Operaciones con Matrices

En esta sección, harás uso de las operaciones aprendidas en las secciones previas con y sin calculadora.

El cine está realizando un especial de Martin Luther King Jr. durante el fin de semana feriado. Todas las entradas matiné tienen un costo de $5, sin importar la edad.

Las siguientes matrices representan el número de entradas vendidas para la matiné del fin de semana feriado.

Entradas Vendidas

$& \quad Sat. \quad Sun. \quad \ Mon.\qquad \quad \quad \ \\\\begin{matrix}\text{Kids \ }\\\\text{Adults \ }\\\\text{Seniors \ }\end{matrix}& \begin{bmatrix}122 & 133 & 150\\\89 & 75 & 101\\\57 & 38 & 49\end{bmatrix}$

¿Cuánto dinero recolectó el cine durante el fin de semana por la venta de entradas a niños?

Orientación

Para resolver problemas de matrices con la calculadora, los alumnos deben primero aprender cómo escribir matrices en sus calculadoras. Si tienes una TI-83 o TI-84, accede al menú de Matriz presionando MATRIX o ( $2^{nd} \ x^{-1}$ MATRIX). Ahora puedes escoger la opción EDIT matrix $A$ . Ingresa las dimensiones de la matriz deseada y los valores de los datos. Puedes ingresar los valores de una segunda matriz seleccionando matrix $B$ en menú EDIT al igual que la primera matriz. Una vez que se han introducido las matrices, éstas se ponen mostrar en forma de ecuación en la calculadora al ingresar al menú NAME y seleccionar la matriz. Se hará referencia a estas instrucciones en los Ejemplos y los problemas de la Práctica Guiada. Si no tienes una TI-83 u 84, las instrucciones pueden ser diferentes. Revisa con tu profesor.

Ejemplo A

Multiplica: $\frac{2}{3}\begin{bmatrix}5 & 6\\\-9 & 2\end{bmatrix}$

Solución: Este es un ejemplo de una multiplicación escalar. Debemos multiplicar cada elemento de la matriz por $\frac{2}{3}$ a mano o podemos usar la calculadora. Para usar la calculadora, debemos ingresar la matriz primero.

Ingresa al menú MATRIX (presiona $2^{nd} \ x^{-1}$ ), selecciona EDIT y luego matrix $A$ . Ingresa las dimensiones de la matriz de $2 \times 2$ y luego ingresa los valores. Para volver a la pantalla de inicio, presiona ( $2^{nd}$ QUIT). Ahora podemos ingresar nuestra expresión escribiendo $\frac{2}{3}[A]$ $A$ y presionando ENTER para ver el resultado o seleccionando NAME $[A]$ en el menú de matriz y presionando ENTER. El resultado se puede cambiar a fracción presionando MATH y seleccionando FRAC. La forma fraccionaria reducida es la siguiente.

$\begin{bmatrix}\frac{10}{3} & 4\\\-6 & \frac{4}{3}\end{bmatrix}.$

Ejemplo B

Multiplica las matrices: $\begin{bmatrix}2 & -3 & 5 & 1\\\0 & -4 & 3 & -2\\\7 & 1 & 0 & -5\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}8 & 2 & -1\\\-3 & 0 & 7\\\5 & -1 & 3\\\1 & 4 & 6\end{bmatrix}$

Solución: Este problema de multiplicación sería muy tedioso de resolver a mano. Podemos usar la calculadora para realizar la multiplicación con mayor eficacia y evitar posibles errores aritméticos.

Entra al menú MATRIX de tu calculadora y selecciona EDIT matrix $A$ . Las dimensiones deben ser de $3 \times 4$ . Ahora, ingresa los elementos de la matriz. Vuelve a la pantalla de inicio presionando ( $2^{nd}$ QUIT) Vuelve al menú MATRIX y selecciona EDIT matrix $B$ . Las dimensiones de la matriz $B$ son de $4 \times 3$ . Ingresa los elementos de la matriz y vuelve al menú de inicio. Para multiplicar las matrices, debes seleccionarlas del menú MATRIX. Vuelve al menú MATRIX y selecciona NAME $[A]$ . Serás redirigido al menú de inicio automáticamente y en la pantalla se mostrará $[A]$ Vuelve al menú MATRIX y selecciona NAME $[B]$ . Ahora la pantalla de inicio debería mostrar $[A][B]$ . No es necesario incluir un signo de multiplicación, ya que las dos matrices se encuentran entre llaves, las que actúan como paréntesis e indican multiplicación. Presiona ENTER y el resultado se mostrará en pantalla:

