resuelve $\begin{bmatrix}5 & 3\\\8 & 5\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}5 & -3\\\-8 & 5\end{bmatrix}$
2. ¿Cuál es el nombre del producto de matrices?
3. ¿Puedes resolver $\begin{bmatrix}5 & -3\\\-8 & 5\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}5 & 3\\\8 & 5\end{bmatrix}$ sin multiplicar?
4. ¿Qué puedes concluir a partir de las dos matrices del punto a?

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