$\begin{bmatrix}51 & 3 & -2\\\25 & -11 & -31\\\48 & -6 & -30\end{bmatrix}.$

Ejemplo C

Evalúa la expresión: $\frac{1}{2}\begin{bmatrix}8 & -3\\\5 & 1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-4 & 1\\\6 & 7\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}-2 & -1\\\9 & 0\end{bmatrix}$

Solución: Esta vez, deberemos ingresar tres matrices en la calculadora. Ingresaremos las matrices en el siguiente orden

$[A] = \begin{bmatrix}8 & -3\\\5 & 1\end{bmatrix}, [B] = \begin{bmatrix}-4 & 1\\\6 & 7\end{bmatrix}, [C] = \begin{bmatrix}-2 & -1\\\9 & 0\end{bmatrix}.$ Luego volveremos a la pantalla de inicio y escribiremos la expresión: $\frac{1}{2}[A][B]+[C]$ con la ayuda del menú MATRIX. Por último, presiona ENTER y MATH, FRAC para obtener el resultado final: $\begin{bmatrix}-27 & -\frac{15}{2}\\\2 & 6\end{bmatrix}.$

Revisión del Problema Inicial Este es un problema de multiplicación de matrices en el que la matriz esta multiplicada por un escalar.

Entradas Vendidas

$& \quad Sat. \quad Sun. \quad \ Mon.\qquad \quad \quad \ \\\\begin{matrix}\text{Kids \ }\\\\text{Adults \ }\\\\text{Seniors \ }\end{matrix}5 \cdot & \begin{bmatrix}122 & 133 & 150\\\89 & 75 & 101\\\57 & 38 & 49\end{bmatrix}$

Usa tu calculadora como ayuda. La matriz resultante es:

Venta de Entradas ($) $& \quad Sat. \quad Sun. \quad \ Mon.\qquad \quad \quad \ \\\\begin{matrix}\text{Kids \ }\\\\text{Adults \ }\\\\text{Seniors \ }\end{matrix}\begin{bmatrix}610 & 665 & 750\\\445 & 375 & 505\\\285 & 190 & 245\end{bmatrix}$

A partir de esta matriz, podemos observar que el cine ganó $610 por venta de entradas a niños el día sábado, $665 el día domingo y $750 el día lunes; por lo tanto, la ganancia total por venta de entradas a niños fue $$610 + $665 + $750 = $2025$ .

Práctica Guiada

Usa tu calculadora para resolver las siguientes expresiones matriciales.

1. $\frac{1}{2}\begin{bmatrix}4 & -3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}8 & 4\\\-6 & -2\end{bmatrix}$

2. $\begin{bmatrix}1 & -2\\\3 & -4\end{bmatrix}\left( \begin{bmatrix}2\\\-5\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-4\\\8\end{bmatrix} \right)$

3. $\begin{bmatrix}2 & 5 & -3\\\8 & -4 & 2\\\-7 & 0 & 6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}7\\\-3\\\1\end{bmatrix}+5\begin{bmatrix}4\\\-8\\\2\end{bmatrix}$

Respuestas

1. Ingresa las matrices de la siguiente manera $[A] = [4 \quad -3]$ y $[B] = \begin{bmatrix}8 & 4\\\-6 & -2\end{bmatrix}.$ Vuelve a la pantalla de inicio, escribe la expresió: $\frac{1}{2}[A][B]$ y presiona ENTER para obtener: $[25 \quad 11]$ .

2. Ingresa las matrices de la siguiente manera $[A] = \begin{bmatrix}1 & -2\\\3 & -4\end{bmatrix}, [B] = \begin{bmatrix}2\\\-5\end{bmatrix}$ y $[C] = \begin{bmatrix}-4\\\8\end{bmatrix}.$ Vuelve a la pantalla de inicio, escribe la expresión: $[A]([B]+[C])$ y presiona ENTER. La calculadora dará como resultado el mensaje ERR: INVALID DIM. Sabemos que es posible sumar las matrices $B$ y $C$ y luego multiplicar el resultado por $A$ entonces tenemos que ver cuál es el problema.

$^{*}$ Debemos asegurarnos que $[A]$ multiplica por la izquierda de $[B]+[C]$ ya que la multiplicación de matrices no es conmutativa y las dimensiones no coincidirían de otra manera, al invertir la multiplicación obtendríamos $2 \times 1$ multiplicado por $2 \times 2$ .)

Intentemos dividir este problema en dos pasos en la calculadora:

Paso 1: Suma $[B]+[C]$

Paso 2: Ahora, selecciona la matriz $A$ y multiplícala por el resultado del paso 1: $[A]$ Ans (para obtener Ans, presiona $2^{nd}$ y el botón (-).) para obtener el resultado: $\begin{bmatrix}-8\\\-18\end{bmatrix}.$

Explicación del error inicial: La calculadora debe haber intentado multiplicar la suma de las matrices $B$ y $C$ por la matriz $A$ en la derecha Ese producto no es posible debido a que las dimensiones no coincidían.

3. Ingresa las matrices de la siguiente manera $[A] = \begin{bmatrix}2 & 5 & -3\\\8 & -4 & 2\\\-7 & 0 & 6\end{bmatrix}, [B] = \begin{bmatrix}7\\\-3\\\1\end{bmatrix}$ y $[C] = \begin{bmatrix}4\\\-8\\\2\end{bmatrix}.$ Vuelve a la pantalla de inicio, escribe la expresión: $[A][B]+5[C]$ . y presiona ENTER para obtener: $\begin{bmatrix}16\\\30\\\-33\end{bmatrix}.$

Práctica

Usa una calculadora para resolver las siguientes expresiones, si es posible.

$\begin{bmatrix}2\\\-5\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}3 & 1\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}4 & -1 & 2\\\-7 & 9 & 0\\\5 & -6 & 1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-2 & 5 & 1 & -3\\\-3 & 9 & 10 & -1\\\0 & 8 & 11 & 1\end{bmatrix}$

$\frac{1}{3}\begin{bmatrix}3 & -1 & 8\\\2 & 0 & 5\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}2\\\-1\\\7\end{bmatrix}$

$-2\begin{bmatrix}0 & 1 \\\2 & 0 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}2 & -5 \end{bmatrix}$

$\left(\begin{bmatrix}2 & -3 & 7\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-3 & 5 & 1\end{bmatrix}\right)\cdot\begin{bmatrix}-4\\\8\\\11\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}4\\\-3\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}5 & -2\\\7 & 11\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-6\\\8\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}2 & -6 & 5 & 7\\\8 & 11 & -1 & -3\\\-4 & 9 & 10 & 12\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-11 & -6 & 1\\\7 & 10 & 3\\\8 & 4 & 5\\\5 & 2 & 6\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}4 & 1 & -2\\\-2 & 1 & 6 \\\-12 & 4 & 10\end{bmatrix}\cdot 4\begin{bmatrix}3\\\8\\\-9\end{bmatrix}$

$\frac{1}{5}\begin{bmatrix}1\\\3\\\7\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-2 & 8 & 4\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}-2 & 1 & 6 & 3\\\3 & 0 & 12 & 4\\\7 & -5 & -8 & -12\\\-4 & 11 & 1 & 0\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}5 & -3 & 1 & 6\\\-4 & 2 & 13 & 11\\\6 & 7 & 5 & 3\\\10 & -8 & -6 & 4\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}2 & -8\\\12 & 5\\\-3 & 11\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}4 & -6 & 10\\\-2 & 8 & 7\end{bmatrix}$

$\frac{1}{3}\begin{bmatrix}8\\\-7\end{bmatrix}+\frac{1}{2}\begin{bmatrix}-6 & 3 & -5\\\2 & 11 & 8\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}2\\\-1\\\7\end{bmatrix}$

En los problemas 13 y 14, la calculadora dará como resultado un error. ¿Puedes explicar porqué? ¿Es un error que se pueda solucionar o el problema simplemente no es posible? Si puedes solucionar el error, resuelve el problema.

$\begin{bmatrix}2 & -3\end{bmatrix} \left( \begin{bmatrix}-1 & 11\\\3 & -7\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}4 & -2\\\0 & 9\end{bmatrix} \right)$

$\left( \begin{bmatrix}2\\\-5\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-3\\\7\end{bmatrix} \right)\begin{bmatrix}-6 & 1\\\4 & 8\end{bmatrix}$

Aplicación real: Un cine registra las ventas de palomitas en tres tamaños distintos. Los datos recopilados durante el fin de semana (viernes, sábado y domingo por la noche) se muestran en la matriz de abajo. El precio de cada palomita se muestra en la segunda matriz. ¿Cuántas ganancias obtuvo el cine cada noche por la venta de palomitas? ¿Cuánto ganó el cine en total por la venta de palomitas?
$& \quad S \quad M \quad \ L \qquad \quad \quad \ \text{Price}\\\\begin{matrix}\text{Friday \ }\\\\text{Saturday \ }\\\\text{Sunday \ }\end{matrix}& \begin{bmatrix}36 & 85 & 40\\\41 & 112 & 51\\\28 & 72 & 35\end{bmatrix} \qquad \begin{matrix}S\\\M\\\L\end{matrix} \ \begin{bmatrix}5.50\\\6.25\\\7.25\end{bmatrix}$

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